2.10 ಬಹುಪದಗಳ ಭಾಗಾಕಾರ (Division of Polynomials)

 

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ: ಭಾಜ್ಯ = (ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ.

ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

 

2.10.1 ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division of Monomial by monomial)

 

2.10.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 12m3 ನ್ನು 4 m2 n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: 12m3 n5 / 4 m2 n = (12/4)* (m3 n5 /m2 n)

ಹಂತ 2: 12/4 = 3,

ಹಂತ 3:

m3 n5/ m2 n = m3-2 n5-1 = m n4

12m3 n5 /4 m2 n = 3 m n4

 

ತಾಳೆ:

(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = 4 m2 n*3 m n4 +0 =12 m2+1 n1+4 =12m3 n5 - ಭಾಜ್ಯ

 

 

2.10.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 57x2y2z2 ನ್ನು 19xyz ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಹಂತ 1 :

57x2y2z2 /19xyz = (57/19) * (x2y2z2)/xyz

ಹಂತ 2:

57/19 =3

ಹಂತ 3:

x2y2z2/xyz = x2-1y2-1z2-1 = xyz

57x2y2z2 /19xyz = (57/19) * (x2y2z2)/xyz =3xyz

 

ತಾಳೆ:

(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = (3xyz * 19xyz) +0 = (3*19)*xyz*xyz +0= 57x1+1y1+1z1+1+0=57x2y2z2 - ಭಾಜ್ಯ

 

ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು:

3 ಎನ್ನುವುದು 57/19 ಅಂದರೆ ಏಕ ಪದಗಳ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ.

 

ಅದೇರೀತಿ xyz ಎಂಬುದು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ..

 

ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು (Steps to divide a monomial by monomial):

ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳು. ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

1.      ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಸಹಗುಣಕವು ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮ.

2.      ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಚರಾಕ್ಷರ ಭಾಗವು ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.


2.10.2 ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division of a Polynomial by a Monomial):

 

 

2.10.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 4023m2n2-6032m2n -8042m3 ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು (-2012m2) ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

4023= (2x201)3= (2)3x(201)3, 6032 = (3x201)2 = (3)2x(201)2, 8042 = (4x201)2 = (4)2x(201)2

 

[4023m2n2-6032m2n -8042m3 n4]/(-2012m2)

=[(2)3*(201)3 m2n2-(3)2*(201)2 m2n -(4)2*(201)2m3 n4]/(-2012m2)

= -[ (2)3*(201) n2-(3)2* n -(4)2*m1 n4] = - (8*201* n2-9n -16mn4)

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (-2012m2)*[-(8*201* n2+9n +16mn4)]+0

= +(2012m2)*(8*201* n2 -2012m2*9n -2012m2*16mn4) +0

= 8*2013m2 n2 -9*2012m2+2n-16*2012m2+1n4)

= 23* 2013m2 n2 - 32 *2012m4n-42*2012 m3 n4

= (2*201)3m2n2-(3*201)2 m2n (4*201)2 m3 n4

= 4023 m2n2 - 6032 m2n - 8042 m3 n4

= ಭಾಜ್ಯ.

 

2.10.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 2a4 b3+ 8a2 b2 ವನ್ನು 2ab ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(2a4 b3+ 8a2 b2)/2ab = (2a4 b3/2ab) + (8a2 b2 / 2ab) = a3 b2 +4a b

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = 2ab*(a3 b2 +4a b) +0= 2a4 b3+ 8a2 b2 = ಭಾಜ್ಯ

 

ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು:

 

1.      ಬಹುಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

2.      ರೀತಿ ಪಡೆದ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.(ಸೂಕ್ತ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ).

 

2.10.3 ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division of a Polynomial by a Binomial) (Long division method):

 

2.10. ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ 7+x3-6x (ತ್ರಿಪದ)ವನ್ನ ಒಂದು ದ್ವಿಪದ x+1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು 3ನೇ ಘಾತದ ಬೀಜೋಕ್ತಿ, ಭಾಜಕವು 1ನೇ ಘಾತದ ದ್ವಿಪದ.

ಹಂತ

ವಿಧಾನ

 

1

ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಾತ ಸೂಚಿಯ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

2

ಯಾವುದೇ ಘಾತದ ಬೀಜ ಪದ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಹಗುಣಕ 0 ಹಾಕಿ, ಬರೆಯಿರಿ

x3 -6x+7 ನ್ನು (x3 +0x2-6x+7) ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.

3

ಭಾಜ್ಯದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಭಾಜಕದ ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ( x3/x = x2). ಆದ್ದರಿಂದ

x2 ವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲನೇ ಪದ ಇದನ್ನು ಮೇಲ್ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

4

ಭಾಜಕವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲ ಪದ (x2) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಭಾಜ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ (=x3+ x2)

5

ಹಂತ 4 ರಲ್ಲಿ ಬಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ.( x3 +0x2 ) (x3+ x2) = - x2

6

ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು,(=-6x) ಹಂತ 5 ಉತ್ತರದ ಮುಂದೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಆಗ

-x2 6x. ಇದು ಹೊಸ ಭಾಜ್ಯ.

7

ಹಂತ 3 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗಿನದ್ದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ

8

ಶೇಷದ ಘಾತ ಸೂಚಿಯು ಭಾಜಕದ ಘಾತ ಸೂಚಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (x+1)* (x2-x-5)+12

= x*(x2-x-5) +1*(x2-x-5)+12

= (x3-x2-5x)+ (x2-x-5)+12 = x3-x2+ x2-5x-x -5+12

= x3-0x2-6x +7

= x3-6x +7 ಇದು ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ.

 

 

2.10.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2: x5 -9x2 +12x-14 ದಿಂದ x -3 ಭಾಗಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು ಘಾತಾಂಶದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ. ಆದರೆ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ x ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೊನ್ನೆ ಸಹಗುಣಕ ಸೇರಿಸಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

 

xಭಾಜ್ಯ: x5 +0x4 +0x3-9x2 +12x-14.

ಭಾಜಕವು ಘಾತಾಂಕದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ.

 

- | x5 -3x4

- |3x4 +0x3

- |3x4 -9x3

- |9x3 -9x2

- |9x3 -27x2

- |18x2+12x

- |18x2 -54x

-|66x-14

-|66x-198

184

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಶೇಷವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು. ಆದರೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಿರುವುದರಿಂದ, ತಾಳೆ ನೋಡಲು ಬೇರೆ ವಿಧಾನ ಬಳಸುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ,

ಭಾಜಕ =x5 -9x2 +12x-14 = 25 -9*22 +12*2-14

= 32-36+24-14

= 6

ಭಾಜಕ = x-3 =2-3 = -1

ಭಾಗಲಬ್ಧ =

= 24 +3*23 +9*22+18*2+66

= 16+24+36+66=178

ಈಗ,

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = 178*-1+184

= -178+184

= 6 - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

 

 

2.10. ಸಮಸ್ಯೆ 3: (6p3 -19p2 -8p) ಯನ್ನು (p2 -4p+2) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

 

 

ಪರಿಹಾರ:

6p+5

p2 -4p+2

( -) |6p3 -24p2 +12p -- ---- (1) {= 6p*(p2 -4p+2)}

(=) |+5 p2 -20p -- -----(2) {ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ}

( -) | 5p2 - 20p+10 -- -----(3) {= 5*(p2 -4p+2)}

(=) -10 -- ಶೇಷ {ಸಮೀಕರಣ (3) ರಿಂದ (2)್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. }

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ = (6p+5)* (p2 -4p+2)

= 6p* p2 +6p*-4p+6p*2+5* p2+5*-4p+5*2

= 6p3 -24p2+12p+5p2-20p+10

= 6p3 -19p2-8p+10

 

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = (6p3 -19p2-8p+10)-10

= 6p3 -19p2-8p - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

 

 

2.10. ಸಮಸ್ಯೆ 4: a5 +b5 ನ್ನು (a+b) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

a+b

(-) |a5+ a4b

(=) - a4b+0

(-) |a4b-a3b2

(=) a3b2+0

(-) | a3b2+ a2b3

(=) - a2b3+0

(-) |-a2b3-ab4

(=) ab4 + b5

(-) |ab4 + b5

(=) 0

 

 

ಅಭ್ಯಾಸ: ಭಾಜಕ*ಭಾಗಲಬ್ಧ+ಶೇಷ = ಭಾಜ್ಯ ಆಗುವುದೋ ಎಂದು ನೋಡಿ.

 

 

2.10 ಕಲಿ ಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.