2.19 ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು (Quadratic Equations):

 

ಅರ್ಜುನನು ಮಹಾಭಾರತ ಯುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣನನ್ನು ಕೊಲ್ಲಲು ಬತ್ತಳಿಕೆ ಯಿಂದ ಹಲವು ಬಾಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ. ತೆಗೆದ ಬಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟರಿಂದ ಕರ್ಣನ ಬಾಣಗಳನ್ನು ತುಂಡರಿಸುತ್ತಾನೆ. ತೆಗೆದ ಬಾಣಗಳ ವರ್ಗಮೂಲದ 4 ರಷ್ಟರಿಂದ ಕರ್ಣನ ಕುದುರೆಗಳನ್ನು, 6 ಬಾಣಗಳಿಂದ ಶಲ್ಯನನ್ನು, ಒಂದೊಂದರಿಂದ ಕರ್ಣನ ರಥದ ಕೊಡೆ, ಕರ್ಣನ ರಥದ ಬಾವುಟ, ಮತ್ತು ಕರ್ಣನ ಬಿಲ್ಲನ್ನು ತುಂಡರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಉಳಿದ ಒಂದು ಬಾಣದಿಂದ ಕರ್ಣನನ್ನು ಕೊಂದರೆ, ಬತ್ತಳಿಕೆ ಯಿಂದ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಬಾಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ? (ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 71)

ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಿಡಿಸುವ ಆಸೆ ಇದೆಯೇ?

 

ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರ ಗೊತ್ತೇ?

ಸಮಸ್ಯೆ: ನೀವು, ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಟ್ಟು 480ರೂ. ಖರ್ಚಾಗುತ್ತದೆಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಿರಿ. ಆದರೆ ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ 8 ಮಂದಿ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರು ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲಿಲ್ಲ. ಇವರು ಬಾರದಿದ್ದುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ 10ರೂ. ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಕೊಡಬೇಕಾಯಿತು. ಹಾಗಾದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕೊನೆಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಹಣ ಎಷ್ಟು?

 

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆ ಬಿಡಿಸುವುದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ:

         1. ಒಂದು ವರ್ಗದ ಸುತ್ತಳತೆ 60ಮೀಟರ್ ಆದರೆ ಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

ಕ್ರಮ: ವರ್ಗದ ಒಂದು ಬದಿ: ‘x’ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ಸುತ್ತಳತೆ = 4x

 4x =60

x =15 ಮೀ.

ಈ ರೀತಿ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ 15, 4x = 60  ಎನ್ನುವ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ.

 

         2. ಒಂದು ವರ್ಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 25 ಚದರ ಮೀಟರ್ ಗಳಾದರೆ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

 

ಕ್ರಮ: ವರ್ಗದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ‘x’ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ಆ ವರ್ಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = x2

x2 = 25 =5*5

 x=5 ಮೀ.

ಆದರೆ 25 = -5*-5 ಎಂದೂ ಆಗುತ್ತದೆ.  x= -5 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವೂ ಆಗಿದ್ದು x2 = 25 ನ್ನು ತೃಪ್ತಿ ಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x = 5  ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು.

ವರ್ಗದ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ x = -5 ನ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಆವ್ಯಕ್ತ ಪದದ ಘಾತ 2 ಆಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ (quadratic equation) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

x2 = 25 ಇದನ್ನು x2 - 25 =0 ಎಂದೂ ಬರೆಯಹುದು (ಏಕೆ ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ?)

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರ x ನ ಘಾತ 2 ಮಾತ್ರವಿದೆ. ಮೊದಲ ಘಾತದ ಚರಾಕ್ಷರವಿಲ್ಲ.(bx ಎಂಬ ಅಂಶವಿಲ್ಲ.)

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

1. ax2 +c = 0 ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶುದ್ಧ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ (pure quadratic equation) ಎನ್ನುವರು. a ಮತ್ತು c ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು a 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 

2. a, b ಮತ್ತು c ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು a 0, b 0,  ಆಗಿರುವ ax2 +bx+ c = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಿಶ್ರವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ (Adfected  quadratic equation) ಎನ್ನುವರು.  ಇಲ್ಲಿ b=0 ಆದರೆ, ಅದು ಶುದ್ಧ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಿಶ್ರವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ: 3x2 -5x-16=0

 

ಉದಾ: 3x2 -16=0 ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಾ.

 3x2 =16 (16 ನ್ನ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಕಡೆ 16 ನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದೆ)

x2 =16/3

x = =     /=    (4/)

 

2.19 ಸಮಸ್ಯೆ 1:  ಬಿಡಿಸಿ: x2/2 – 3/4 = 29/4

 

ಪರಿಹಾರ:

ಪಕ್ಷಾಂತರ ಮಾಡಿದಾಗ,

x2/2 = 29/4+3/4 = (29+3)/4 = 32/4 =8

 x2 =16

x = 4

 

2.19 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಬಿಡಿಸಿ: (2m-5)2= 81

 

ಪರಿಹಾರ:

 (2m-5)2= 92

 2m-5 = 9

 2m = 9 +5 (ಪಕ್ಷಾಂತರ ಮಾಡಿದಾಗ)

 2m = +9+5 =14 ಅಥವಾ 2m = -9+5 = -4

m= 7 ಅಥವಾ m= -2

ತಾಳೆ:

m =   7: ಆದಾಗ, (2m-5)2=(9)2=81= ಬಲಬದಿ.

m = - 2:  ಆದಾಗ, (2m-5)2=(-4-5)2=(-4-5)2=(-9)2=81= ಬಲಬದಿ.

 

2.19 ಸಮಸ್ಯೆ 3 :  c2= a2+b2 ಆಗಿದ್ದು  a=8, c=17 ಆದಾಗ b ಯ ಬೆಲೆ ಏನು?

 

ಪರಿಹಾರ:

c2= a2+b2

 b2= c2-a2

 b = (c2-a2)  (ಅಂದರೆ ವರ್ಗಮೂಲ)

a ಮತ್ತು c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

b = (c2-a2)

   = (172-82)

   = (289-64) = (225) = 15

 

ತಾಳೆ:

a=8, b=15 ಆದಾಗ ಬಲಬದಿ = a2+b2=64+225 =289 = 172= c2= ಎಡಬದಿ

 

2.19 ಸಮಸ್ಯೆ 4 : ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ ‘r’ ಎತ್ತರ ’h’  ಆದಾಗ ಅದರ ಘನಫಲ(ಗಾತ್ರ) = V = r2h 

1.   ೂತ್ರ ಏನು?

2. ಗಾತ್ರ =176 , ಎತ್ತರ =14 ಆದಾಗ, ಸಿಲಿಂಡರಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

V =r2h 

r2= V/h

 r = (V/h)

 

ದತ್ತಾಂಶ: V=176, h = 14 

 = 22/7 (ಸಮೀಪದ ಬೆಲೆ)

  r2=V/h = 176*7/(22*14)= 4

 r = 2

ತ್ರಿಜ್ಯವು ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ r=2 ಮಾನಗಳು.

 

ತಾಳೆ:

 = 22/7, h =14, r=2: 

ಬಲಭಾಗ = r2h= 22*4*14/7 = 22*4*2=176=V= ಎಡಭಾಗ

 

2.19.1  ಿಶ್ರ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪವರ್ತನ ಕ್ರಮದಿಂದ ಬಿಡಿಸುವುದು (Solving Adfected Quadratic equations by Factorisation method)

 

ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ದ್ವಿಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿ, ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಅಭ್ಯಾಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ  ಕಲಿಯಲು ತುಂಬಾ ಸಮಯಬೇಕು.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಬಿಡಿಸಿ:  6-p2=p

 

ಪರಿಹಾರ:

ಪಕ್ಷಾಂತರ ಮಾಡಿದಾಗ, ದತ್ತ ಸಮಸ್ಯೆ: p2+p-6 = 0

ಈಗ, ಎಡಭಾಗವನ್ನು (x+a)(x+b) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ a+b =1, ab = -6. 

- 6 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಯುಗ್ಮಗಳು (1, -6), (-1,6), (2,-3), (-2,3), (3,-2), (-3,2)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ a+b =1, ab = -6.  ಈ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿರುವ ಗುಂಪು a = -2 ಮತ್ತು b= 3 

p2+p-6 = p2+3p-2p -6

= p(p+3) -2(p+3)  ---- ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ (p+3) ವನ್ನು ಹೊರ ತೆಗೆದಾಗ

= (p+3)(p-2)

p2+p-6 = 0

(p+3)(p-2) = 0 (ಎರಡು ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ 0 ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದ 0 ಆಗಿರಲೇಬೇಕು.)

p+3 = 0 ಅಥವಾ p-2 = 0

 p= -3 ಅಥವಾ p =2 ಇವು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು.

 

ತಾಳೆ:

p=2 ಆದಾಗ, ಎಡಭಾಗ: 22+2-6 =4+2-6 = 0 = ಬಲಭಾಗ.

p = -3 ಆದಾಗ, ಎಡಭಾಗ: (-3)2  -3- 6 = 9-3-6 = 0 ಬಲಭಾಗ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಬಿಡಿಸಿ: 6y2+y -15 = 0.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ ಎಡಬದಿಯನ್ನು ನಾವು (ax+b)(cx+d)={ acx2 + x(ad+bc)+bd} ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ ac=6, bd= -15,  ad+bc =1 ಆಗಿರಬೇಕು.

ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ a=3, c=2, b=5, d= -3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

6y2+y -15

= 6y2+10y -9y -15

= 2y(3y+5)-3(3y+5) – ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ 3y+5 ವನ್ನು ಹೊರ ತೆಗೆದಾಗ

= (3y+5)(2y-3)

 6 y2+y -15 =0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(3y+5)(2y-3) =0

 3y+5 = 0 ಅಥವಾ 2y-3 =0

 y = -5/3 ಅಥವಾ y =3/22ಇವು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು.

 

ತಾಳೆ:

y=3/2 ಆದಾಗ, ಎಡಬದಿ = 6*9/4 +3/2 -15

 =27/2+3/2 -15

 = (27+3)/2 – 15 = 0 = ಬಲಬದಿ

ಇದೇರೀತಿ y= -5/3 ಆದಾಗ ತಾಳೆನೋಡಿ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಬಿಡಿಸಿ:  13m = 6(m2+1)

 

ಪರಿಹಾರ:

6m2-13m+6 =0

ಈಗ ಎಡಭಾಗವನ್ನು

 (ax+b)(cx+d)={ acx2 + x(ad+bc)+bd} ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ ac=6, bd= 6, ad+bc = -13 ಆಗಿರಬೇಕು.

ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ a=3, c=2,b=5,d= -3

i.e 6m2-13m+6=0

= 6m2-9m -4m+6

= 3m(2m -3) -2(2m-3)  ------à ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ 2m-3 ವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಾಗ

 = (2m-3)(3m-2)

  6m2-13m+6 =0

(2m-3)(3m-2)=0

 2m-3 = 0  ಅಥವ   3m-2 =0

 m = 3/2 ಅಥವಾ m =2/3 ಇವು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು.

 

ತಾಳೆ:

m=2/3 ಆದಾಗ, ಎಡಭಾಗ = 6*4/9 -13*2/3 +6

     = 8/3 -26/3+6

     =(8-26)/3 +6 = 0 = ಬಲಭಾಗ

m= 3/2 ಆದಾಗ ತಾಳೆ ನೋಡಿ.

 

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತಹ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಅಭ್ಯಾಸ ಹಾಗೂ ಸಮಯವೂಬೇಕು.ಹೀಗಿರುವಾಗ ಏಕೆ ಸೂತ್ರವೊಂದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಾರದು?

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 4:   2x2+3x+1 =0  ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಾ.

 

ಸಂ.

ಹಂತ

ವಿವರಣೆ

1

x2 +(3/2)x+ (1/2) =0 

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದೆ.

2

x2+(3/2)x= -(1/2)

(1/2 ನ್ನು ಬಲಬದಿಗೆ ತಂದಿದೆ.

(x+a)2 = x2+2ax+ a2 ಎನ್ನುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೀಗಿರುವಾಗ 2ax = (3/2)x  ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.  

a =3/4

3

x2+(3/2)x+ (3/4)2 = -(1/2)+ (3/4)2       

 (3/4)2 ನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದೆ.

4

 LHS  = x2 +2(3/4)x + (3/4)2= [x+(3/4)]2

p2+2pq+q2 = (p+q)2 ಇಲ್ಲಿ p=x, q= 3/4

5

RHS  = -(1/2)+ (3/4)2 =-(1/2)+ (9/16)= (1/16)

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ 4*4=16

6

[x+(3/4)]2=(1/16)

ಹಂತ 4 ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ LHS=RHS

7

(x+(3/4)) = (1/4)

ಹಂತ 6  ರ ವರ್ಗಮೂಲ

8

x = -(3/4) (1/4) = -(1/2) or -1

3/4  ನ್ನು ವರ್ಗಾಂತರಿಸಿ

 

 

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತಹ ವಿಧಾನದಂತೆ ax2 +bx+ c =0 ದ ಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

 

ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ (Formula for finding roots of the quadratic equation)

 

ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: ax2 +bx+ c =0, ಇಲ್ಲಿ a, b, c ಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು a 0, b 0.  ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

ಸಂ.

ಹಂತ

ವಿವರಣೆ

1

x2 +(bx/a)+ (c/a) =0 

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ‘a’ ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದೆ.

2

x2 +(bx/a) = -( c/a)

c/a  ಯನ್ನು ಬಲಬದಿಗೆ ತಂದಿದೆ.

3

x2 +(bx/a) + (b/2a)2 = -( c/a) + (b/2a)2      

 (b/2a)2 ವನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದೆ.

4

LHS= x2 +(bx/a) + (b/2a)2= [x+(b/2a)]2

p2+2pq+q2 = (p+q)2 ಇಲ್ಲಿ p=x, q= b/2a

5

RHS = b2/4a2- c/a= (b2-4ac)/ 4a2

ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ 4a2

6

[x+(b/2a)]2 =(b2-4ac)/ 4a2

ಹಂತ 4 ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ LHS=RHS

7

x+(b/2a) =  ((b2-4ac)/ 4a2) =  ((b2-4ac))/ 2a

ಹಂತ 6  ರ ವರ್ಗಮೂಲ

8

x = [-b  (b2-4ac)]/2a   

b/2a ನ್ನು RHS ಗೆ ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿ

 

ax2 +bx+ c =0  ¸ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು:

x = [-b +(b2-4ac)]/2a  ಮತ್ತು   x = [-b -(b2-4ac)]/2a   

ಗಮನಿಸಿ:

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವರ್ಗಸೂತ್ರ ಎನ್ನುವರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪ್ರಪ್ರಥಮವಾಗಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಶ್ರೀಧರಾಚಾರ್ಯ ರು(1025 ಕ್ರಿ.ಶ.) ಪರಿಚಯಿಸಿರುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು ಶ್ಲೋಕರೂಪದಲ್ಲಿ ಲೀಲಾವತಿಯಲ್ಲೂ ಕೊಟ್ಟಿದೆ(ಶ್ಲೋಕ 67)

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಬಿಡಿಸಿ: 4x2+8x+4 = 0

 

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ, a =4, b=8, c =4

 b2-4ac = 64 – 4*4*4 = 0

 (b2-4ac) = (0) = 0

 

ಮೂಲಗಳು: p = [-b +]/2a  =(-8+0)/8  = - 1    ಅಥವಾ

        p = [-b -]/2a   = (-8-0)/8 =  - 1

ಇಲ್ಲಿ ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಿವೆ: - 1

 

ಗಮನಿಸಿ:

4x2+8x+4 = 4(x2+2x+1) = 4(x+1)(x+1). ಈ ಪ್ರಕಾರವೂ x=-1 ಮೂಲವೇ ಆಗಿದೆ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 6:  ಬಿಡಿಸಿ:   p2+p-6 = 0(2.19.1.1 ರಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಲೆಕ್ಕವೇ ಇದಾಗಿದೆ.)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a =1, b=1, c =-6

 b2-4ac = 1 – 4*1*(-6) = 25

  = (25) = 5

 

ಸೂತ್ರದಂತೆ:

p = [-b +]/2a  =(-1+5)/2  = 2  ಅಥವಾ

p = [-b -]/2a   = (-1-5)/2 =  -3

ಈ ಮೂಲಗಳು ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ದೊರೆತಿವೆ (2.19.1.1)

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 7: İrı: 6y2+y -15 = 0 (2.19.1.2 ರಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದೆ)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a=6, b=1, c= -15

 b2-4ac = 1 – 4*6*(-15) = 361

 (b2-4ac) = (361) = 19

 

ಸೂತ್ರದಂತೆ,

y = [-b +]/2a  =(-1+19)/12  = 18/12= 3/2      ಅಥವಾ

y = [-b -]/2a   = (-1-19)/12 =  -20/12 = -5/3

ಈ ಮೂಲಗಳನ್ನು ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ.

 3/2 ಮತ್ತ  -5/3   ಮೂಲಗಳು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (y-3/2)(y+5/3)  ಅಪವರ್ತನಗಳು ಆಗಿವೆ.

 (y-3/2)(y+5/3) = (2y-3)(3y+5)/6

6y2+y -15 = (2y-3)(3y+5)

 

ಚಟುವಟಿಕೆ: 2.19.1.3 ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಬಿಡಿಸಿ .

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಬಿಡಿಸಿ :  y2-2y+2 =0

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a=1, b=-2, c=2

 b2-4ac = 4 – 4*1*2 = -4

 (b2-4ac) = (-4) = 2

ಸೂತ್ರದಂತೆ,

y = [-b +]/2a  =(2+2)/2  =  1+ ಅಥವಾ

y = [-b -]/2a   = (2-2)/2 =  1-

 

ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ.

 

ತಾಳೆ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y= 1+ ನ್ನ ಆದೇಶಿಸಿ

y2-2y+2 = (1+)2 -2(1+) +2 ((1+)2 (ವಿಸ್ತರಿಸಲು (a+b)2 =a2+b2+2ab ಸೂತ್ರ  ಉಪಯೋಗಿಸಿ)

= [1 +(-1) +2] +[-2 -2] +2

=  1-1 +2-2 -2+2 = 0 = ಬಲಬದಿ.

ಇದೇ ರೀತಿ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲ = 1- ಕ್ಕೂ ತಾಳೆನೋಡಿ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 9: ಬಿಡಿಸಿ:  2(3y-1)/(4y-3) = 5y/(y+2) -2

 

ಪರಿಹಾರ:

ಬಲಬದಿ = [5y -2(y+2)]/(y+2) = (3y-4)/(y+2)

 ಈಗ ನಾವು ಬಿಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು: 2(3y-1)/(4y-3) = (3y-4)/(y+2)

ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ, 2(3y-1)*(y+2) = (3y-4)*(4y-3)

 2(3y2+6y –y -2) = 12y2-9y -16y+12

 6y2+10y -4 = 12y2-25y +12(ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ)

6y2-35y +16=0

ಈಗ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a=6, b=-35, c= 16

 b2-4ac = 1225  – 4*6*16 = 1225-384  = 841

 (b2-4ac) = (841) = 29

ಸೂತ್ರದಂತೆ,

y = [-b +]/2a  =(35+29)/12  =  16/3 ಅಥವಾ

y = [-b -]/2a   = (35-29)/12 =  1/2

 

ತಾಳೆ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಹಾಕಿ ತಾಳೆ ನೋಡಿ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 10: ಬಿಡಿಸಿ: (y-1)(5y+6) /(y-3) = (y-4)(5y+6)/(y-2)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ,

(y-1)(5y+6)(y-2) = (y-4)(5y+6)(y-3)

ಎಡಭಾಗ = (5 y2+6y-5y-6)(y-2)

= (5 y2+y-6)(y-2)

= 5 y3+ y2-6y -10 y2-2y+12

=5 y3 -9y2-8y+12

ಬಲಭಾಗ =  (5y2+6y-20y-24)(y-3)

= (5y2-14y -24)(y-3)

= 5y3-14 y2-24y  -15y2+42y+72

= 5y3-29y2+18y+72

ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ

5 y3 -9y2-8y+12= 5y3-29y2+18y+72. (ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ)

5 y3 -9y2-8y+12-(5y3-29y2+18y+72) =0

20y2-26y-60 = 0 ( 2 ನ್ನು ಹೊರತೆಗದಾಗ)

10y2-13y-30 = 0

ಈಗ ಸಮೀಕರಣ: ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a=10, b=-13, c= -30

 b2-4ac = 169  – 4*10*(-30) = 169+1200  = 1369

 (b2-4ac) = (1369) = 37

ಸೂತ್ರದಂತೆ,

y = [-b +]/2a  =(13+37)/20  =  50/20 = 5/2 ಅಥವಾ

y = [-b -]/2a   = (13-37)/20 = -24/20 =  -6/5

 

ತಾಳೆ:

y ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ LHS = RHS ಬರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ:-

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (5y+6) ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ, ನಮಗೀಗ 2 ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:- ಅಂದರೆ (1) 5y+6 = 0:

ಆಗ 5y= -6   y = -6/5

  y = -6/5 ಎಂಬುದು ದತ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ ----------(1)

(2) 5y+6  0 ಆದರೆ, 5y+6 ರಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ

[(y-1)/(y-3)] =[(y-4)/(y-2)] :

ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ,

                   (y-1)(y-2) = (y-4)(y-3)

ಅಂದರೆ  y2-2y-y+2 = y2-3y-4y+12

ಅಂದರೆ y2-3y+2 = y2-7y+12: (ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ)

ಅಂದರೆ y2-3y+2-( y2-7y+12)=0

ಅಂದರೆ  y2-3y+2-y2+7y-12=0

ಅಂದರೆ  4y-10=0

ಅಂದರೆ 4y=10 or y=10/4 =5/2  ----------------------------(2)

 

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳು: 5/2 ಮತ್ತು -6/5

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 11: y/(y+1) + (y+1)/y = 25/12

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಬದಿಯನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ,

[y*y +(y+1)(y+1)]/[y(y+1)]

= (y2+y2+2y+1)/( y2+y)

 LHS = RHS ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(y2+y2+2y+1)/( y2+y) = 25/12

ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ,

12(y2+y2+2y+1) = 25( y2+y)

 24y2+24y+12 = 25y2+25y.

ಎಡಬದಿಯಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ಬಲಬದಿಗೆ ಕೊಂಡುಹೋಗಿ.

0 = y2+y-12

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a=1, b=1, c= -12

 b2-4ac = 1  – 4*1*(-12) = 1+48 = 49

  = (49) = 7

ಸೂತ್ರದಂತೆ, ಮೂಲಗಳು:

y = [-b +)]/2a  =(-1+7)/2  =  3 ಅಥವಾ

y = [-b -)]/2a   = (-1-7)/2 =  - 4

 

ತಾಳೆ:

ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಎಡಬದಿ=ಬಲಬದಿ ಬರುತ್ತದೆ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 12 : ಬಿಡಿಸಿ: (3x2-5x+2) (3x2-5x-2)=21

 

ಪರಿಹಾರ:

1.  3x2-5x = y ಆಗಿರಲಿ, ಆಗ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ: (y+2) (y-2) =21

y2 – 4 = 21

y2 = 21+4 =25

y =(25)= 5

 

2.  y = 3x2-5x =5

3x2-5x  5=0

x = - (-5)  (25+60)/2*3 = 5  (85)/6

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 13 ( ವಿಭಾಗದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಲೆಕ್ಕ): ನೀವು, ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಟ್ಟು 480ರೂ. ಖರ್ಚಾಗುತ್ತದೆಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಿರಿ. ಆದರೆ ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ 8 ಮಂದಿ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರು ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲಿಲ್ಲ. ಇವರು ಬಾರದಿದ್ದುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ 10ರೂ. ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಕೊಡಬೇಕಾಯಿತು. ಹಾಗಾದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕೊನೆಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಹಣ ಎಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಮೊದಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದವರ ಸಂಖ್ಯೆ:  ‘x’

ಆಗ ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೆ ತಗಲುವ ವೆಚ್ಚ: 480/x

8 ಜನ ಬಾರದಿದ್ದುದರಿಂದ ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋದವರ ಸಂಖ್ಯೆ: (x-8)

ಈಗ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೆ ತಗಲುವ ವೆಚ್ಚ = 480/(x-8)

ಈ ಹಣವು ಮುಂಚೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ಹಣಕ್ಕಾಗಿ 10 ರೂ. ಹೆಚ್ಚು

 ಹೊಸದರ= ಹಳೆದರ +10

480/(x-8) = 480/x + 10 

480/(x-8) = (480+10x)/x.

ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ,

480x = (480+10x)(x-8)

RHS= 480x -480*8 +10x*x-80x

 = 480x -  3840+ 10x2-80x = 10x2+400x-3840

0 =10x2+400x-3840-480x. (ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ)

ಅಥವಾ 10x2-80x-3840 =0

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ .

x2-8x-384 =0

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a=10, b= -80, c= -3840

 b2-4ac = 6400  – 4*10*(-3840) = 6400 +153600 =160000

   = (160000) = 40

ಸೂತ್ರದಂತೆ ಮೂಲಗಳು:

x = [] =(80+400)/20  =  24 ಅಥವಾ

x = [-b -]/2a   = (80-400)/20 = -16

ಜನರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ x = 24

24 ಜನರು ಪ್ರವಾಸ ಹೋಗಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದರು.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರು ಕೊಡಬೇಕಾದ ಹಣ (=) = 30 ರೂ.

ತಾಳೆ:

24 ಜನರು ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದರು.

ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಖರ್ಚು = 480/24 = 20 ರೂ.

8 ಜನ ಹೋಗದಿದ್ದುದರಿಂದ ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋದವರು = 24 - 8 = 16

ಈಗ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಖರ್ಚು = 480/16 = 30 ರೂ..

ಇದು ಮೊದಲಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ 10 ರೂ. ಹೆಚ್ಚು

ಉತ್ತರ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತಾಳೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 14:  ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಕರ್ಣ 20ಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 4ಮೀಟರ್ ಆದರೆ, ಆವೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣ ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳು x, y ಆಗಿರಲಿ. ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ,

(ವಿಕರ್ಣ)2 = x2+ y2 . ವಿಕರ್ಣ = 20 ಮಿ. 202 = x2+ y2      ======== (1)

ಬಾಹುಗಳೆರಡರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 4 ಮಿ  = x-y = 4:  x= 4+y.

x ನ ಈ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1)ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ400 = x2+ y2 =(4+y)2+ y2 = (16+8y+ y2)+ y2

=16+8y+ 2y2. (ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ)  2y2+8y-384 = 0

ಈ ಸಮೀಕರಣ ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=2, b= 8, c= -384.

 b2-4ac = 64  – 4*2*(-384) = 64+3072 =3136  =(3136) = 56

ಸೂತ್ರದಂತೆ ಮೂಲಗಳು: y = [-b +)]/2a  =(-8+56)/4  =  12 ಅಥವಾ y = [-b -)]/2a  = (-8-56)/4 =  -16

ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹು ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ y =12. ಒಂದು ಬಾಹು 12 ಮಿ,ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಹು (x=4+y) = 16 ಮಿ..

 

ತಾಳೆ:

(ಬಾಹು)2+ (ಬಾಹು)2 = 122+ 162 = 144+ 256 = 400 =202 .(ವಿಕರ್ಣ)2

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 15:  ಎರಡು ಪಟ್ಟಣಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ 1200ಕಿ.ಮಿ.. ಒಂದು ರೈಲುಗಾಡಿಯು ಈ ಎರಡು ಪಟ್ಟಣಗಳ ನಡುವೆ ಓಡುತ್ತವೆ. ರೈಲಿನ ವೇಗವು ಮೊದಲಿನ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ 30ಕಿ.ಮಿ./ಗಂ. ಹೆಚ್ಚಾದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಎರಡು ಗಂಟೆ ಸಮಯ ಕಡಿಮೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ರೈಲಿನ ಮೊದಲಿನ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

ರೈಲಿನ ಮೊದಲಿನ ವೇಗ = xಆಗಿರಲಿ

ಓಡಲು ಬೇಕಾದ ಸಮಯ = 1200/x ಗಂ.

ವೇಗವು 30 ಕಿ.ಮಿ./ಗಂ. ಹೆಚ್ಚಾದರೆ ಎರಡನೇ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದ ಸಮಯ = 1200/(x+30). ಗಂ.

ಹೊಸ ಸಮಯವು ಮುಂಚಿನ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ 2 ಗಂಟೆ ಕಡಿಮೆ.

 1200/x-1200/(x+30) = 2

ಚಟುವಟಿಕೆ: ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ, ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ x=120

 

ತಾಳೆ:

1200/120 – 1200/150 = 10-8 =2 ದತ್ತಾಂಶ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 16: ಒಬ್ಬ ನಾವಿಕನು ಒಂದು ಮೋಟಾರು ದೋಣಿಯನ್ನು ಎರಡು ಬಂದರುಗಳ ನಡುವೆ ಚಲಾಯಿಸುತ್ತಾನೆ. ಬಂದರುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ 8 ಕಿ.ಮಿ. ಅವನು ಒಂದು ಬಂದರಿನಿಂದ ಹೊರಟು ಇನ್ನೊಂದು ಬಂದರಿಗೆ ಹೋಗಿ ಪುನಃ ವಾಪಾಸು ಬರಲು 1ಗಂ 40ನಿಮಿಷಗಳು ಬೇಕು. ಪ್ರವಾಹದ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ 2 ಕಿ.ಮಿ. ಆದರೆ, ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ದೋಣಿಯ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?

[ದೋಣಿಯು ಪ್ರವಾಹದ ಜೊತೆಗೇ ಚಲಿಸುವಾಗ ಸಮಯ ಕಡಿಮೆ ಸಾಕು. ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧ ಚಲಿಸುವಾಗ ಸಮಯ ಜಾಸ್ತಿಬೇಕು]

 

ಪರಿಹಾರ:

ದೋಣಿಯ ವೇಗ = x ಆಗಿರಲಿ (ನಿಶ್ಚಲ ನೀರಿನಲ್ಲಿ)

ಹೋಗಿ, ಬರಲು ಬೇಕಾದ ಒಟ್ಟು ಸಮಯ  1ಗಂ. 40ನಿ. = 100/60 = 5/3 ಗಂಟೆ.

ಬಂದರುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ = 8 ಕಿ.ಮಿ.

ಪ್ರವಾಹದ ವೇಗ 2ಕಿ.ಮಿ/ಗಂ.

 ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೋಗಲು ಬೇಕಾದ ಕಾಲ = 8/x+2 (ದೋಣಿಯ ವೇಗ + ಪ್ರವಾಹದ ವೇಗ)

 ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧ ಹೋಗಲು ಬೇಕಾದ ಕಾಲ = 8/x-2 (ಪ್ರವಾಹವು ವೇಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ)

 ಒಟ್ಟು ಸಮಯ =  8/(x-2) + 8/(x+2) = 5/3

ಆದುದರಿಂದ ಬಿಡಿಸಬೇಕಾದ್ದು:  8/(x-2) + 8/(x+2) = 5/3

 

ಚಟುವಟಿಕೆ: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ, ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ x =10

 

ತಾಳೆ:

ಬೇಕಾದ ಒಟ್ಟು ಕಾಲ = 8/(10-2) + 8/(10+2) = 8/8 + 8/12 = 1+2/3 = 5/3   ದತ್ತಾಂಶ

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 17: ಒಂದು ವಿಮಾನವು ನಿಗದಿತ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ 30 ನಿಮಿಷ ತಡವಾಗಿ ಹೊರಟಿತು. ಅದು ಪಯಣಿಸಬೇಕಾದ ದೂರ 1500 ಕಿ.ಮಿ. ನಿಗದಿತ ಸಮಯಕ್ಕೇ ಅಲ್ಲಿಗೆ ತಲುಪಲು ಅದು ತನ್ನ ವೇಗವನ್ನು ಮಾಮೂಲು ವೇಗಕ್ಕಿಂತ 250ಕಿ.ಮಿ. ನಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಮಾಮೂಲು ವೇಗ ಮತ್ತು ಮಾಮೂಲು ಅವಧಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ವಿಮಾನದ ನಿತ್ಯದ ವೇಗ = x ಆಗಿರಲಿ

ಕ್ರಮಿಸಬೇಕಾದ ದೂರ = 1500 ಕಿ.ಮಿ.

 ಮಾಮೂಲಿ ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮಯ = ದೂರ/ ವೇಗ = 1500/x ಗಂಟೆ.

ವಿಮಾನವು ಅರ್ಧ ಗಂಟೆ ತಡವಾಗಿ ಹೊರಟಿದೆ. ನಿಗದಿತ ವೇಳೆಗೇ ಗುರಿ ತಲುಪಲು ಅದು ತನ್ನ ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿಕೊಳ್ಳಲೇಬೇಕು.

ಈಗ ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಪಯಣಿಸಲು ಇರುವ ಸಮಯ = (1500/x) -1/2

ಇದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನ 1500 ಕಿ.ಮಿ. ಹಾರಿದೆ. ಆಗ ವೇಗ:  (x+250)

*      ದೂರ = ಸಮಯ*ಹೊಸ ವೇಗ

*      I.e. 1500 = {(1500/x) -1/2}*(x+250) = (3000-2x)*(x+250)/2x

I.e. 3000x = (3000-x)(x+250)

ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ,

I.e. 3000x = 3000x -x2+750000-250x

I.e. x2-750000+250x =0

ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿ :  = 1750

 ಮೂಲಗಳು:

x = [-b )]/2a    = (-250 1750)/2

x = 750 ಅಥವಾ x =-1000

ವಿಮಾನದ ವೇಗ ಋಣ ಬೆಲೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲದ್ದು x = 750 ಕಿ.ಮಿ/ಗಂಟೆ

 ಮಾಮೂಲಿ ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮಯ = 1500/750 = 2 ಗಂಟೆ

 

ತಾಳೆ:

ವಿಮಾನದ ವೇಗ 250ಕಿ.ಮಿ. ಹೆಚ್ಚಾದುದರಿಂದ ಹೊಸ ವೇಗ: 1000ಕಿ.ಮಿ. /ಗಂಟೆ.

 1500 ಕಿ.ಮಿ. ಕ್ರಮಿಸಲು ಬೇಕಾದ ಸಮಯ = 1500/1000 = 1.5 ಗಂಟೆ. ಅಂದರೆ

ನಿಗದಿತ ಪ್ರಯಾಣದ ವೇಳೆಗಿಂತ 1/2  ಗಂಟೆ ಕಡಿಮೆ.

ವಿಮಾನವು 1/2   ಗಂಟೆ ತಡವಾಗಿ ಹೊರಟಿರುವುದರಿಂದ, ಸರಿಯಾದ ವೇಳೆಗೇ ಗುರಿಯನ್ನು ತಲಪುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 18: ಏ ಹುಡುಗಿ, ಹಂಸಗಳ ಗುಂಪಿನ ಒಟ್ಟು ಹಂಸಗಳ ವರ್ಗಮೂಲದ 7/2 ರಷ್ಟು ಹಂಸಗಳು ಕೊಳದ ದಡದಲ್ಲಿ ಆಡುತ್ತಿವೆ. ಉಳಿದೆರಡು ಹಂಸಗಳು ಕೊಳದಲ್ಲಿ ಜಗಳವಾಡುತ್ತಿವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಒಟ್ಟು ಇರುವ ಹಂಸಗಳೆಷ್ಟು? (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 70)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಒಟ್ಟು ಹಂಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ x ಆಗಿರಲಿ

ದಡದಲ್ಲಿ ಆಡುತ್ತಿರುವ ಹಂಸಗಳು = (7/2)

ಕೊಳದಲ್ಲಿ ಜಗಳವಾಡುವ ಹಂಸಗಳು = 2

*       x= (7/2)+2

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ, ಮೂಲಗಳು: 1/4 ಅಥವಾ 16

ಆದರೆ ಹಂಸಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 1/4 ಇರಲಾಗದು. ಒಟ್ಟು ಇರುವ ಹಂಸಗಳು = 16

ತಾಳೆ:

16 = 14+2 = (7/2) +2 ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಂತೆಯೇ ಇದೆ.

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 19: ಅರ್ಜುನನು ಮಹಾಭಾರತ ಯುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣನನ್ನು ಕೊಲ್ಲಲು ಬತ್ತಳಿಕೆ ಯಿಂದ ಹಲವು ಬಾಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ. ತೆಗೆದ ಬಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟರಿಂದ ಕರ್ಣನ ಬಾಣಗಳನ್ನು ತುಂಡರಿಸುತ್ತಾನೆ. ತೆಗೆದ ಬಾಣಗಳ ವರ್ಗಮೂಲದ 4 ರಷ್ಟರಿಂದ ಕರ್ಣನ ಕುದುರೆಗಳನ್ನು, 6 ಬಾಣಗಳಿಂದ ಶಲ್ಯನನ್ನು, ಒಂದೊಂದರಿಂದ ಕರ್ಣನ ರಥದ ಕೊಡೆ, ಕರ್ಣನ ರಥದ ಬಾವುಟ, ಮತ್ತು ಕರ್ಣನ ಬಿಲ್ಲನ್ನು ತುಂಡರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಉಳಿದ ಒಂದು ಬಾಣದಿಂದ ಕರ್ಣನನ್ನು ಕೊಂದರೆ, ಬತ್ತಳಿಕೆ ಯಿಂದ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಬಾಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ? (ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 71)

ಪರಿಹಾರ:

ತೆಗೆದ ಬಾಣಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ x ಇರಲಿ.  

ಹಂತ

ಏತಕ್ಕೆ

ಎಷ್ಟು

1

ಕರ್ಣನ ಬಾಣಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು

(x/2)

2

ಕರ್ಣನ ಕುದುರೆಗಳಿಗಾಗಿ

4

3

ಶಲ್ಯನಿಗೆ

6

4

ಕರ್ಣನ ರಥದ ಕೊಡೆ,ಬಾವುಟ, ಬಿಲ್ಲುಗಳಿಗೆ

(1+1+1) =3

5

ಕರ್ಣನ ಮೇಲೆ

1

 

x = (x/2)+ 4 +6+3+1

 x –(x/2)-10 = 4

 (x/2)-10 = 4

 (x-20) = 8

 x2-40x+400 = 64x   --------- ((a+b)2  ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿದೆ).

 x2-104x+400 =0

 (x-100)*(x-4) =0

 x=100  ಅಥವ   x=4

(ಅವನು 6 ಬಾಣಗಳನ್ನು ಶಲ್ಯನಿಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸಿರುವುದರಿಂದ 4 ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ)

ಆದುದರಿಂದ ಅರ್ಜುನನು 100 ಬಾಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದಿರುತ್ತಾನೆ

 

ತಾಳೆ:

100= 50+40+6+3+1

 

2.19.1 ಸಮಸ್ಯೆ 20: ಒಂದು ಕಾಡಿನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಮಂಗಗಳ ಗುಂಪಿನ 1/5 ನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ 3 ನ್ನು ಕಳೆದು ವರ್ಗಿಸಿದ ಗುಂಪು ಗುಹೆಗೆ ಹೋಯಿತು. ಉಳಿದ ಒಂದು ಮರದ ರೆಂಬೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿತು. ಮಂಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು? (ಭಾಸ್ಕರ : ಬೀಜಗಣಿತ)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಮಂಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ x ಇರಲಿ . 

ಹಂತ

ಎಲ್ಲಿ

ಎಷ್ಟು

1

ಗುಹೆಗೆ

{(x/5)-3}2

2

ಉಳಿದದ್ದು

1

 

{(x/5)-3}2+1 =x

(x2/25) –(6x/5)+9+1=x

(x2/25) –(11x/5)+10=0

x2–55x+250=0

(x-50)*(x-5) =0

 x=50 ಅಥವ  x=5:  5 ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕಂದರೆ {(x/5)-3} ಋಣ ಆಗಬಾರದು

ತಾಳೆ:

50= (10-3)2+1= 49+1,

 

2.19.2 ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವ (Nature of roots of a Quadratic equation)

 

ನೀವು ಈವರೆಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಾಗ b2-4ac ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ?

2.19.1 .5 ರಲ್ಲಿ b2-4ac = 0 ಮೂಲಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.

2.19.1 .8 ರಲ್ಲಿ  b2-4ac <0 ಮೂಲಗಳು ಅವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಉಳಿದವುಗಳಲ್ಲಿ b2-4ac > 0 ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

 

ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಈ b2-4ac ಯನ್ನು  “ಶೋಧನ” (discriminant)  ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು (ಡೆಲ್ಟಾ) ದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

 

ನಾವೀಗ ಈ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ.

 

ಶೋಧಕದ ಬೆಲೆ (b2-4ac) =

ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವ =[-b ]/2a   

1

 = 0

ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಸಮ.

2

 >0 (ಧನ ಸಂಖ್ಯೆ)

ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3

 <0 (ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ)

ಮೂಲಗಳು ಸಮವಲ್ಲದ ಅವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಸಮ್ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು)

 

2.19.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1:  m ನ ಯಾವ ಧನ ಬೆಲೆಗೆ mk2-3k+1 =0 ಯ ಮೂಲಗಳು (1) ಸಮ  (2) ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ (3)ಅವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ?

 

 

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣ: mk2-3k+1 =0

ಇಲ್ಲಿ a=m, b= -3, c= 1

* b2-4ac = 9  – 4m

1.                  ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಬೇಕಾದರೆ, b2-4ac =0

(I.e. 9-4m =0, i.e. m = 9/4)

2.                  ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನವಾಗಬೇಕಾದರೆ,  b2-4ac >0

(I.e. 9-4m >0, i.e. 9 >4m, i.e. m < 9/4)

3.                   ಮೂಲಗಳು ಅವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕಾದರೆ, b2-4ac <0

(I.e. 9-4m <0, i.e. 9 <4m, i.e. m > 9/4)

 

2.19.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: m ನ ಯಾವ ಬೆಲೆಗೆ r2-(m+1)r +4 =0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು (ಸಮ), (ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ), (ಅವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣ: r2-(m+1)r +4 =0

ಇಲ್ಲಿ a=1, b= -(m+1), c= 4

 b2-4ac = (m+1) 2-16

= [(m+1)+4]*[(m+1)-4]  ===> (ಅಪವರ್ತಿಸಿದಾಗ)

= (m+5)(m-3)

 

  1. ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಬೇಕಾದರೆ,  b2-4ac =0

                                                              i.      (i.e. (m+5)= 0 ಅಥವಾ (m-3)=0 i.e. m=-5 ಅಥವಾ m=3)

  1. ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನವಾಗಲು, b2-4ac >0

    (i.e. (m+5)(m-3) >0) ಎರಡು ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಧನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡೂ ಪದಗಳು ಧನವಾಗಿರಬೇಕು ಇಲ್ಲ ಎರಡೂ ಪದಗಳು ಋಣವಾಗಿರಬೇಕು ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ,ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳು ಸಾಧ್ಯ:            

ಸಂದರ್ಭ 1: m+5 > 0 ಮತ್ತು m-3>0

I.e.   m> -5  ಮತ್ತು m>3: ಹೀಗಿರಲು m>3 ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು

ಸಂದರ್ಭ 2: m+5 < 0 ಮತ್ತು  m-3<0

I.e.   m< -5 ಮತ್ತು m<3: ಹೀಗಿರಲು m<-5 ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು

  1. ಮೂಲಗಳು ಅವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನವಾಗಲು, b2-4ac <0

(i.e. (m+5)(m-3) <0) ಎರಡು ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಋಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಪದ ಧನವಾಗಿದ್ದು ಇನ್ನೊಂದು ಋಣವಾಗಿರಬೇಕು ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ,ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳು ಸಾಧ್ಯ:  

        ಸಂದರ್ಭ 1: m+5 < 0 ಮತ್ತು  m-3>0

I.e.   m< -5  ಮತ್ತು m>3:  ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ

        ಸಂದರ್ಭ 2: m+5 > 0 ಮತ್ತು m-3<0

I.e.   m< -5  ಮತ್ತು m<3: ಹೀಗಿರಲು m  -5  ಮತ್ತು 3  ರ ಮಧ್ಯ ಇರಲೇಬೇಕು.

ಈ ರೀತಿ ನಾವು ಕಂಡು ಹಿಡಿದಿರುವುದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸಿದಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

 

 

2.19.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3:  (p+1) n2+2(p+3)n +(p+8) =0  ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಬೇಕಾದರೆ, pಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a=(p+1), b= 2p+6, c= p+8

 b2-4ac = (2p+6)2  – 4*(p+1)(p+8)

   =  (4p2+24p+36) -4(p2+8p+p+8)

   = 4p2+24p+36 -4p2-36p-32

   =-12p+4

ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಬೇಕಾದರೆ,  b2-4ac =0

I.e.   -12p+4 = 0

I.e. p=1/3

ಸೂತ್ರದಂತೆ, p=1/3  ಆದಾಗ ಮೂಲಗಳು:

n = [-b ]/2a  =[-2(p+3)0) ]/2(p+1)  =  - (p+3)/(p+1)

           = - (10/3)/(4/3) = -5/2

 

ತಾಳೆ:

n = -5/2 ನ್ನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,                                                                                                                                                                                                              

(p+1) n2+2(p+3)n +(p+8)

= 25(p+1)/4 -5(p+3) +(p+8)

= 25(p+1)/4  -4p -7

= (25p+25-16p-28)/4

= (9p-3)/4   (p = 1/3 ಆದೇಶಿಸಿ)

=0/4 = 0 = ಬಲಭಾಗ)

 

2.19.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: (3p+1)c2+2(p+1)c+p=0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಬೇಕಾದರೆ, ‘p’ ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0

ಇಲ್ಲಿ a=(3p+1), b= 2p+2, c= p

 b2-4ac = (2p+2)2  – 4*(3p+1)p

   =  (4p2+4+8p) -4(3p2+p)

   = 4p2+4+8p -12p2-4p

   = -8p2+4p+4

   = - 4(2p2-p-1)

ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಬೇಕಾದರೆ,  b2-4ac =0

 2p2-p-1 = 0

ಎಡಬದಿ = 2p2-2p+p-1

  = 2p(p-1)+(p-1)

  = (p-1)(2p+1)

ಈಗ 2p2-p-1 = 0 ಆದ್ದರಿಂದ (p-1)(2p+1) = 0

  p=1 ಅಥವಾ p= -1/2 ಆದಾಗ, ಮೂಲಗಳು

ಗಮನಿಸಿ:2p2-p-1 = 0 ಇದರ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ ಉಪಯೋಗಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸೂತ್ರದಂತೆ  p=1 ಆದಾಗ, ಮೂಲಗಳು:

c = [-b +]/2a  =[-2p-2 0) ]/2(3p+1)  =  - 4/8 =  -1/2

p = -1/2 ಆದಾಗ c ಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬೆಲೆ (ಅದೇ) ಬರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿಯೂ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ‘p’ ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

 

ತಾಳೆ:

¸ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ c = -1/2 ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

(3p+1) c2+2(p+1)c +p

= (3p+1)/4+2(p+1)(-1/2) +p

=(3p+1)/4 –(p+1) +p

=(3p+1)/4 -1 (4 ನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ ಮಾಡಿ)

= [(3p+1) -4]/4 (p =1 ಆದೇಶಿಸಿ)

= 0/4 = 0 = ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಬದಿ

ಚಟುವಟಿಕೆ: p = -1/2   ಆದಾಗ, (3p+1) c2+2(p+1)c +p =0  ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಿವೆಯೇ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

 

2.19.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: 2y2-py +1 =0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ‘p’ ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a=2, b= -p, c= 1

 b2-4ac = p2 -8

ಮೂಲಗಳು ಸಮವಾಗಿರಲು, b2-4ac =0

p2 = 8 :

p =  2

ಚಟುವಟಿಕೆ: p ಯ ಈ ಬೆಲೆಯು ಸಮಾನ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆಂದು ತಾಳೆನೋಡಿ.

 

2.19.3 ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಿಗೂ, ಅವುಗಳ ಸಹಾಪವರ್ತನಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧ (Relationship between roots and co-efficients):

 

 ‘m’  ಮತ್ತು ‘n’ ಗಳು ವರ್ಗಸಮೀಕರಣ ax2 +bx+ c =0 ಇದರ ಮೂಲಗಳಾಗಿರಲಿ.

 (x-m)(x-n) = 0

ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು (m,n) :

x = [-b +]/2a  ಅಥವ x = [-b -]/2a   

 m = [-b +]/2a

    n  = [-b -]/2a

 m+n = [-b +]/2a + [-b -]/2a

= -2b/2a = -b/a

mn = [-b +]/2a * [-b -]/2a ( (a+b)(a-b) ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿದೆ)

= [ (-b)2- {}2] /4a2

= [b2 -(b2-4ac) ] /4a2

= 4ac/4a2

= c/a

ತೀರ್ಮಾನ:

1) ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತ = -b/a

2) ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = c/a

 

2.19.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1:  x2 +(ab)x+ (a+b) =0 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a=1, b= ab, c= (a+b)

m+n = -b/a = -ab/1 = -ab

 mn =c/a =(a+b)/1 = (a+b)

 

2.19.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: pr2 = r-5 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮೀಕರಣ pr2 –r+5= 0

ಈ ಸಮೀಕರಣವು a x2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a=p, b= -1, c= 5

m+n = -b/a = 1/p 

mn =c/a = 5/p

 

2.19.4 ದತ್ತ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು (Formation of equation with given roots):

 

‘m’  ಮತ್ತು ‘n’ ಗಳು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ ax2 +bx+ c =0 ಇದರ ಮೂಲಗಳಾಗಿರಲಿ. ಆಗ  (x-m)(x-n) = 0

ಆದರೆ (x-m)(x-n)

=x(x-n)-m(x-n)

= x2 –xn –mx +mn

= x2 –x(n+m) +mn

= x2 –( m+n)x +mn

ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ:-

 x2 –( ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತ)x +( ಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ) =0

 

2.19.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 2a2-4a+1=0 ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು  ‘p’ ಮತ್ತು ‘q’ ಆದರೆ, (p+q)2+4pq ಮತ್ತು (p3 +q3) ಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು  p3 ಮತ್ತು q3 ಗಳು ಮೂಲಗಳಾಗುವಂತೆ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ ಬರೆ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವು ax2+bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a=2, b= -4, c= 1

p+q = -b/a = 4/2 =2  

    pq =c/a =1/2

 (p+q)2+4pq=4+2 = 6

ನಮಗೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರ ಗೊತ್ತಿದೆ: a3+b3= (a+b) (a2+b2-ab)

p3 +q3 

= (p+q)( p2+q2-pq)

= (p+q)[( p2+q2+2pq) -3pq)]

= (p+q)[( p+q)2-3pq]

=2*[4-3/2] = 5 ( (p+q) ಮತ್ತು pqಗಳ ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿದೆ)

ನಮಗೀಗ p3 ಮತ್ತು q3 ಗಳು ಮೂಲಗಳಾಗಿರುವ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ ಬೇಕು.

ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತ = p3 +q3  =5 ( ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದೆ)

ಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = p3*q3  = (pq)3 =(1/2)3 =1/8

 ಬೇಕಾದ ಸಮೀಕರಣ:

x2 –( ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತ)x +( ಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ) =0

I.e. x2-5x+ 1/8= 0 (8 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ)

8x2-40x+1=0

 

2.19.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2:  ಮೂಲಗಳು p/q ಮತ್ತು q/p ಇರುವಂತೆ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ ರಚಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

    m =p/q, n=q/p

m+n = p/q+q/p = (p2+q2)/pq

    mn = p/q*q/p =1

 ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಆದರ್ಶ ರೂಪ: x2 –(n+m)x +mn= 0

I.e. x2 –(p2+q2)x/pq +1 = 0

 (pqx2 –(p2+q2)x +pq)/pq =0(pq ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ ಮಾಡಿದೆ)

I.e. pqx2 –(p2+q2)x +pq=0

 

2.19.3 ಸಮಸ್ಯೆ 3: x2+px+q=0 ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಮೂಲವು ಮತ್ತೊಂದು ಮೂಲದ ಮೂರರಷ್ಟ್ಟಿದ್ದರೆ, 3p2=16q ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವು ax2+bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a=1,b=p,c=q

m ಮತ್ತು n ಗಳು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿರಲಿ.

m+n = -b/a = - p   mn = c/a = q

ಒಂದು ಮೂಲವು ಮತ್ತೊಂದರ 3 ರಷ್ಟಿದೆ  m =3n ಆಗಿರಲಿ.

 p = - (m+n) =-(3n+n)= -4n   ಮತ್ತು q =mn=3n*n = 3n2

 3p2= 3(-4n)2= 48n2=16*3n2 = 16q(3n2=q)

 

2.19.3 ಸಮಸ್ಯೆ 4: 4x2-8px+9=0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 4 ಆದರೆ ‘p’ ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವು ax2+bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a=4,b=-8p,c=9

m ಮತ್ತು n ಗಳು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿರಲಿ.

1) m+n = -b/a = 8p/4 = 2p  ====(1)

2)  mn= c/a = 9/4              ====(2)

ಮೂಲಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 4  n = m+4 ಆಗಿರಲಿ.

n ನ ಈ ಬೆಲೆಯನ್ನು (1)ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ.

m+n = 2p

m+m+4 = 2p

2m= 2p-4

m=p-2 ------à(3)

n= m+4 ಇದನ್ನು (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ

m(m+4) =9/4

m2+4m - 9/4 =0

I.e. (p-2)2+4(p-2) - 9/4 =0   {(3) ರಂತೆ m=p-2}

p2-4p+4 +4(p-2) - 9/4 =0 {(p-2)2 ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ }

p2-4p+4 +4p-8 - 9/4 =0

p2-4 - 9/4 =0

p2-25/4 =0

p2= 25/4

p =  5/2

 

ತಾಳೆ:

p =(-5/2) ಬೆಲೆಯನ್ನು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ

4x2-8px+9=0  

4x2-8*(-5/2)x+9=0 

4x2+20x+9=0  

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ax2+bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.  a=4, b=20, c=9

 b2-4ac = 400  – 4*4*9 = 400-144 =256

  = (256) = 16

ಸೂತ್ರದಂತೆ,

ಮೂಲಗಳು: x = [-b +]/2a  =(-20+16)/8  =   -4/8

        x = [-b -]/2a   = (-20-16)/8 =  -36/8

ಮೂಲಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 32/8 = 4 ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದೇ.

 

ಚಟುವಟಿಕೆ: p=5/2 ಕೂಡಾ ಇದೇ ಫಲಿತಾಂಶ ಬರುತ್ತದೆಂದು ತಾಳೆನೋಡಿ.

 

2.19 ಕಲಿ  ಾರಾಂಶ

 

 

 

ಸಂ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ax2 +bx+ c = 0 ಈ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು x = [-b+]/2a  [-b-]/2a

2

m ಮತ್ತು n ಗಳು ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾದರೆ, (m+n) = -b/a , (mn) = c/a ಮತ್ತು x2 –(n+m)x +mn =0