2.5 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ (HCF(GCD) and LCM of Algebraic terms):

 

ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಎಂದರೇನೆಂದು ನಮಗೀಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

 

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4, 8, 20, 16. - ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. 2 ಮತ್ತು 4  ಇವೆರಡು ಮೇಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದ್ದು 4 ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. 4, 8, 20, 16- ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 4.

 

ಮ.ಸಾ.ಅ ವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಉಪಯುಕ್ತ.

 

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ = 30/48 ನ್ನು ನೋಡುವಾ.

30 ಮತ್ತು 48 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ 6.

30/48 =  (6*5)/(6*8) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದಾಗ

= 5/8

 

ಲ.ಸಾ.ಅ ಎಂದರೇನು? ಅದು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕ (ಅಪವರ್ತ್ಯ) ಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4, 8, 20, 16 ಇವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳು  =80, 160, 320 … ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು = 80 .

 ಇದು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲ.ಸ.ಅ.

ಲ.ಸಾ.ಅ ವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತ.

ಈಗ  1/4, 1/8, 1/20 ನ್ನ ಕೂಡಿಸುವಾ.

4,8,20 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ = 40

1/4 = 10/40

1/8 = 5/40

1/20 = 2/40

1/4+1/8+1/20 = 10/40+5/40+2/40 = (10+5+2)/40 = 17/40

 

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೂಡಾ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮವನ್ನೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವಾ

ಹಂತ	ವಿಧಾನ
1	ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.
2	ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
3	2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
4	2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಎಡಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
5	ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಸಿಗುವವರೆಗೂ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ.

 

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ.

ಉದಾ: 16,24,20 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

2 | 16,24,20

2 |  8,12,10

      4, 6, 5

 

            4, 6, 5 ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

16,24,20 ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ = (2*2)  = 4

ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು:

ಹಂತ	ವಿಧಾನ
1	ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.
2	ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
3	2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
4	2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನ ಎಡಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
5	ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವಾಗ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ ಲ.ಸಾ.ಅ.

ಉದಾ: 16,24,20 ಇವುಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ

 

2 | 16,24,20

2 |  8,12,10

2 |  4,6,5

   |  2,3,5

 

 ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ (2*2*2)*(2*3*5) = 240

 

ಗಮನಿಸಿ : ಯಾವುದೇ 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ * ಲ.ಸಾ.ಅ = ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ..

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದಗಳಿಗೂ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ 2 ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಅಥವಾ ಲ.ಸಾ.ಅ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಲ.ಸಾ.ಅ ಅಥವಾ ಮ.ಸಾ.ಅ ಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

 

2.5 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : 16a⁴b³x³, 24b²m³n⁴y, 20a²b³nx³ ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ (16,24,20) ಮ.ಸಾ.ಅ = 4

ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗ :  a⁴b³x³, b²m³n⁴y, a²b³nx³ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ b ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ.

 

4b | 16a⁴b³x³, 24b²m³n⁴y, 20a²b³nx³ (ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ 4b ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, 4b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.

            b  |  4a⁴b²x³, 6bm³n⁴y, 5a²b²nx³ (b ಯು  ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ)

     |4a⁴bx³, 6m³n⁴y, 5a²bnx³

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲವುದಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 

 ದತ್ತ ಪದಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ = 4b*b= 4b²  

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಮ.ಸಾ.ಅ ಸಹಾಯಕ

ಉದಾ: 16a⁴b³x³+24b²m³n⁴y- 20a²b³nx³

 

16a⁴b³x³+24b²m³n⁴y- 20a²b³nx³

=4b²(4a⁴bx³+6m³n⁴y- 5a²bnx³)

 

2.5 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 6x²y³, 8x³y², 12x⁴y³, 10x³y⁴ – ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

1)      ಮ.ಸ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ = 2

ಉಳಿದ ಭಾಗಗಳ ಕನಿಷ್ಟ ಭಾಜಕ = x

2x | 6x²y³, 8x³y², 12x⁴y³, 10x³y⁴ (2x  ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ )

x   | 3xy³, 4x²y², 6x³y³, 5x²y⁴

y   |3y³,   4xy²,   6x²y³, 5xy⁴

y   |3y²,   4xy,    6x²y², 5xy³

      3y,   4x,     6x²y,   5xy²

ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 ದತ್ತ ಪದಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ = 2x*x*y*y = 2x²y²

ಮ.ಸ.ಅ ದ ಉಪಯೋಗ:

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: 6x²y³+8x³y²-12x⁴y³+10x³y⁴

6x²y³+8x³y²-12x⁴y³+10x³y⁴

= 2x²y²(3y+4x-6x²y+5xy²)

 

2)      ಲ.ಸ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

 

2x | 6x²y³, 8x³y², 12x⁴y³, 10x³y⁴ (2x ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ)

x   | 3xy³, 4x²y², 6x³y³, 5x²y⁴

y   |3y³,   4xy²,   6x²y³, 5xy⁴

y   |3y²,   4xy,    6x²y², 5xy³

Y  |3y,     4x,    6x²y   , 5xy²

x   | 3,      4x     6x²,     5xy

2  | 3,      4      6x       5y

_{­­­­­­­­­­­­­­} 3  | 3,      2      3x       5y

    | 1,     2      x        5y

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 ದತ್ತ ಪದಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ =( 2x*x*y*Y)*(Y*x*2*3*2*x*5y) =2x²y²* 60x²y² = 120x⁴y⁴

ಲ. ಸ.ಅ ದ ಉಪಯೋಗ:

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ:: (1/6x²y³)+(1/8x³y²)-(1/12x⁴y³ )+(1/10x³y⁴)  

ಗಮನಿಸಿ:

(1/6x²y³)  = (20x²y/120x⁴y⁴)

(1/8x³y²)  = (15xy²/120x⁴y⁴)

(1/12x⁴y³) = (10y/120x⁴y⁴)

(1/10x³y⁴) = (12x/120x⁴y⁴)

 

(1/6x²y³)+(1/8x³y²)-(1/12x⁴y³ )+(1/10x³y⁴)

= (20x²y+15xy²-10y+12x)÷(120x⁴y⁴)

 

 

2.5 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ.	ಕಲಿತ ಅಂಶಗಳು
1	ಬೀಜ ಪದಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಗಳನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.