2.9 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ & ಲ.ಸಾ.ಅ (HCF and LCM of Polynomials/Algebraic expressions):

 

ಯಾವುದೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ .ಸಾ. ಮತ್ತು .ಸಾ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠ 2.5 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ

 

2.9 ಸಮಸ್ಯೆ 1: (p+3)3, 2p3+54+18p(p+3), (p2+6p+9) ಇವುಗಳ .ಸಾ. ಮತ್ತು .ಸಾ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ ಅಪವರ್ತಿಸಿರಿ.

1. (p+3)3 ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3),(p+3) ಮತ್ತು (p+3)

2. ಈಗ 2ನೇ ಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾ.

2p3+54+18p(p+3)

= 2(p3+27)+18p(p+3)

= 2*(p+3)( p2+9-3p)+18p(p+3), [(p3+27) ಇದು a3+b3 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, a3+b3 =(a+b) (a2 +b2 -ab)]

=(p+3)*((2*(p2+9-3p))+18p)

= (p+3) *2*( p2+9-3p+9p)

=2(p+3)( p2+9+6p) [ (p2+9+6p ಇದು ( a2+ b2+2ab) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, ( a2+ b2+2ab)= (a+b)2 ]

= 2(p+3)(p+3)2

2p3+54+18p(p+3) ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2, (p+3),(p+3),(p+3)

3. (p2+6p+9) =(p+3)2 -- (ಮೇಲೆ ನೋಡಿದೆ.)

(p2+6p+9) ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3)2

ಹಂತ 2: ಈಗ .ಸಾ.. ಮತ್ತು .ಸಾ. ನೋಡಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

ಮೇಲಿನವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ( p+3)ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ( p+3)ನಿಂದಲೇ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ

 

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)

(p+3), 2(p+3) 1

 

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ .ಸಾ. = (p+3)(p+3)= (p+3)2

ಮತ್ತು

 

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)

(p+3) | (p+3), 2(p+3) 1

1, 2, 1

 

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲದುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ಮುಗಿಯಿತು.

.ಸಾ. = (p+3)(p+3)(p+3)*1*2*1 = 2(p+3)3

ತಾಳೆ:

 

p=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ

.ಸಾ. = (p+3)2 = (2+3)2 =25

.ಸಾ. = 2(p+3)3= 2(2+3)3= 2*125=250

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು: (p+3)3 , 2p3+54+18p(p+3), (p2+6p+9)

(2+3)3, (2*23+54+18*2(2+3)), (22+6*2+9)

= {125, 250,25}

ಇವುಗಳ .ಸಾ. =25 , .ಸಾ. =250 ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

 

2.9 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 10(x2-y2), 15(x2-2xy+y2), 20(x3- y3), 5(-3x +3y) ಗಳ .ಸಾ. ಮತ್ತು .ಸಾ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬೇಕು.

 

1.      ಮೊದಲ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 10(x2-y2) ಇದರಲ್ಲಿ (x2-y2) ವು (a2-b2) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) (a-b):

10(x2-y2)=10(x+y)(x-y)

2.      ಎರಡನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 15(x2-2xy+y2)

ಇದರಲ್ಲಿ (x2-2xy+y2) ವು (a2-2ab+b2) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (a-b) ಮತ್ತು (a-b)

15(x2-2xy+y2)= 15(x-y) (x-y)

3. ಮೂರನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 20, (x3-y3): 20, (x-y), (x2 +y2 +xy)

4. ನಾಲ್ಕನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 5*-3(x-y) = 5*(-3)(x-y)=-15, (x-y)

 

ಹಂತ 2: ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನಗಳು 5 ಮತ್ತು (x-y) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇವೆರಡರಿಂದ ಜೊತೆಯಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.

 

5 (x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x2 +y2 +xy), -15(x-y)

2(x+y), 3(x-y), 4(x2 +y2 +xy), -3

 

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇನ್ನಿಲ್ಲ.

.ಸಾ. = 5(x-y)

ಈಗ .ಸಾ. ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಪುನ: 5(x-y) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು.

 

 

5(x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x2 +y2 +xy), -15(x-y)

2| 2(x+y), 3(x-y), 4(x2 +y2 +xy), -3 (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳು ಇರುವರೆಗೂ ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.)

3| (x+y), 3(x-y), 2(x2 +y2 +xy), -3

(x+y), (x-y), 2(x2 +y2 +xy) -1

 

.ಸಾ. =5(x-y)* 2*3*(x+y)*(x-y)*2(x2 +y2 +xy)

= 60*(x-y)(x+y)*(x-y)(x2 +y2 +xy) ( (x-y)(x2 +y2 +xy) ವು (a-b)( (a2 +b2 +ab) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು a=x and b= y)

= 60*(x2-y2)* (x3-y3)

 

ತಾಳೆ:

x=3 , y=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ

.ಸಾ. = 5(x-y) = 5*(3-2) = 5

.ಸಾ. = 60*(x2- y2)* (x3-y3)

= 60*(9-4)*)(27-8)

=60*5*19=5700

 

ಈಗ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು:

10(x2-y2), 15(x2-2xy+y2) 20(x3- y3),5(-3x +3y)

10(32-22), 15(32-2*3*2+22), 20(33- 23),5(-3*3 +3*2)

= {50, 15, 380, -15}

ಪದಗಳ .ಸಾ. =5

.ಸಾ. ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವಾ.

 

5 | 50,15,380,-15

2 | 10,3,76,-3

3 | 5,3,38,-3

| 5,1,38,-1

.ಸಾ. = 5*2*3*5*38=5700 ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

 

 

2.9 ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಯಾವ a ಮತ್ತು b ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ

p(x) = (x2+3x+2) (x2+2x+a), q(x) = (x2+7x+12) (x2+7x+b)

(x+1)(x+3) ಅವುಗಳ .. ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಪರಿಹಾರ:

(x2+3x+2) = (x+1)(x+2)

(x2+7x+12) = (x+4)(x+3)

p(x) = (x+1)(x+2)(x2+2x+a)

q(x) = (x+4)(x+3) (x2+7x+b)

ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) p(x), .ಸಾ. ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(x2+2x+a) ಅಪವರ್ತನ (x+3) ಇರಲೇ ಬೇಕು

I.e. x=-3 ಎಂದ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (x2+2x+a) =0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು

(-3)2+2(-3)+a =0

I.e. 9-6+a =0

a =-3

ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) .ಸಾ. q(x), ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(x2+7x+b) ಅಪವರ್ತನ (x+1)

I.e. x=-1 ಎಂದ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (x2+7x+b) =0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು

(-1)2+7(-1)+b =0

I.e. 1-7+b =0

b =6

 

ತಾಳೆ:

a ಮತ್ತು b ಬೆಲೆಗಳನ್ನು p(x) ಮತ್ತು q(x) ದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

p(x) = (x2+3x+2) (x2+2x-3) = (x+1) (x+2) (x+3) (x-1) { (x2+2x-3) = (x+3)(x-1)}

q(x) =(x2+7x+12) (x2+7x+6) = (x+4) (x+3) (x+1) (x+6) { (x2+7x+6)= (x+1)(x+6)}

p(x) ಮತ್ತು q(x) ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ p(x) ) ) ಮತ್ತು q(x) .ಸಾ. (x+1) (x+3) ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

 

 

 

2.9 ಕಲಿ ಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮ.