7.2 ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಮತ್ತು ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ  (Distance between 2 points and Section Formula):

 

7.2.1 ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ:  ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷಾಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಆಗಾಗ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು( ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಕಂಡದ ಉದ್ದ)  ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ

P (x1,y1) ಮತ್ತು Q (x2,y2) be the ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ.

ನಾವು PQ ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

P ಮತ್ತು Q ಗಳಿಂದ  X ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ PA ಮತ್ತು QB ಎನ್ನುವ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ.

OA = x1 ಮತ್ತು OB = x2 ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

P ಮತ್ತು Q ಗಳಿಂದ  Y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ PC ಮತ್ತು QD ಎನ್ನುವ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ.

OC = y1 ಮತ್ತು OD = y2  ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

CP ಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ಅದು BQ ಯನ್ನು R ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.

PR = OB-OA = x2-x1

QR = OD-OC = y2-y1

PRQ ಎನ್ನುವುದು ಲಂಬಕೋನತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ

PQ2 = PR2+RQ2= (x2-x1)2+ (y2-y1)2

 PQ =  {(x2-x1)2+ (y2-y1)2}

ಇದನ್ನೇ ದೂರದ ಸೂತ್ರ('Distance formula') ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

 

 

 

ಉಪಪ್ರಮೇಯ : ಒಂದು ಬಿಂದು ಮೂಲಬಿಂದು(0,0) ಆದರೆ ಸೂತ್ರ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ಆಗ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಿಂದ O(0,0)   P (x,y) ಗೆ ಇರುವ  ದೂರ OP =  (x2+ y2)

 

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: P(0,2) ಬಿಂದುವು  Q(3,k) ಮತ್ತು R(k,5)  ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮಾನದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ   k ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

PQ =  {(3-0)2+ (k-2)2} =  (9 +k2-4k+4)

PR =  {(k-0)2+ (5-2)2} =  ( k2+9)

PQ=PR ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

9 +k2-4k+4 = k2+9

ಇದನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ  k = 1

 

P(0,2) ಬಿಂದುವು Q(3,1) ಮತ್ತು R(1,5) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ  ಸಮಾನದೂರದಲ್ಲಿದೆ.

 

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2:  A(10,-18), B(3,6) ಮತ್ತು C(-5,2) ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಶೇಷತೆ ಏನು?

 

ಪರಿಹಾರ:

AB =  {(3-10)2+ (6-(-18))2} =  (49+ 576) =  (625) =25

AC =  {(-5-10)2+ (2-(-18))2} =  (225+ 400) =  (625) =25

BC =  {(-5-3)2+ (2-6)2} =  (64+ 16) =  (80)

 

AB=AC ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  ದತ್ತ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು  ತ್ರಿಕೋನ

 

 

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ದೂರದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ  A(2,5), B(-1,2) ಮತ್ತು C(4,7) ಬಿಂದುಗಳು ಏಕ ರೇಖಾಗತ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಸೂಚನೆ: BA+AC = BC ಎಂದು ತೋರಿಸಿ

(ಆನಂತರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಅವು  ಏಕ ರೇಖಾಗತ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ)

 

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳು A(4,6),B(0,4) ಮತ್ತು C(6,2) ಆಗಿದ್ದರೆ  ಅದರ ಪರಿಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸೂಚನೆ: Let O(x,y) ಪರಿಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಆಗ OA=OB=OC ಮತ್ತು ಆದುದರಿಂದ OA2 = OB2 =OC2

ಪರಿಹಾರ:

OA2 = (x-4)2+(y-6)2=x2-8x+16+y2-12y+36

OB2 = (x-0)2+(y-4)2=x2+y2-8y+16

OC2 = (x-6)2+(y-2)2=x2-12x+36+y2-4y+4

OA2 = OB2  ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  2x+y =9

OA2 = OC2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ x-2y = -3

ಮೇಲಿನ  ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ x=3 ಮತ್ತು y=3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದುದರಿಂದ O(3,3) ಯು ABC ಯ ಪರಿಕೇಂದ್ರ.

 

7.2.2 ದತ್ತ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು:

 

ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ:   

ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ ಅನುಪಾತದಂತೆ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರದ ಕುರಿತು ಇಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಲಿದ್ದೇವೆ.

AB ಯು A (x1, y1) ಮತ್ತು B(x2, y2) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ.

AB  ಯನ್ನು   ನೀಡಿದ  m1:m2  ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ  P(x, y)  ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ

A, P ಮತ್ತು B ಗಳಿಂದ  x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳು x- ಅಕ್ಷವನ್ನು  C,Q ಮತ್ತು D ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.

A ಮತ್ತು P ಗಳಿಂದ  x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು PQ ಯನ್ನು E ಯಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು  BD ಯನ್ನು  R ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.

If P ಬಿಂದುವು AB ಯನ್ನು m1:m2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ  ಆಗ AP/PB = m1/m2

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ   AEP ಮತ್ತು PRB ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳು (ಕೋ.ಕೋ.ಕೋ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ).

AE/PR = PE/BR=AP/PB = m1/m2 --------à(1)

AE = OQ-OC = x-x1 : PR = OD-OQ = x2-x PE = QP-QE(=CA) = y-y1 BR = DB-DR = y2-y

ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು  (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

AE/PR = (x-x1)/(x2-x) = PE/PR = (y-y1)/ (y2-y) = m1/m2  --------à(2)

 (x-x1)/(x2-x) = m1/m2                                                 

 m2(x-x1) = m1(x2-x) (ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ)  m2x - m2x1 = m1x2- m1x (ಬಿಡಿಸಿದಾಗ)

 x(m2+m1) = m1x2+ m2x1(ಪಕ್ಷಾಂತರದಿಂದ)  x = (m1x2+ m2x1)/(m2+m1)(ಭಾಗಿಸಿದಾಗ)

ಅದೇ ರೀತಿ (2) ರಿಂದ y = (m1y2+ m2y1)/(m2+m1)

A(x1, y1) ಮತ್ತು B(x2, y2)  ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ  ರೇಖೆಯನ್ನು P ಯು m1:m2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ  ಕಡಿಯುವುದಾದರೆ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು : {(m1x2+ m2x1)/(m1+m2), (m1y2+ m2y1)/(m1+m2) }

ಇದೇ ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ  ‘section formula’.

 

 

 

 

 

1.   AB ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ(m1:m2 = 1:1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು?

ಅದು {(x2+x1)/2), (y2+ y1)/2}:  (ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಸೂತ್ರ)

ಗಮನಿಸಿ:  ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ದೊರಕುವ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು

 

2. ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು   k:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು?

ಅವು : {(kx2+x1)/(k+1), (ky2+ y1)/(k+1)}

 

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5:  A(15,5) ಮತ್ತು B(9,20) ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ P(11,15) ಬಿಂದುವು ಆ ರೇಖೆಯನ್ನು ಯಾವ  ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದೆ?

 

ಪರಿಹಾರ:

P ಯು  AB ಯನ್ನು k:1  ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಲಿ.

x1=15, y1=5, x2=9, y2=20,x=11, y=15

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು   k:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು {(kx2+x1)/(k+1), (ky2+ y1)/(k+1)}

 x = (kx2+x1)/(k+1), y = (ky2+ y1)/(k+1)  x = 9k+15/(k+1)

11 = 9k+15/(k+1)( x=11 ದತ್ತ)

 11k+11 = 9k+15

2k=4 or k=2

ಆದುದರಿಂದ P  ಯು ರೇಖೆಯನ್ನು  2:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದೆ.

 

 

 

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 6:  A(6,-2) ಮತ್ತು B(-8,10) ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮೂರು ಭಾಗ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಸೂಚನೆ: 

AP=PQ=QB (1:1:1) ಎಂದಿರುವಂತೆ P ಮತ್ತು Q ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಬೇಕು:

1.  AP:PB = 1:2 ಎಂದಿರುವಂತೆ  P(x1,y1) ಕಂಡುಹಿಡಿ.

2.  AQ:QB = 2:1 ಎಂದಿರುವಂತೆ Q(x2,y2) ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಅವು P (4/3,2) ಮತ್ತು Q (-10/3,6).

 

 

 

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 7:   ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯಲ್ಲಿ  D(-2,5) ಯು AB ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು. E(2,4) ಯು BC ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು  ಮತ್ತು F(-1,2) ಯು AC  ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು. A, B ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಸೂಚನೆ:

A =(x1,y1), B=(x2,y2) ಮತ್ತು C=(x3,y3) ಆಗಿರಲಿ.

D(-2,5) ಯು AB ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  (x1+x2)/2 = -2 ಮತ್ತು (y1+y2)/2 = 5

E(2,4) ಯು BC  ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (x2+x3)/2 = 2 ಮತ್ತು (y2+y3)/2 = 4

F(-1,2) ಯು AC  ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (x1+x3)/2 = -1 ಮತ್ತು (y1+y3)/2 = 2

ಈ ಮೂರೂ  ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ

x1= -5, x2=1, x3= 3

y1= 3, y2=7, y3= 1

ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳು: A(-5,3), B(1,7) ಮತ್ತು C(3,1).

 

 

 

7.2 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

P (x1,y1) ಮತ್ತು Q (x2,y2) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ  =  {(x2-x1)2+ (y2-y1)2}

2

A(x1,y1) ಮತ್ತು B (x2,y2) ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು m1:m2  ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು: