6.14 ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳು (Touching Circles):

 

ಪ್ರಮೇಯ: ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗ, ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರಗಳು ಸರಳ ರೇಖಾಗತವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ದತ್ತ: A ಮತ್ತು B ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ (ಚಿತ್ರ 1 ರಂತೆ) ಅಥವಾ ಅಂತಸ್ಥವಾಗಿ (ಚಿತ್ರ 2 ರಂತೆ) ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಹುದು.

 

ಸಾಧನೀಯ: A, B ಮತ್ತು Pಗಳು ಸರಳ ರೇಖಸ್ಥ ಬಿಂದುಗಳು

ರಚನೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ RPQ ವನ್ನೆಳೆದಿದೆ. AP ಮತ್ತು BPಗಳನ್ನ ಸೇರಿದೆ

 

ಸಾಧನೆ: (ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶವಾದಾಗ)

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

APQ = 900 =BPQ

RQ ವು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ P ಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ,

AP ಮತ್ತು BP ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು

2

APQ+BPQ = 1800

1 ರಿಂದ

3

APBಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ

2 ರಿಂದ A ಮತ್ತು B ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರಗಳು.

A, B ಮತ್ತು Pಗಳು ಸರಳ ರೇಖಸ್ಥ ಬಿಂದುಗಳು

 

ಸಾಧನೆ: ಅಂತಸ್ಥ ಸ್ಪರ್ಶವಾದಾಗ)

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AP ಮತ್ತು BP ಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೆ RQಗೆ ಲಂಬಗಳು

RQ ವು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ P ಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ,

AP ಮತ್ತು BPಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು

2

Bಯು AP ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು

 

3

ABPಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ

 

A, B ಮತ್ತು P ಗಳು ಸರಳ ರೇಖಸ್ಥ ಬಿಂದುಗಳು

 

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 1: A ಮತ್ತು B ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆಯು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳನ್ನ P ಮತ್ತು Q ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. AP ಮತ್ತು BQ ಸಮಾಂತರ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಕೇಂದ್ರಗಳುಳ್ಳ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ನಾವು AP || BQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

 

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AM=AP

ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು

2

APM = AMP

ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ 2 ಕೋನಗಳು ಸಮ.

3

AMP= QMB

ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು

4

BM=BQ

ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು

5

QMB = BQM

ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ 2 ಕೋನಗಳು ಸಮ

6

APM = BQM

2, 3, 5 ರಿಂದ,


ಆದರೆ ಕೋನಗಳು AP ಮತ್ತು BQ ಗಳನ್ನ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು. ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ, AP || BQ

 

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಯು ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡ. M ಎಂಬುದು AB ಮಧ್ಯಬಿಂದು.. AB ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ AM ಮತ್ತು MB ಗಳು ವ್ಯಾಸಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ. O ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ಒಂದು ವೃತ್ತವು ಮೂರೂ ವೃತ್ತಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು (1/6)AB ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 

O ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ x ಆಗಿರಲಿ.

OR=OP =x

AB=a ಆಗಿರಲಿ

CP = CM= a/4, MR=a/2

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

OMCಯು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ

OM ಎಂಬುದು C1 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ M ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ

2

OC2 = MC2+OM2

OMCಗೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ

3

ಎಡಭಾಗ = (x+(a/4))2 = x2+ax/2+ (a2/16)

OC = OP+PC = x+(a/4)

4

ಬಲಭಾಗ = (a2/16)+ (a2/4)-ax+ x2

MC=a/4,OM = MR-OR=a/2-x

5

x2+ax/2+ (a2/16)

=(a2/16)+ (a2/4)-ax+ x2

ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ

6

3ax/2=(a2/4)

 

7

x = a/6 i.e. OP =(1/6)AB

 


6.14 ಪ್ರಮೇಯ: ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

(i)                 ಸಮವಾಗಿಯೂ

(ii)               ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನ ಮತ್ತು

(iii)              ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ

 

ದತ್ತ: O ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ PA ಮತ್ತು PBಗಳು P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

ಸಾಧನೀಯ:

(i)                 PA=PB

(ii)               APO= BPO

(iii)              AOP= BOP

 

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

1

OA = OB

ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು

2

OAP= OBP= 900

PA ಮತ್ತು PBಗಳುA ಮತ್ತು Bಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಗಳು

AO ಮತ್ತು BO ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು.

3

OPಯುAOP ಮತ್ತು BOP ಗಳಿಗೆ ಉಭಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು..

 

4

AOP BOP

ಲಂ..ಬಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

5

PA=PB

ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು

6

APO= BPO

ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು

7

AOP= BOP

ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು

 

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ XY ಮತ್ತು PCಗಳು 2 ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

XPY = 90 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

CX= CP

CX ಮತ್ತು CPಗಳು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದ C1 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

2

CXP =CPX =x0

CXP ಯಲ್ಲಿ 2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.

3

CY =CP

CY ಮತ್ತು CPಗಳು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದೆಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

4

PYC =CPY =y0

2 ಾಹುಗಳು ಸಮ.

5

CXP + XPC + CPY +PYC = 1800

PXY ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು

6

i.e. x0+x0+y0+y0= 1800

 

7

2(x0+y0)= 1800

 

8

i.e. (x0+y0) =XPY = 900

 


6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು Pಯಿಂದ PQ ಮತ್ತು PR ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ. PQR = 600 ಆದರೆ, ಜ್ಯಾ QR ಉದ್ದವು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

1

PQ=PR

ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

2

PQR =PRQ

PQ ಮತ್ತು PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

3

PQR =600

2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.

4

PQR =PRQ = 600

ದತ್ತ

5

PQR ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

2 ರಿಂದ

6

PQ=PR=QR

 

 

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ ಮತ್ತು PRಗಳು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು QPR= 900 ಆದರೆ PQOR ಒಂದು ವರ್ಗ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

OQP= 900 =ORP

PQ ಮತ್ತು PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

2

QPR=900

ದತ್ತ

3

OQ || PR

 

4

QOR =3600-OQP-QPR -ORP =

3600-900-900-900= 900

 

5

OR || QP

 

6

PQOR ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ

OQ=OR (ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು)

7

PQOR ಒಂದು ವರ್ಗ

 


6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 6: O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ AT ಮತ್ತು BTಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು TP=TQ ಆಗುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ PQ ವನ್ನ ಎಳೆದಿದೆ.TAB ||| TPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

1

AT=BT

TA, TBಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

2

TAB=TBA

2 ಾಹುಗಳು ಸಮ.

3

PT=QT

TP ಮತ್ತು TQ T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

4

TPQ=TQP

2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.

5

*ATB= 1800- (TAB+TBA)

= 1800- 2TAB

TAB ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 1800

6

*ATB= 1800- (TPQ+TQP)

= 1800- 2TPQ

TPQ ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ= 1800

7

TAB =TPQ

5 ಮತ್ತು 6 ಬಲಭಾಗ ಹೋಲಿಸಿ.

8

TAB =TPQ=TQP =TBA

7, 4, 2 ರಿಂದ

9

TAB ||| TPQ

ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿವೆ.


6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಕೊಟ್ಟ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A,B,C ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆದಿದೆ.

AP+BQ+CR =BP+CQ+AR ಅಲ್ಲದೆ AP+BQ+CR = 1/2 *ABC ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಮತ್ತು AB=AC ಆದರೆ,BQ=QC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

1

PA=AR

A ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

2

BQ=BP

B ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

3

CR=CQ

C ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

4

PA+BQ+CR =AR+BP+CQ

1+2+ 3 ರಿಂದ

5

AB=AP+PB, BC=BQ+QC,AC=AR+RC

 

6

AB+BC+AC = PA+BQ+CR +AR+BP+CQ

 

7

= 2 (AP+BQ+CR) = ABC ಸುತ್ತಳತೆ

 

8

AB=AC

ದತ್ತ

9

AP+PB=AR+RC

 

10

PB=RC

1 ಮತ್ತು 9 ರಿಂದ

11

BQ=CQ

2,10 ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ


6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ TP ಮತ್ತು TQಗಳು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಆದರೆ

1. OTಯು PQ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

2. PTQ =2OPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

 

TPR ಮತ್ತು TQR ಗಳಲ್ಲಿ

1

TP=TQ, PTR=QTR

6.14 ಪ್ರಮೇಯ (TP, TQ ಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು)

2

TR ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು

 

3

TPR TQR

ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

4

PR=RQ and PRT =QRT

 

5

PRT = 900

4 ರಿಂದ

6

PTR +RPT = 900

ಲಂಬಕೋನ PRT ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನ ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದೆರಡು ಕೋನಗಳು

7

OPT = 900=OPR+RPT

PT ಸ್ಪರ್ಶಕ OP ತ್ರಿಜ್ಯ P = 900

8

PTR =OPR

6 ಮತ್ತು 7

9

PTQ = 2 PTR

1 ರಿಂದ

10

= 2 OPR

8 ರಿಂದ


 

6.14 ಕಲಿ ಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

-ಸಮವಾಗಿಯೂ

-ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಮತ್ತು

-ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ.