6.3 ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ   (Theorem on Parallel lines):

ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ (Theorem) ಎನ್ನುವರು.

ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಗಳಿರುತ್ತವೆ:-

1.      ದತ್ತ: ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಅಂಶಗಳು.

2.      ಪ್ರಮೇಯದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕನುಗುಣವಾದ ಒಂದು ನಕ್ಷೆ(ಚಿತ್ರ).

3.      ಸಾಧನೀಯ: ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು.

4.      ರಚನೆ: ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಧನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ರಚನೆ ಬೇಕಾದರೆ, ಅವುಗಳ ರಚನೆ.

5.      ಸಾಧನೆ: ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದ ಸಾಧನೆ.

 

ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ:

ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ”. 

 

(ವಿಕರ್ಣ)2 = (ಬಾಹು)2+(ಬಾಹು)2

 

ಇದನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಧಿಸಲಿಕ್ಕೆ ಇದ್ದೇವೆ.

 

 

 

6.3 ಪ್ರಮೇಯ 1: ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಕರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ

1.      ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2.      ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅಂತರ್ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

 

ದತ್ತ: AB || CD, EF ಇಈ ಛೇದಕ ರೇಖೆಯು AB ಮತ್ತು CD ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ  G ಮತ್ತು H ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ.

 

ಸಾಧನೀಯ:

1) AGH = GHD, BGH=CHG    (1 = 3, 2=4)

2) AGH+CHG = 1800, BGH+DHG =1800(1+4 = 1800, 2+3 =1800)

 

ಸಂ.

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

 

    

1

EGB = GHD

 

2

EGB = AGH

ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ

3

AGH = GHD

ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 1: ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.

4

AGE =CHG

ಅನುರೂಪಕೋನಗಳು ಸಮ

5

AGE = BGH

ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ

6

CHG=BGH

ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 1: ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.

7

AGH+HGB= 1800

ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು

8

BGH = CHG

ಹಂತ 5, 6 ರಿಂದ

9

AGH+CHG= 1800

HGB ಯ ಬದಲು  CHG ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದೆ.

10

CHG +GHD = 1800

ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು

11

BGH = CHG

ಹಂತ 6 ರಿಂದ

12

GHD+BGH= 1800

10 ರಲ್ಲಿ CHG ಬದಲು BGH ಆದೇಶಿಸಿದೆ.

 

6.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB || PQ ಮತ್ತು BC || QR, ಆದರೆ PQR =ABC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

 

ದತ್ತ :  AB || PQ, BC || QR

ಸಾಧನೀಯ: PQR =ABC

ರಚನೆ: PQ ವನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದೆ. ಅದು BC ಯನ್ನು T ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ.  RQ ವನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದೆ. ಅದು AB ಯನ್ನು S ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ.

ಸಾಧನೆ:

 

PQR = ASR (AB || PQ : ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು)

ASR = ABC (BC || QR : ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು)

PQR =ABC

 

 

 

 

6.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2 :  ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB||CD. EH ಮತ್ತು FG ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ  FEB ಮತ್ತು EFD ಗಳ ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು.

ಆಗ, EH ಮತ್ತು FG ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

 

ರಚನೆ: CD ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ G ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ GI ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

CFE = BEF

AB ||CD  ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು.

2

BEF = 2FEG

FEB ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ EH.

3

CFE = 2FEG

 1  ಮತ್ತು  2 ರಿಂದ .

4

EFD = AEF

AB ||CD  ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು.

5

EFD = 2EFG

EFD ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ GF.

6

CFE +EFD = 1800

CD  ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಕೋನಗಳು (ಸರಳಯುಗ್ಮ)

7

2FEG +2EFG = 1800

3 ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ 6ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದೆ .

8

FEG +EFG = 900

7 ನ್ನ ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದೆ .

9

FEG = GEB

BEI ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ EG

10

GEB = EGI

AB||IG  ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು .

11

FEG = EGI

ಮತ್ತು 10  ರಿಂದ

12

EFG=GFD

IFD ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ FG

13

GFD =IGF

CD||IG  ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು.

 

14

EFG =IGF

12  ಮತ್ತು   13ರಿಂದ .

15

EGI +IGF(=EGF) = 900

11   ಮತ್ತು 14  ರಿಂದ 8ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದೆ .

16

ಆದ್ದರಿಂದ , EH  ಮತ್ತು  FG  ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

6.3 ಪ್ರಮೇಯ 2(1ನೇ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ): ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಿಸಿದಾಗ,

1): ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ

ಅಥವಾ

2): ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ,  ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ

ಆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

 

ದತ್ತ:

1) AB ಮತ್ತು CD ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು EF ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

2) AGH = GHD (BGH=CHG)

           ಅಥವಾ

3) AGH+CHG = 1800(BGH+DHG =1800)

 

ಸಾಧನೀಯ:   AB||CD.

 

ಸೂಚನೆ: ಮೊದಲು ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ನಂತರ 6.2.3  ಹೇಳಿಕೆ  4 ರ ಆಧಾರದಂತೆ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ

  

 

 

6.3 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ

1) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2) ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2

ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ,

1): ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ

ಅಥವಾ

2): ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ,

ಆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.