1.2. ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲಗಳು (Squares and square roots):

 

ಚೌಕ ಎಂದಾಗ ನೆನಪಾಗುವುದು ಚೌಕಾಭಾರ ಎನ್ನುವ ಪಗಡೆಯಾಟವಲ್ಲವೇ?

ಇದು ಇಬ್ಬರು/ ನಾಲ್ಕು ಜನರು ಆಡುವ ಆಟವಾಗಿದ್ದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನ ಹತ್ತಿರ 4 ಕಾಯಿಗಳುಇರುತ್ತವೆ.

4 ಕವಡೆಗಳನ್ನು ಚೆಲ್ಲಿ/ಬೀಳಿಸಿ ಬಿದ್ದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಅವರವರ ಕಾಯಿಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾರೆ.

ಇಲ್ಲಿ 25 (5*5) ಮನೆಗಳಿದ್ದು ಕಾಯಿಗಳು 24 ಮನೆಗಳನ್ನು ದಾಟಿ ಹಣ್ಣಾಗುತ್ತವೆ.

 

ಹಾಗೆಯೇ ಚೌಕ ಎಂದಾಗ ನೆನಪಾಗುವುದು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಎನ್ನುವ 2 ಅಳತೆ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿರುವ ವರ್ಗ (ಚೌಕ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಶೇಷ ಬಗೆಯ ಆಯತ.

ಒಂದು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಉದ್ದ * ಅಗಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ.

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (PQ*QR) = ಉದ್ದ * ಉದ್ದ = (ಉದ್ದ)2

 

ಈಗ 1, 4, 9, 16 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ:1,2,3,4,5

ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಕಾರದ ತಃಖ್ತೆ ನೋಡಿ:

2 ರ ಮಗ್ಗಿ

3 ರ ಮಗ್ಗಿ

4 ರ ಮಗ್ಗಿ

5 ರ ಮಗ್ಗಿ

2*1 = 2

3*1 = 3

4*1 = 4

5*1 = 5

2*2 = 4

3*2 =6

4*2 =8

5*2 =10

2*3 = 6

3*3 = 9

4*3 =12

5*3 =15

 

3*4 = 12

4*4 =16

5*4 =20

 

 

4*5 = 20

5*5 =25

 

ಇಲ್ಲಿ ಏನನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಿರಿ? 4,9,16 ಮತ್ತು 25 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 2, 3, 4 ಮತ್ತು 5 ರ ವರ್ಗಗಳು.

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯು(perfect square) ಎರಡು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

12 = 1 = (-1)2

22 = 4 = (-2)2

32 = 9 = (-3)2

ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ರ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಅವು n2 ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.

 

ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು:-

1. ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಬಿಡಿಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ 0,1,4,5,6,9( ಉದಾ: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121)

2. ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳು: (2, 3, 7, ಮತ್ತು 8)

3. ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳು (4, 16, 36, 64, 100 )

4 ೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳು (1, 9, 25, 49, 81, 121)

 

ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕೂಡಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

 

ಭಿನ್ನರಾಶಿ

ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆ

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವರ್ಗ

ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ

2/3

 

4/9

 

1/10

.1

1/100

.01

6/10

.6

36/100

.36

12/10

1.2

144/100

1.44

2/100

.02

4/10000

.0004

 

ವರ್ಗಮೂಲಗಳು:

3 ರ ವರ್ಗ 9. ಆದ್ದರಿಂದ 9 ವರ್ಗಮೂಲ 3

n2 ಂಬುದು n ನ ವರ್ಗವಾದರೆ , n ಎಂಬುದು n2 ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ (square root). ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲ ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ

ವರ್ಗಮೂಲ

=/

 

=

=/

 

=

=1.2

=.02

=5

 

 

1.2. ಸಮಸ್ಯೆ 1: 147 ವರ್ಗಮೂಲವು ಯಾವ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ?

 

ಪರಿಹಾರ:

122=144, 132=169

ಅಲ್ಲದೆ 144<147<169

< <

12 < < 13

 

1.2.1 ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು(Finding square root by factorization)

 

ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡೆರಡರಂತೆ ಗುಂಪು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

1.2.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಿರಂತರ ಭಾಗಾಕಾರದಿಂದ ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ:

38025 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 5, 5,3,3,13,13

38025 = 5*5*3*3*13*13 = 52*32*132 = (5*3*13)2

= 5*3*13=195

ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರಂತರ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ,

10404 = 2, 2,3,3,17,17

10404 = 2*2*3*3*17*17 = 22*32*172 = (2*3*17)2

= 2*3*17=102

= = =

 

1.2.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 2617 ನ್ನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅಥವಾ ಅದನ್ನ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ನಿರಂತರ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ,

2617 = 3*3*313.

ಇಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನ 313 ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಬಂದಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು 2617 ನ್ನು 313 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, (2617*313) ಅಪವರ್ತನಗಳು 3, 3, 313, 313
ಆಗ, 2617*313= =3*3*313*313 = 32*3132 = (3*13)2

ಇದೇ ರೀತಿ 2617 ನ್ನು 313 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ

2617/313 =3*3 = 32

 

ಆದ್ದರಿಂದ 2617 ನ್ನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ: 313

 

1.2.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3: 3600 ಚ.ಮಿ. ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಳ್ಳ ಒಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ಸುತ್ತ ನಾಲ್ಕು ಸುತ್ತು ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿಯ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿಯ ಉದ್ದ ನೋಡಲು ನಮಗೆ ತೋಟದ ಸುತ್ತಳತೆ ಬೇಕು. ಸುತ್ತಳತೆ ನೋಡಲು ಬದಿಯ ಉದ್ದಬೇಕು.

ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (ಉದ್ದ)2=3600 ಚ.ಮಿ.

3600 = 2,2,2,2,3,3,5,5 = 2*2*2*2*3*3*5*5 = 22*22*32*52=(2*2*3*5)2

= 2*2*3*5=60

ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ಬದಿಯ ಉದ್ದ = 60 ಮಿ.

ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ಸುತ್ತಳತೆ = ಬದಿ*4 = (60*4) = 240 ಮಿ.

ತೋಟಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸುತ್ತು ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿ = (60*4) =240 ಮಿ.

ತೋಟಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಸುತ್ತು ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿ = 4*240 = 960 ಮಿ.

 

 

1.2 ಕಲಿಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂಖ್ಯೆ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಪೂರ್ಣವರ್ಗ, ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.