1.6 ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Real Numbers):

 

ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (1, 3, 7), ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳು (0,1,3,7), ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (1/2, -6/5 ),

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (,)ಇವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಗುಣಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನದ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ

 

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಗಣ (real number set) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು R ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದೋ ಭಾಗಲಬ್ಧ, ಇಲ್ಲವೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡೂ ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. R Ir = ಶೂನ್ಯಗಣ)

N : ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ, W : ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ, Z : ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ, Q : ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ, R : ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ, Ir : ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಆದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯಾಗಣಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ವೃಕ್ಷನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು.

 

ಈ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವೆನ್ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಕೂಡಾ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

 

NW Z Q R and IrR ಮತ್ತು QIr = R

 

 

a, b, c R. ಇಲ್ಲಿ R ಎಂಬುದು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಗಣ ಆದರೆ,

ಸಂ.

ಸಂಬಂಧ

ಲಕ್ಷಣದ ಹೆಸರು

1

a=a

ಸ್ವತೋಲನ ಗುಣಧರ್ಮ

2

a=b ಆದರೆ b=a

ಸಮಮಿತಿಯ ಗುಣಧರ್ಮ

3

a=b, b=c ಆದರೆ a=c

ಸಂಕ್ರಮಕ ಸಂಬಂಧ

4

a=b ಆದರೆ a+c =b+c, ac=bc

 

5

ac=bc, c 0 ಆದರೆ a=b

 

6

a+b R

ಸಂಕಲನದ ಆವೃತಗುಣ

7

a-b R

ವ್ಯವಕಲನದ ಆವೃತ ಗುಣ

8

a*b R

ಗುಣಾಕಾರದ ಆವೃತ ಗುಣ

9

a/b R, b0 ಆದಾಗ

ಭಾಗಾಕಾರದ ಆವೃತ ಗುಣ

10

a+b = b+a

ಸಂಕಲನದ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಗುಣ

11

a*b = b*a

ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಗುಣ

12

(a+b)+c = a+(b+c)

ಸಂಕಲನದ ಸಹವರ್ತನೀಯ ಗುಣ

13

a*(b*c) = (a*b)*c

ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹವರ್ತನೀಯ ಗುಣ

14

a*(b+c) = a*b + a*c, (b+c)*a = b*a+c*a

ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮ

15

a+0 =0+a =a

0 ಯು ಸಂಕಲನದ ಅನನ್ಯತಾಂಶ

16

a*1= 1*a=a

1 ಗುಣಾಕಾರದ ಅನನ್ಯತಾಂಶ

17

a+ (-a) = 0

-a ಯು a ಯ ಸಂಕಲನದ ವಿಲೋಮ

18

a*1/a =1 --> a0 ಆದಾಗ,

1/aಯು ಎಲ್ಲಾ a ಚಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮ

 

 

a, b ಮತ್ತು c ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದರೆ :

1

 

a=b ಅಥವಾ a<b ಅಥವಾ a>b

2

a <b ಆದರೆ

ಆಗ b>a

3

a<b ಮತ್ತು b <c ಆದರೆ

ಆಗ a<c

4

a<b ಮತ್ತು c ಯು ಸೊನ್ನೆ ಆಗದೇ ಇರುವಾಗ

ಆಗ a+c < b+c

5

a<b ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ

ಮತ್ತು c>0 ಆದರೆ ಆಗ ac< bc

ಮತ್ತು c<0 ಆದರೆ ac > bc

 

1.6 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಬಿಡಿಸಿ (x-3)/x2+4 >= 5/x2+4

 

ಪರಿಹಾರ:

 

ಬಿಡಿಸುವುದು ಎಂದರೆ x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಎರಡೂ ಬದಿಯನ್ನು x2+4 ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ

(x-3)>= 5( x2+4 >0)

x >=5+3 (3 ನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ )

x >=8

ತಾಳೆ : x =8,9 ನೀಡಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ .

 

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಅನುಪ್ರಮೇಯ (Euclid's Lemma)

ಅನುಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದ್ದು ಇನ್ನೊಂದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ

ಭಾಜ್ಯ = (ಭಾಜಕ*ಭಾಗಲಬ್ಧ)+ಶೇಷ, (ಇಲ್ಲಿ 0 ಶೇಷ < ಭಾಜಕ)

ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಭಾಗಾಕಾರದ ಅನುಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು a ಮತ್ತು b ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಎರಡು q ಮತ್ತು r ಎನ್ನುವ ಅದ್ವಿತೀಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು a=b*q+r ಎನ್ನುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು

0 r<b ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಭಾಗಾಕಾರ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮ.ಸಾ.ಅ. ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಭಾಗಾಕಾರದ ಅನುಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಯೂ ಮ.ಸಾ.ಅ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಭಾಜಕವಾಗಿ ಆರಂಭಿಸಿ ತದನಂತರ ಆ ಹಂತದ ಭಾಜಕವನ್ನು ಆ ಹಂತದ ಶೇಷದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆಯಾಗುವ ಹಂತದಲ್ಲಿರುವ ಭಾಜಕವೇ ಮ.ಸಾ.ಅ.

 

1.6 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 305 ಮತ್ತು 793 ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜಕ

ಭಾಗಾಕಾರ

ಭಾಗಲಬ್ಧ

ಶೇಷ

305

305)793(2

610

2

183

183

183)305(1

183

91

122

122

122)183(1

122

1

61

61

61)122(1

122

2

0

 

305 ಮತ್ತು 793 ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ. 61.

 

1.6 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಹೊಲದ ಉದ್ದ 110m ಮತ್ತು ಅಗಲ 30m. ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳೆರಡನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಳತೆ ಮಾಡುವ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದದ ಸಲಾಕೆಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜಕ

ಭಾಗಾಕಾರ

ಭಾಗಲಬ್ಧ

ಶೇಷ

30

30)110(3

90

3

20

20

20)30(1

20

1

10

10

10)20(2

20

2

0

 

110 ಮತ್ತು 30 ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ. 10.

 

10M ಉದ್ದವಿರುವ ಸಲಾಕೆಯಿಂದ ಹೊಲದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದು.

ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದ 1 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಯುಕ್ತಸಂಖ್ಯೆ(composite number) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ 24= 2*2*2*3= 3*2*2*2 ಮತ್ತು 55=11*5= 5*11

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಅದ್ವಿತೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯ(fundamental theorem) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

.

 

1.6 ಸಮಸ್ಯೆ 3: 18,81 ಮತ್ತು 108 ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ. ಮತ್ತು ಲ,ಸಾ.ಅ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

18=2*9= 2*32

81=9*9=34

108 = 12*9 = 4*3*9 = 22*33

 

ಮ.ಸಾ.ಅ = 32=9

ಲ.ಸಾ.ಅ.= 22*34= 4*81= 324

 

3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ * ಲ.ಸಾ.ಅ. 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ

 

ಪ್ರಮೇಯ: a ಯು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಜಾಸ್ತಿಯಾಗಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುವಾಗ, ಒಂದು ಅವಿಭಾಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆ p ಯು a2 ನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದರೆ p ಯು a ಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ

 

ಸಾಧನೆ : a ನ ಅಪವರ್ತನಗಳು p1,p2,p3, ,pn ಆಗಿರುವಾಗ a = p1*p2*p3* *pn

ಎರಡೂ ಕಡೆ ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ

a2=( p1*p2*p3* *pn)2

p ಯು a2 ನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ p ಯು p12*p22*p32* *pn2 ಗಳ ಒಂದು ಅಪವರ್ತನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

p ಯು p1,p2,p3, ,pn ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು .

ಅಂದರೆ p ಯು a ಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ

1.6 ಸಮಸ್ಯೆ 3: p ಯು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ , ಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ ಆಗ = a/b(a, b ಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ )

pb2= a2=( p1*p2*p3* *pn)2 ಇಲ್ಲಿ p1,p2,p3, ,pn ಗಳು a ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

 

ಅಂದರೆ p ಯು a ಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ (p ಯು a ಅಪವರ್ತನ), ಆದುದರಿಂದ ಯಾವುದೋ ಒಂದು k ಯ ಬೆಲೆಗೆ a=kp

pb2=k2p2

b2= k2p

p ಯು b ಅಪವರ್ತನ

 

ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ p ಯು a ಅಪವರ್ತನ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತೆ ಈಗ p ಯು b ಅಪವರ್ತನ ಎಂದೂ ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಂದರೆ p ಯು a ಮತ್ತು b ಎರಡನ್ನೂ ಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿದ ಹಾಗಾಯಿತು.

a/b ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ ನಮ್ಮ ಊಹೆ ತಪ್ಪು. ಆದುದರಿಂದ ಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ

ಗಮನಿಸಿ:

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ + ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ = ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ( ಉದಾ: 3+)

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ * ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ = ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ (ಉದಾ: 4)

 

 

1.6 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂಖ್ಯೆ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

 

2

ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧ.