8.4 ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು (Trigonometric Identities)

 

8.4.1 ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳ(Fundamental identities):

ಈ ಹಿಂದೆ ಕಲಿತಂತೆ:

 

sin

ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ

PQ/OP; Cosec =1/sin; OP/PQ

 

 

 

 

 

 

 

cos

ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ

OQ/OP; sec = 1/cos; OP/OQ

tan

ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು

=  sin/ cos

PQ/OQ; cot = 1/tan; OQ/PQ

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ PQ2 + OQ2 = OP2   -----ŕ(1)

 PQ2/OP2 + OQ2/OP2 = 1(ಎರಡೂ ಕಡೆ  OP2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದೆ)

(PQ/OP)2 + (OQ/OP)2 = 1 (sin)2 + (cos)2 = 1    sin2 + cos2 = 1         ----------(I)

ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು  ಎರಡೂ ಕಡೆ  OQ2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ

PQ2/OQ2 + 1 = OP2/OQ2 (PQ/OQ)2 + 1 = (OP/OQ)2

1 + (tan)2 = (sec)2                                                 tan2 + 1 = sec2          ----------(II)

ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು  ಎರಡೂ ಕಡೆ  PQ2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ

1 +OQ2/PQ2 = OP2/PQ2  1 + (OQ/PQ)2 = (OP/PQ)2

1 + (cot)2 = (cosec)2                                          1 + cot2 = cosec2    ---------(III)

ಸಮೀಕರಣ  (I), (II) ಮತ್ತು  (III) ನ್ನು   ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು(‘Fundamental identities’ )ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ..

ಮೊದಲನೇ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು.

  1. sin2= 1-cos2  sin = (1-cos2)
  2. cos2= 1-sin2  cos = (1- sin2)

 ಲಘುಕೋನವಾದಾಗ   sin  ಮತ್ತು   cos ಗಳು ಧನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಗ

sin = +(1-cos2) 

cos = +(1-sin2)

ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ  ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. :

  1. tan = +(sec2-1),
  2. sec = +(1+tan2),
  3. cot = +(cosec2-1),
  4. cosec = +(1+cot2)
  5. tan = sin/ cos = sin/ +(1-sin2)

 

               

 

 

 

 

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    ವಿವಿಧ  ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕೆಳೆಗೆ ನೀಡಿದಂತೆ ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಬಹುದು:

             ಗಮನಿಸಿ :   sin2+cos2=1 ಎನ್ನುವ ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು  ಪಡೆಯಬಹುದು

 

 

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 1:  (1+x2)*sin = x ಆದರೆ, sin2/ cos2 + cos2/ sin2 = x2 + 1/x2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 (1+x2)*sin = x (ದತ್ತ)

 sin = x/ (1+x2)

 sin2 = x2/(1+x2) (ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದೆ)--------(1)

 cos2 = 1 - sin2 (sin2+cos2=1, ಪಕ್ಷಾಂತರದಿಂದ)

= 1 - x2/(1+x2)

= (1+x2 - x2)/(1+x2)

= 1/(1+x2)                            ----------(2)

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ

sin2/cos2 =

{x2/(1+x2)}/{1/(1+x2)} = x2  -----------(3)

  cos2/sin2 = 1/x2           -----------(4)

(3) ಮತ್ತು (4) ರಿಂದ

sin2/cos2 + cos2/sin2 = x2 + 1/x2

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 2: sin6+cos6=1-3*sin2.cos2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

x = sin2 ಮತ್ತು y = cos2 ಆಗಿರಲಿ.

x+y = 1  (sin2+cos2=1)

 LHS ಭಾಗವ a3+b3 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ

             x3+y3 = (x+y)3-3xy(x+y) = 1-3xy(x+y =1)

= 1 – 3*sin2.cos2

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 3: tanA/(secA-1)+tanA/(secA+1) = 2cosecA ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

LHS = tanA{(secA+1)+(secA-1)}/(sec2A-1) ( ಛೇದ (secA+1)*(secA-1) ಆಗಿರುವಂತೆ)

= 2tanA.secA/tan2A (sec2-1 = tan2)

= 2secA/tanA

= 2secA*cosA/sinA (tanA = sinA/cosA)

= 2/sinA (cosA = 1/secA)

= 2cosecA

 

8.4.2 ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳ(Trigonometric ratios of complimentary angles):

 ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ   ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನ 900- ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು( ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 1800).

 

 ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, QOP =   QPO = 900-

sin = PQ/OP    ----ŕ(1)

cos = OQ/OP   ----ŕ(2)

tan = PQ/OQ   ----ŕ(3)

QPO ನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ

cos(900-) = PQ/OP    --ŕ (4)

sin(900-) = OQ/OP    ---ŕ(5)

cot(900-) = PQ/OQ  ---ŕ(6)

 (1), (2) ಮತ್ತು (3) ಗಳನ್ನು   (4), (5) ಮತ್ತು (6)  ರ ಜೊತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ :        

1

sin = cos(900-)

2

cos = sin(900-)

3

tan= cot(900-)

4

cosec = sec(900-)

5

sec = cosec(900-)

6

cot= tan(900-)

 

 

 

 

 

 

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 4: 3sin620/cos280 - sec420/cosec480= ?

 

ಪರಿಹಾರ:

28 = 90-62 ಮತ್ತು 48 = 90-42 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

cos(28) = cos(90-62) = sin62

cosec(48) = cosec(90-42) = sec(42)

3sin620/cos280 - sec420/cosec480

= 3sin620/sin620 - sec420/sec420

= 3-1 = 2

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 5: sec4A=Cosec(A-200) ಆಗಿದ್ದು  4A ಲಘುಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ  A ಎಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

ನಮಗೆ  sin ಮತ್ತು cos ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ  ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ.

1/ sec4A = 1/ Cosec(A-200)

Ie,  cos4A= sin(A-200)

sin(90-4A)= sin(A-200) (  4A ಲಘುಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ  cos = sin(900-))

90-4A= A-200

90+20= A+4A

110= 5A

A= 220

 

 

8.4. ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

sin2+cos2=1, tan2 + 1 = sec2, 1 + cot2 = cosec2

2

ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು