1.10. ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಭಾಗ 2) (Probability)

 

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ’ಅಸಾಧ್ಯತೆ’ ಯಿಂದ  ’ಸಾಧ್ಯತೆ’ ಯ ನಡುವೆ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ  ಅಕಸ್ಮಾತ್ ಆಗಿ ಘಟಿಸುವ  ಘಟನೆಗಳ ಖಚಿತತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ  ಒಂದು ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವುದರ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಕುರಿತಾಗಿದೆ.

 

1.    ಯಾವುದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆ.

2.    ಭಾರತವು ಕ್ರಿಕೆಟ್ ನಲ್ಲಿ ಟೆಸ್ಟ್ ಪಂದ್ಯವನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಾಧ್ಯತೆ.

3.    ಒಬ್ಬನು ಕ್ರಿಕೆಟ್ ಪಂದ್ಯದಲ್ಲಿ ಶತಕ ಬಾರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ.

4.    ಭಾರತವು ಒಲಂಪಿಕ್ಸ್ ನ   400 ಮೀ ರಿಲೇ ಪಂದ್ಯದಲ್ಲಿ ಪದಕಗಳನ್ನು ಗೆಲ್ಲುವ ಸಾಧ್ಯತೆ.

5.    1 ರೂ ನಾಣ್ಯವನ್ನು100  ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

6.    ದಾಳವನ್ನು 500 ಬಾರಿ ಎಸೆದಾಗ 2 ಬೀಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

 

ಮೇಲಿನ ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೀಗೆಯೇ ಆಗುತ್ತದೆಯೆಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ 4 ಘಟನೆಗಳ ಹಾಗೂ ಕೊನೆಯ 2 ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ  ಘಟನೆಗಳು ನಡೆದರೂ ನಡೆಯಬಹುದು. ನಡೆಯೆದೆಯೇ ಇರಬಹುದು. ಮೊದಲ 4 ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ ಬಾಹ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಾದ ಸ್ಥಳ,ಕಾಲ,ಎದುರಾಳಿಗಳ ಬಲ..ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಕೊನೆಯ 2 ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ  ಯಾವಾಗಲೂ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಹೆಚ್ಚುಕಡಿಮೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಲವು ಬಾರಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ  ಎರಡೇ ಘಟನೆಗಳು ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯ, ಒಂದೋ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಹಲವು ಬಾರಿ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವ(ಘಟಿಸುವ) ಸಾಧ್ಯತೆ  0%  ದಿಂದ  100% ವರೆಗೆ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯ. ಅದೇ ರೀತಿ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವ(ಘಟಿಸುವ)  ಸಾಧ್ಯತೆ  100% ರಿಂದ 0% ವರೆಗೆ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಶಿರವು ಮತ್ತು ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವ(ಘಟಿಸುವ)  ಸಾಧ್ಯತೆ  50% ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 

https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTzsepedvsirdq-M0c5Mm_V2sf3WtWpv_clx_pSxJ7aCGukdoKd

ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1/2. ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವಾಗ ಅದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ. ಹಾಗೆಯೇ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವಾಗ ಅದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಘಟನೆಯು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಅಂದರೆ ಒಂದೋ ಶಿರವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಬಾಲವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ ಅವರೆಡರ ಸಂಭವನೀತೆಯ ಮೊತ್ತ  1/2+1/2= 1. ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ≤ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ದಾಳದ ಮೇಲೆ ಏಕೆ  ಕೇವಲ 1 ರಿಂದ 6 ರ ವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಚುಕ್ಕೆಗಳಿರುತ್ತವೆ?

 

 

ದಾಳವು ಘನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದಕ್ಕೆ 6 ಮುಖಗಳಿವೆ. ಮುಖಗಳನ್ನು  1 ರಿಂದ 6 ಅಂಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ 1 ರಿಂದ 6  ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆದಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ  ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಿಂದ  6 ರ ವರೆಗೆ ಬೀಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಎಷ್ಟು? ಅದು 6 ರಲ್ಲಿ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದುದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1/6.

ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಿಂದ  6 ರ ವರೆಗೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?

= ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= 1

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಳುವಾಗ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬೀಳದೇ ಇರುವುದರಿಂದ  1 ರಿಂದ  6 ರ ವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= 1

ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಬೀಳದೇ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= ಸಂಖ್ಯೆ 2  ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ + ಸಂಖ್ಯೆ 6 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6= 5/6

ಅಥವಾ  ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ

ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಬೀಳದೇ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

= 1 - ಸಂಖ್ಯೆ1 ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ = 1-1/6= 5/6

 

ಕೆಲವು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಶಬ್ದಗಳು:

ಸಂ

ಪದ

ಅರ್ಥ

ಉದಾಹರಣೆ

1

ಪ್ರಯೋಗ

(Experiment)

ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುವಂತಹ ಪರೀಕ್ಷೆ/ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

 

2

ಯತ್ನ(Trial)

ಪ್ರಯೋಗದ ನಿರ್ವಹಣೆ

ನಾಣ್ಯದ ಚಿಮ್ಮುವಿಕೆ/ದಾಳದ ಎಸೆಯುವಿಕೆ

3

ಫಲಿತ(outcome)

ಯತ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶ

ಶಿರ ಅಥವಾ ಬಾಲ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು/ ಸಂಖ್ಯೆ  1  ರಿಂದ  6 ರ ಒಳಗೆ ದಾಳ ಬೀಳುವುದು

4

ಫಲಿತ ಗಣ

(Sample space)

ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಗಣ

S = {H,T}. S = {1,2,3,4,5,6}

 

ಘಟನೆ(event)

ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಉಪಗಣ

ಶಿರ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು =A= {H},

ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವುದು =B={4}

ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆ = C = {2,4,6}

5

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆ (Elementary event)

ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆ (ಒಂದೇ ಒಂದು  ಗಣಾಂಶ ಇರುವ ಫಲಿತ ಗಣದ ಉಪಗಣ)

ಶಿರ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು =A= {H},

ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವುದು B={4}

6

ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆ

(Compound event)

ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಯೋಗ ಗಣ

(ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಾಂಶವುಳ್ಳ ಫಲಿತ ಗಣಗಳ ಉಪಗಣಗಳು)

3 ಶಿರಗಳು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು A= {HHH}

ಒಂದು ಬಾಲವಾದರೂ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು B = {HTT, TTH, THT, TTT}

7

ಅನುಕೂಲಿತ ಘಟನೆ (Favourable event)

ಬಯಸಿದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆ

 

8

ಖಚಿತ ಘಟನೆ (Certain(sure) event)

ಆಗಿಯೇ ತೀರುವಂತಹ ಘಟನೆ.

(ಇಂತಹದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ)

ದಾಳ ಬೀಳಿಸಿದಾಗ 0  ಮತ್ತು 7  ರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ= 1.

( ದಾಳದ ಸಂಖ್ಯೆ  6  ಮತ್ತು  1).

9

ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ (Impossible event)

ಆಗದೇ ಇರುವಂತಹ ಘಟನೆ.

(ಇಂತಹದರ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ)

ದಾಳ ಬೀಳಿಸಿದಾಗ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಅಥವಾ 6 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ= 0. ( ದಾಳದ ಸಂಖ್ಯೆ  6  ಮತ್ತು  1).

10

ಪೂರಕ ಘಟನೆ (Complementary event)

 

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯಲ್ಲದ್ದು . ಅಂತಹ ಘಟನೆಯನ್ನು  ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ:A    = S

ಮತ್ತು A    =  { }

ಶಿರ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು A = {H}, ಇದರ ಪೂರಕ ಘಟನೆಯೆಂದರೆ ಶಿರ  ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ  ಬೀಳದೇ ಇರುವುದು ಅಂದರೆ, ಬಾಲ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಬೀಳುವುದು.  = {T}

ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳುವುದು B={4}, ಇದರ ಪೂರಕ ಘಟನೆಯೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಬೀಳದೇ ಇರುವುದು ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 1,2,3,5 ಮತ್ತು 6 ಬೀಳುವುದು.  = {1,2,3,5,6}

11

ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆ

(Mutually exclusive event)

2 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಟನೆಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೇ ಆಗದಿರುವಂತಹವು.

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3},  B = {4,5} ಆಗಿರಲಿ.

ಇಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು  B ಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೇ ಘಟಿಸದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳು, ಹಾಗೂ ಗಮನಿಸಿ :A  B  =

 

ಘಟನೆಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ / ಫಲಿತ ಗಣದಲ್ಲಿರುವ  ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 

 

ಪ್ರಯೋಗ

 

ಫಲಿತ ಗಣ ಮತ್ತು ಘಟನೆ

 

ಘಟನೆಗಳು

 n(S)

ಘಟನೆ A

ಘಟನೆ A ಗೆ ಅನುಕೂಲಿತ ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು n(A)

ಸಂಭವನೀಯತೆ P(A)

= n(A)/n(S)

ಪೂರಕ ಘಟನೆ

(A= )

ಪೂರಕ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ

P()

= n()/n(S)

1 ನಾಣ್ಯ ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ

S={ H,T }

2

ಬಾಲ ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು

A=(T)

n(A)=1

1/2

 ಶಿರ ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು= (H)

n()=1

1//2

2 ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು

ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ

S={ HH,HT,TH,TT }

2*2=4

ಬಾಲ ಬೀಳದಿರುವುದು

A = {(HH)}

n(A)=1

1/4

ಬಾಲ ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು n()=3

3/4

3 ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು

ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ

S={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,

          THT,TTH,TTT }

2*2*2=8

ಎಲ್ಲವೂ ಶಿರ/ಬಾಲ ಗಳಾಗಿ  ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು

A= {(HHH),(TTT)}

n(A)= 2

2/8

ಶಿರ/ಬಾಲಗಳು ಬೆರೆಕೆಯಾಗಿ

ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು

n()=6

6/8

1 ದಾಳ ಎಸೆದಾಗ

S={1,2,3,4,5,6 }

6

ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು

A={2,4,6}

n(A)= 3

3/6

ಬೆಸ  ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು n()=3

3/6

2 ದಾಳಗಳನ್ನು

ಎಸೆದಾಗ

S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

        (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

        (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

        (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

        (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

        (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

       }

6*6=36

ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು

ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು

A= {(1,1),(2,2),(3,3),

(4,4),(5,5),(6,6)

n(A)= 6

6/36

ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಬೀಳುವಂತಾದ್ದು

n()= 30

30/36

 

P(E) = ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ  PE = E ಘಟನೆಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ / ಫಲಿತ ಗಣದಲ್ಲಿರುವ  ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ  =     

ಗಮನಿಸಿ :P(A)+ P() =1  (  n(A)/n(S) + n()/n(S) = {n(A) + n()}/n(S) = n(S)/ n(S) )

 P(A) =1- P(), P() =1- P(A)

 

ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಘಟನೆಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ  ಫಲಿತ ಗಣದಲ್ಲಿರುವ  ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ

ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 or 1 ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

1.    ದಾಳ ಬೀಸಿದಾಗ  0 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಥವಾ 6 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಇಲ್ಲಿ  A = {} ಯು ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಮತ್ತು  n(S) = 6  ಆದುದರಿಂದ  P(A)= n(A)/n(S)= 0 ( ದಾಳದ ಸಂಖ್ಯೆ  6  ಮತ್ತು  1).ಇದು ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ (impossible event) ಏಕೆಂದರೆ ಇಂತಹ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ.

2.    ದಾಳ ಬೀಸಿದಾಗ  0 ಮತ್ತು  6 ರ ನಡುವಿನ  ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಇಲ್ಲಿ  A = S   ಆದುದರಿಂದ  n(A) = n(S) = 6, ಮತ್ತು  P(A)= n(A)/n(S)= 1 ( ದಾಳದ ಸಂಖ್ಯೆ  6  ಮತ್ತು  1).ಇದು ಖಚಿತ ಘಟನೆ (sure event) ಏಕೆಂದರೆ ಇಂತಹ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿಯೇ ತೀರುತ್ತದೆ.

 

 

ಹೀಗಾಗಿ  0  ≤  P(A) ≤  1 ಈ ವಿಷಯವನ್ನೇ ಈ ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ತಿಳಿಸಿದ್ದು:

 

 

 

ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ಒಂದು ಆಟವು ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಉರುಳಿಸುವುದಾಗಿದೆ. ಆ ಆಟದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವು 2,3,4,5,10,11  ಅಥವಾ 12 ಆದರೆ  A ಯು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ಮೊತ್ತವು ಬೇರೇಯೇ  ಆದರೆ  B ಯು ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ನೀವು ಗೆಲ್ಲಬಯಸುವಿರಾದರೆ ನೀವು ಯಾರಾಗ ಬಯಸುವಿರಿ?

 

ಪರಿಹಾರ:

 A = { ದಾಳಗಳ ಮೊತ್ತ  2,3,4,5,10,11 ಅಥವಾ 12 ಆಗಿರುವಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆ  }= { (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6) }

ಆಗ  B=   ={ ದಾಳಗಳ ಮೊತ್ತ  2,3,4,5,10,11 ಅಥವಾ 12 ಆಗದೇ ಇರುವಂತಹ  ಸಂಯೋಜನೆ  }= { ದಾಳಗಳ ಮೊತ್ತ  6,7,8 ಅಥವಾ 9 ಆಗಿರುವಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆ }

          = {(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(1,6)(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)}

ಗಮನಿಸಿ n(A)= 16 ಮತ್ತು n() = 20. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ= 36( ಗಮನಿಸಿ 6*6=36: ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲ ತತ್ವ)

P(A) = 16/36 = 0.4444 and P()= 20/36= 0.55555

ಸಹಜವಾಗಿಯೇ B ಅಗಿರಲು ಇಷ್ಟ.

ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆ(Mutually exclusive event)

 

S = {A1, A2, A3 …. An} ಆಗಿರಲಿ. ಸಹಜವಾಗಿಯೇ  n(S)= n, P({A1})= 1/n , P({A2})=1/n, P({A3})=1/n … P({An})= 1/n

ಅಂತೆಯೇ, P({A1})+ P({A2})+ P({A3})+ . . . P({An})= 1/n+1/n+1/n + . . . 1/n= n/n= 1

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೊತ್ತ  1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 

E1 ಮತ್ತು E2 ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳಾಗಿರಲಿ.(ಅಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆ ಎರಡರಲ್ಲಿಯೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ).  ಆಗ E1E2  = { }

ಅವುಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇಲ್ಲದ ಗಣಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಗಣಗಳ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಕಲಿತಂತೆ   n(E1E2)  =  n(E1)+n(E2)

 n(E1E2)/n(S)= n(E1)/ n(S)+n(E2)/ n(S)

 P(E1E2) = P(E1)+P(E2)

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ,  E1, E2, E3 . . . En  ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳಾದಾಗ  P(E1E2E3 . . . En ) = P(E1) +P(E2)+ P(E3)+ . . . P(En)  

 

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

S= {1,2,3,4,5,6} S= {1,2,3,4,5,6}; n(S)=6

A= { ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಗಳು } = {1,3, 4,5}; n(A)=4

 P(A) = 3/6

 

ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಗೆಲುವು ಅಥವಾ ಸೋಲು ಆಗಿದೆ. ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ  ಸೋಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೂರರಷ್ಟಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ   ಎಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

 P(A) = ಗೆಲುವಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ,   P() = ಸೋಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

P(A) = 3P(), ನಮಗೆ ತಿಳಿದಂತೆ  P(A)+P() = 1;

  P(A)+ 1/3P(A)=1

4P(A)= 3

P(A)= 3/4

 

 

ಸಮಸ್ಯೆ 4 : ಚದುರಂಗದ ಮೂರು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗೆ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ. ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ಒಂದು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಚೌಕವು ಬೇರೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ( ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ಚೌಕಗಳು ಅತೀ ಸಣ್ಣವು)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಚದುರಂಗವು   ಅತೀಚಿಕ್ಕ 64  ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

3 ಚೌಕಗಳನ್ನು  64C3  ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದುದರಿಂದ  n(S)= 64C3 =64*63*62*61!/61!*3= 64*63*62/2*3= 64*21*31

ಕಪ್ಪು  ಬಣ್ಣದ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ= ಬಿಳೀ  ಬಣ್ಣದ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ=32.

2 ಚೌಕಗಳನ್ನು 32C2  ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. 1 ಚೌಕವನ್ನು 32C1 ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ಒಂದು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಚೌಕವು ಬೇರೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಂತಹ ಗಣವು A ಆಗಿರಲಿ.

ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದಂತೆ:

n(A)= [{32C2}*{32C1}]=[{32*31/2!)}]*{32}=32*31*16

           P(A) = 32C2*32C1/64C3= 32*31*16/64*21*31=8/21

 

ಸಮಸ್ಯೆ 5 : 4 ಪುರುಷರು  ಮತ್ತು 3 ಮಹಿಳೆಯರಿಂದ, 5 ಜನರ  ಒಂದು ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆ ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ  (i)  ಒಬ್ಬ ಪುರುಷ (ii) ಇಬ್ಬರು  ಪುರುಷರು (iii) ಇಬ್ಬರು  ಮಹಿಳೆಯರು (iv) ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮಿತಿ ರಚಿಸಲು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಸದಸ್ಯರು=7.

          7 ಸದಸ್ಯರಿಂದ 5 ಸದಸ್ಯರಿರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= 7C5= 7*6*/2!= 21= n(S)

(i) ಒಬ್ಬ ಪುರುಷ ಇರುವ ಸಮಿತಿ:

3 ಮಹಿಳೆಯರು ಮಾತ್ರ ಇರುವುದರಿಂದ, ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ  2 ಪುರುಷರನ್ನು ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲೇ ಬೇಕಗುತ್ತದೆ. ಆದುದರಿಂದ  ಒಬ್ಬ ಪುರುಷ ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದುದರಿಂದ  ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ಪುರುಷ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0

(ii) 2 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿ:

4 ಪುರುಷರಿಂದ 2 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು=4C2= 4*3/2!= 6

ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ಉಳಿದವರು 3 ಮಹಿಳೆಯರು ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

3 ಮಹಿಳೆಯರಿಂದ 3 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು=3C3= 1

 ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದಂತೆ 2 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 3 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= 6*1=6  -----(1)

ಸಂಭವನೀಯತೆ = 6/21= 2/7

(iii) 2 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿ:

3 ಮಹಿಳೆಯರಿಂದ 2 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= 3C2= 3/1!= 3

ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ಉಳಿದವರು 3 ಪುರುಷರು ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

4 ಪುರುಷರಿಂದ 3 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು=4C3=4/1!=  4

 ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದಂತೆ 3 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 2 ಮಹಿಳೆಯರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= 3*4=12 -----(2)

 ಸಂಭವನೀಯತೆ = 12/21= 4/7

(iv) ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿ:

ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ= 2 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ + 3 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ+ 4 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಮೊದಲಿಗೆ 4 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

4 ಪುರುಷರಿಂದ 4 ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು= 4C4= 1

ಈ ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಒಬ್ಬರು ಹೆಂಗಸು ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

3 ಮಹಿಳೆಯರಿಂದ 1 ಮಹಿಳೆ ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು=3C1=3*2!/2!*1!=  3

  ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದಂತೆ 4 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 1 ಮಹಿಳೆ ಇರುವ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಗಳು = 1*3=3  ----(3)

 ಕನಿಷ್ಠ ಇಬ್ಬರು ಪುರುಷರು ಇರುವ ಸಮಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ=6+12+3 =21

ಸಂಭವನೀಯತೆ = 21/21= 1

 

ಸಮಸ್ಯೆ 6 : ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಅಯತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಬೀಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ದಾಳವು   1 ಮೀ. ವ್ಯಾಸದ ವೃತ್ತದೊಳಗೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =6  ಚ. ಮೀ

ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= **  ಚ. ಮೀ.( ವ್ಯಾಸ 1 ಮೀ ಆದರೆ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮೀ. )

ವೃತ್ತದೊಳಗೆ ದಾಳ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ  = ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ÷ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =** ÷ 6=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂಖ್ಯೆ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಸಂಭವನೀಯತೆ,ಘಟನೆ,ಪೂರಕ ಘಟನೆ, ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆ