2.10 ಬಹುಪದಗಳ ಭಾಗಾಕಾರ (Division of Polynomials)
ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ: ಭಾಜ್ಯ =
(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) +
ಶೇಷ.
ಈ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.
2.10.1 ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division
of Monomial by monomial)
2.10.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 12m3
ನ್ನು 4 m2
n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಹಂತ 1: 12m3
n5 / 4 m2 n =
(12/4)* (m3 n5 /m2 n)
ಹಂತ 2: 12/4
= 3,
ಹಂತ 3:
m3 n5/
m2 n = m3-2 n5-1 = m n4
12m3 n5 /4 m2 n = 3 m n4
ತಾಳೆ:
(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) +
ಶೇಷ = 4 m2
n*3 m n4 +0 =12 m2+1 n1+4
=12m3 n5 - ಭಾಜ್ಯ
2.10.1
ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 57x2y2z2 ನ್ನು 19xyz ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ಹಂತ 1
:
57x2y2z2
/19xyz =
(57/19) * (x2y2z2)/xyz
ಹಂತ 2:
57/19 =3
ಹಂತ 3:
x2y2z2/xyz = x2-1y2-1z2-1
= xyz
57x2y2z2
/19xyz =
(57/19) * (x2y2z2)/xyz =3xyz
ತಾಳೆ:
(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) +
ಶೇಷ = (3xyz
* 19xyz) +0 = (3*19)*xyz*xyz +0= 57x1+1y1+1z1+1+0=57x2y2z2 - ಭಾಜ್ಯ
ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು:
3 ಎನ್ನುವುದು 57/19 ಅಂದರೆ ಏಕ ಪದಗಳ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ.
ಅದೇರೀತಿ xyz ಎಂಬುದು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ..
ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು (Steps to divide a monomial by monomial):
ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳು. ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?
1. ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಸಹಗುಣಕವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮ.
2. ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಚರಾಕ್ಷರ ಭಾಗವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
2.10.2 ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division
of a Polynomial by a Monomial):
2.10.2
ಸಮಸ್ಯೆ 1: 4023m2n2-6032m2n
-8042m3 ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು (-2012m2) ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
4023=
(2x201)3= (2)3x(201)3,
6032 = (3x201)2 =
(3)2x(201)2, 8042 = (4x201)2 = (4)2x(201)2
[4023m2n2-6032m2n
-8042m3 n4]/(-2012m2)
=[(2)3*(201)3
m2n2-(3)2*(201)2 m2n
-(4)2*(201)2m3 n4]/(-2012m2)
= -[ (2)3*(201) n2-(3)2* n
-(4)2*m1 n4] = -
(8*201* n2-9n -16mn4)
ತಾಳೆ:
ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ +
ಶೇಷ =
(-2012m2)*[-(8*201* n2+9n +16mn4)]+0
= +(2012m2)*(8*201* n2 -2012m2*9n
-2012m2*16mn4) +0
= 8*2013m2
n2 -9*2012m2+2n-16*2012m2+1n4)
= 23* 2013m2
n2 - 32 *2012m4n-42*2012
m3 n4
= (2*201)3m2n2-(3*201)2
m2n –(4*201)2 m3 n4
= 4023 m2n2
- 6032 m2n - 8042 m3 n4
= ಭಾಜ್ಯ.
2.10.2
ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 2a4
b3+ 8a2 b2 ವನ್ನು 2ab ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
(2a4 b3+ 8a2 b2)/2ab
= (2a4 b3/2ab) + (8a2 b2 / 2ab) = a3 b2 +4a b
ತಾಳೆ:
ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ +
ಶೇಷ =
2ab*(a3 b2 +4a b) +0= 2a4 b3+
8a2 b2 = ಭಾಜ್ಯ
ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು:
1. ಬಹುಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
2. ಈ ರೀತಿ ಪಡೆದ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.(ಸೂಕ್ತ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ).
2.10.3 ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division
of a Polynomial by a Binomial) (Long division method):
2.10. ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ 7+x3-6x
(ತ್ರಿಪದ)ವನ್ನ
ಒಂದು ದ್ವಿಪದ x+1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.
ಪರಿಹಾರ:
ಭಾಜ್ಯವು 3ನೇ
ಘಾತದ ಬೀಜೋಕ್ತಿ, ಭಾಜಕವು 1ನೇ
ಘಾತದ ದ್ವಿಪದ.
|
ಹಂತ |
ವಿಧಾನ |
|
|
1 |
ಭಾಜ್ಯ
ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳನ್ನು
ಅವುಗಳ ಘಾತ
ಸೂಚಿಯ
ಇಳಿಕೆಯ
ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ
ಬರೆಯಿರಿ. |
|
|
2 |
ಯಾವುದೇ ಘಾತದ ಬೀಜ ಪದ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಹಗುಣಕ ‘0’ ಹಾಕಿ, ಬರೆಯಿರಿ x3 -6x+7
ನ್ನು (x3 +0x2-6x+7) ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ. |
|
|
3 |
ಭಾಜ್ಯದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಭಾಜಕದ ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ (
x3/x = x2). ಆದ್ದರಿಂದ x2 ವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲನೇ ಪದ ಇದನ್ನು ಮೇಲ್ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. |
|
|
4 |
ಭಾಜಕವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲ ಪದ (x2)
ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಭಾಜ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ (=x3+ x2) |
|
|
5 |
ಹಂತ 4
ರಲ್ಲಿ ಬಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ.( x3
+0x2 ) – (x3+ x2) = - x2 |
|
|
6
|
ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು,(=-6x) ಹಂತ 5ರ ಉತ್ತರದ ಮುಂದೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಆಗ -x2 – 6x. ಇದು ಹೊಸ ಭಾಜ್ಯ. |
|
|
7
|
ಹಂತ 3 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗಿನದ್ದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ |
|
|
8 |
ಶೇಷದ ಘಾತ ಸೂಚಿಯು ಭಾಜಕದ ಘಾತ ಸೂಚಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ. |
ತಾಳೆ:
ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ +
ಶೇಷ =
(x+1)* (x2-x-5)+12
= x*(x2-x-5)
+1*(x2-x-5)+12
= (x3-x2-5x)+ (x2-x-5)+12 = x3-x2+ x2-5x-x
-5+12
= x3-0x2-6x
+7
= x3-6x +7 – ಇದು ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ.
2.10.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2: x5 -9x2 +12x-14 ದಿಂದ x -3 ಭಾಗಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಭಾಜ್ಯವು ಘಾತಾಂಶದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ. ಆದರೆ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ x ನ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೊನ್ನೆ ಸಹಗುಣಕ ಸೇರಿಸಿ ಬರೆಯಬೇಕು.
xಭಾಜ್ಯ: x5
+0x4 +0x3-9x2 +12x-14.
ಭಾಜಕವು ಘಾತಾಂಕದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ.
- | x5 -3x4
- |3x4 +0x3
- |3x4
-9x3
- |9x3 -9x2
- |9x3 -27x2
- |18x2+12x
- |18x2 -54x
-|66x-14
-|66x-198
184
ತಾಳೆ:
ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಶೇಷವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು. ಆದರೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಿರುವುದರಿಂದ, ತಾಳೆ ನೋಡಲು ಬೇರೆ ವಿಧಾನ ಬಳಸುವಾ.
x=2 ಆದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡುವಾ.
x=2 ಆದಾಗ,
ಭಾಜಕ =x5
-9x2 +12x-14 = 25 -9*22 +12*2-14
=
32-36+24-14
= 6
ಭಾಜಕ = x-3
=2-3 = -1
ಭಾಗಲಬ್ಧ = 
= 24 +3*23 +9*22+18*2+66
= 16+24+36+66=178
ಈಗ,
ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ =
178*-1+184
=
-178+184
= 6 - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ
2.10. ಸಮಸ್ಯೆ 3: (6p3 -19p2 -8p) ಯನ್ನು (p2
-4p+2) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
6p+5
p2 -4p+2
( -) |6p3 -24p2
+12p --à ---- (1) {= 6p*(p2 -4p+2)}
(=) |+5 p2 -20p --à -----(2) {ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು
ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ}
( -) | 5p2 - 20p+10 --à -----(3) {= 5*(p2
-4p+2)}
(=) -10 --à ಶೇಷ {ಸಮೀಕರಣ (3) ರಿಂದ (2)ನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. }
ತಾಳೆ:
ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ =
(6p+5)* (p2
-4p+2)
= 6p* p2 +6p*-4p+6p*2+5* p2+5*-4p+5*2
= 6p3 -24p2+12p+5p2-20p+10
= 6p3 -19p2-8p+10
ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = (6p3 -19p2-8p+10)-10
= 6p3
-19p2-8p - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ
2.10. ಸಮಸ್ಯೆ 4: a5
+b5 ನ್ನು (a+b) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
a+b
(-) |a5+ a4b
(=)
- a4b+0
(-) |a4b-a3b2
(=) a3b2+0
(-)
| a3b2+
a2b3
(=) - a2b3+0
(-)
|-a2b3-ab4
(=) ab4 + b5
(-) |ab4 + b5
(=)
0
ಅಭ್ಯಾಸ: ಭಾಜಕ*ಭಾಗಲಬ್ಧ+ಶೇಷ = ಭಾಜ್ಯ ಆಗುವುದೋ ಎಂದು ನೋಡಿ.
2.10 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ
|
ಸಂ |
ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
|
1 |
ಏಕಪದವನ್ನು
ಏಕಪದದಿಂದ
ಭಾಗಿಸುವುದು. |