2.14  KPÀPÁ°PÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ(Solving of Simultaneous Linear Equations):

 

©ÃdUÀtÂvÀzÀ DgÀA¨sÀzÀ°è  ¤ÃrzÀ PɼÀV£À ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß E°è PÀ°AiÀÄ°zÉÝêÉ.

“£À£Àß ªÀÄvÀÄÛ £À£Àß vÀAzÉAiÀÄ MlÄÖ ¥ÁæAiÀÄ 55 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. 16 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ £À£Àß vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì £À£Àß ªÀAiÀĹì£À JgÀqÀgÀµÁÖUÀĪÀÅzÁzÀgÉ, FUÀ £À£Àß ªÀAiÀĸÉìµÀÄ”?

 

£Á«ÃUÁUÀ¯Éà x+1 = 5, 2a+6 =10, F jÃwAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß PÀ°wzÉÝêÉ. EªÀÅUÀ¼À¯Éè¯Áè MAzÉà ZÀgÁPÀëgÀ«zÉ. EAvÀºÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼É£ÀÄßvÉÛêÉ.

 

FUÀ MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt x+y = 5 vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÁ.EzÀgÀ°è x ªÀÄvÀÄÛ y JA§ JgÀqÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ½ªÉ. FUÀ F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è

x ªÀÄvÀÄÛ y UÀ½UÉ ¨ÉÃgɨÉÃgÉ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀĪÁ. DUÀ (x=1,y=4), (x=2,y=3), (x=3,y=2), (x=0,y=5), (x= -2, y=7) F jÃw ¤¢ðµÀÖ ¨É¯É EgÀzÀ ºÀ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ¼À UÀÄA¥ÀÅUÀ¼ÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß vÀȦۥÀr¸ÀÄvÀÛªÉ. x ªÀÄvÀÄÛ y UÀ½UÉ C¸ÀASÁåvÀ ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ ¹UÀÄvÀÛªÉ. ºÁUÁzÀgÉ, EzÀÄ KPÉ? ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è x £Àß ¥ÀPÁëAvÀj¹zÁUÀ, y = 5-x DUÀÄvÀÛzÉ. x  £À AiÀiÁªÀÅzÉà ¨É¯ÉUÉ yUÉ ¥ÀævÉåÃPÀ ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛªÉ. F jÃwAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À®Ä £ÀªÀÄUÉ x ªÀÄvÀÄÛ yUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt ¨ÉÃPÀÄ.

 

JgÀqÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ½gÀĪÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ C£ÀAvÀ ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ ¹UÀĪÀÅzÀjAzÀ,EAxÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À®Ä CzÉà ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt ¨ÉÃPÀÄ.

 

FUÀ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£ÀÄ ¤ªÀÄUÉÆAzÀÄ DlzÀ ¯ÉPÀ̪À£ÀÄß PÉÆqÀÄvÁÛ£ÉAzÀÄ ¨sÁ«¹. ¤ÃªÀÅ ¸ÀjAiÀÄÄvÀÛgÀ ºÉýzÀgÉ, CªÀ£À ªÀAiÀĹì£ÀµÉÖà ¸ÀASÉåAiÀÄ ¹.r.UÀ¼À£ÀÄß ¤ªÀÄUÉ PÉÆqÀÄvÁÛ£É. F ¥ÀAzÀåªÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¹éÃPÀj¸ÀÄwÛÃgÁ?

 

2.14 ¸ÀªÀĸÉå1 (¥ÀAzÀåzÀ ¯ÉPÀÌ): “£À£Àß ªÀÄvÀÄÛ £À£Àß vÀAzÉAiÀÄ MlÄÖ ¥ÁæAiÀÄ 55 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. 16 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ £À£Àß vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì £À£Àß ªÀAiÀĹì£À JgÀqÀgÀµÁÖUÀĪÀÅzÁzÀgÉ, FUÀ £À£Àß ªÀAiÀĸÉìµÀÄÖ?”

 

CAzÁf¤AzÀ¯Éà ¯ÉPÀ̪À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ. ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£ÀÄ aPÀÌ ªÀÄUÀĪÀÅ DUÀzÉà EgÀĪÀÅzÀjAzÀ CvÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì 9 ªÀµÀðUÀ½AzÀ DgÀA©ü¹ ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß ©r¸ÀĪÁ.

 

             

FUÀ(MlÄÖ=55)

16 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ

¸ÉßûvÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì

CªÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì

¸ÉßûvÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì

CªÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì

9

46

25

62

10

45

26

61

11

44

27

60

12

43

28

59

13

42

29

58

14

41

30

57

15

40

31

56

 

 

ªÉÄð£À vÀ:SÉÛ¬ÄAzÀ w½zÀÄ §gÀĪÀÅzÉãÀAzÀgÉ,¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì FUÀ 13 ªÀµÀðUÀ¼ÁzÀgÉ 15 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ, CªÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì(58) DvÀ£À ªÀAiÀĹì£À(29) JgÀqÀgÀµÁÖUÀ°zÉ.FUÀ ¤ÃªÀÅ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ¤AzÀ 13 ¹.r.UÀ¼À£ÀÄß PÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.

DzÀgÉ dn® ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À°è F PÀæªÀĪÀ£ÀÄß C£ÀĸÀj¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è. ºÁUÁzÀgÉ EzÀPÉÆÌAzÀÄ ¤AiÀĪÀħzÀÞªÁzÀ PÀæªÀÄ«zÉAiÉÄ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À FV£À ªÀAiÀĸÀÄì = y ªÀµÀðUÀ¼ÁVgÀ°.

     CªÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì = x ªÀµÀðUÀ¼ÁVgÀ°.

CªÀj§âgÀ ªÀAiÀĹì£À ªÉÆvÀÛ 55 ªÀµÀðUÀ¼ÁzÀÝjAzÀ,

                     x+y =55

16 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì = y+16

         ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì = x+16.

¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ°è PÉÆlÖAvÉ, x+16 =2*(y+16)

 x+16 = 2y+ 32    (¸ÀÄ®©üÃPÀj¹zÉ.)

 x-2y = 32-16 =16 (¥ÀPÁëAvÀj¹zÉ.)

 

PÉÆ£ÉAiÀÄ°è £ÀªÀÄVÃUÀ JgÀqÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ zÉÆgÉvÀªÀÅ:

(1) x+y =55

(2) x-2y = 16

 

gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À®Ä ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è MAzÉà ZÀgÁPÀëgÀ ¨ÉÃPÀÄ.DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀt¢AzÀ ºÉÆÃUÀ¯Ár¸À¨ÉÃPÀÄ. ºÉÃUÉ?

zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ:

 

                                                  x+y =55   ==è (1)

                                                  x-2y=16   ==è (2)

                                                 ----------

 (2) £ÀÄß (1)   jAzÀ PÀ¼É¬Äj     0+3y =39   ==è (3)

                                                -----------

3y = 39

   y=13

x+y =55    ==è (1)

x = 55-y (¥ÀPÁëAvÀj¹zÉ.)

ªÉÄð£À ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è y=13JAzÀÄ DzÉò¹zÁUÀ,

x=55-13

 =42

¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì = 13 ªÀµÀð

CªÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì = 42 ªÀµÀð

 

vÁ¼É:

FUÀ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì = 13 ªÀµÀð, CªÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì = 42 ªÀµÀð DzÁUÀ CªÀgÀ MlÄÖ ¥ÁæAiÀÄ 55 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ.

16 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ,¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì = 29 ªÀµÀð, CªÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì =58( DUÀ CªÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĹì£À JgÀqÀgÀµÁÖUÀĪÀÅzÀÄ)

2. x ªÀÄvÀÄÛ yUÀ¼À ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß (1) gÀ°è DzÉò¹zÁUÀ: x+y = 42+13 = 55 , (2) gÀ°è DzÉò¹zÁUÀ: x-2y = 42-26 = 16

 

2.14 ¸ÀªÀĸÉå2: MAzÀÄ PÀA¥Á¸ÀÄ ¥ÉnÖUÉAiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄÄ MAzÀÄ ¥É¤ß£À ¨É¯ÉVAvÀ gÀÆ.18 eÁ¹Û. ¤ªÀÄä CzsÁå¥ÀPÀgÀÄ ¤ªÀÄUÉ 240 gÀÆ UÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÄÖ 5 PÀA¥Á¸ÀÄ ¥ÉnÖUÉ ªÀÄvÀÄÛ 10 ¥É£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß vÀgÀ®Ä ºÉýzÀgÉ, MAzÀÄ PÀA¥Á¸ÀÄ ¥ÉnÖUÉ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¥É¤ß£À PÀæAiÀÄ PÀAqÀÄ»r.

 

¥ÀjºÁgÀ:

MAzÀÄ PÀA¥Á¸ÀÄ ¥ÉnÖUÉAiÀÄ PÀæAiÀÄ = y DVgÀ°

          MAzÀÄ ¥É¤ß£À PÀæAiÀÄ = x DVgÀ°

(1) y = x+18       ==è(1)

(2) 5y+10x = 240 ==è(2)

 

(1)   £Àß  ¸ÀjAiÀiÁzÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉzÁUÀ, y-x =18     ===è(3)

(2)   £Àß 5  jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ,        y+2x= 48   ===è(4)  

(3)   gÀ°è (4) £Àß PÀ¼ÉzÁUÀ           -----------------

                                           -3x =-30 ------è(2)

                                                       X = -30/-3  =10 ------è(3)

                                                                    

MAzÀÄ ¥É¤ß£À PÀæAiÀÄ = 10 gÀÆ.

MAzÀÄ PÀA¥Á¸ÀÄ ¥ÉnÖUÉAiÀÄ PÀæAiÀÄ = 28 gÀÆ

C¨sÁå¸À: x ªÀÄvÀÄÛ y AiÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀt (1) ªÀÄvÀÄÛ (2)gÀ°è DzÉò¹, vÁ¼É£ÉÆÃr.

 

2.14 ¸ÀªÀĸÉå 3: ©r¹: 2x+2y =4   ªÀÄvÀÄÛ   x+y =2

 

¥ÀjºÁgÀ:

                                                              2x+2y =4   ===è(1)

                                                              x+y =    2  ===è(2)

 (2) £ÀÄß 2 jAzÀ UÀÄt¹.

                                                              2x+2y=4     ===è(3)

 

 (1) jAzÀ(3) £ÀÄß PÀ¼É¬Äj 0 =0 EzÀÄ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¸ÀvÀå.

x ªÀÄvÀÄÛ y UÀ½UÉ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀ§ºÀÄzÀÄ. CªÀÅUÀ½UÉ ¤¢ðµÀÖªÁzÀ ¨É¯ÉUÀ½®è( KPÀAzÀgÉ JgÀqÀ£Éà ¸À«ÄÃPÀgÀt ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÀgÀ CzsÀðzÀ¶ÖzÉ)

 

2.14 ¸ÀªÀĸÉå 4: ©r¹: 2x+2y =4 ªÀÄvÀÄÛ x+y = 3 

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ:                                   2x+2y =4   ====è(1)

                                                                 x+y = 3  =====è(2)

 

 (2) £ÀÄß 2 jAzÀ UÀÄt¹zÁUÀ,

                                                                2x+2y=6  =====è(3)

 

(3) jAzÀ (1) £Àß PÀ¼ÉzÁUÀ, 0 =2 EzÀÄ ¤dªÀ®è.

DzÀÝjAzÀ x ªÀÄvÀÄÛ y UÀ¼À AiÀiÁªÀ ¨É¯ÉUÀ¼ÀÆ PÉÆlÖ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß vÀȦۥÀr¸ÀĪÀÅ¢®è.

 

ªÁåSÉå: JgÀqÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀļÀî JgÀqÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß “KPÀPÁ°PÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ”(simultaneous linear equations) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

CªÀÅUÀ¼ÀÄ , a1 x+ b1 y = c1      ªÀÄvÀÄÛ        a2 x+b2 y = c2

E°è a1, b1, a2, b2, c1 ,c2 UÀ¼ÀÄ ¹ÜgÁA±ÀUÀ¼ÀÄ, x ªÀÄvÀÄÛ y  UÀ¼ÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ ( EªÀÅUÀ¼À ¨É¯ÉAiÀÄ£Éßà £ÁªÀÅ PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÁzÀzÀÄÝ.)

 

»ÃVgÀĪÀ KPÀPÁ°PÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ ºÉÃUÉ ©r¹zÉÝêÉ?

 

¸ÀºÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄUÉƽ¹, ºÉÆÃUÀ¯Ár¸ÀĪÀ PÀæªÀÄ (Method of Elimination by equating co –efficients):

 

C£ÀĸÀj¸À¨ÉÃPÁzÀ ºÀAvÀUÀ¼ÀÄ:

 

1.       ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À ¸ÀASÁå ¸ÀºÀC¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄUÉƽ¸À®Ä, ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß (MAzÀÄ CxÀªÁ JgÀqÀÆ) ¸ÀÆPÀÛªÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ½AzÀ UÀÄt¹.

2.      ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÁå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÄÝ «eÁwAiÀÄ aºÉßUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉ¢zÀÝgÉ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸À¨ÉÃPÀÄ. ¸ÀeÁwAiÀÄ aºÉßUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ PÀ¼ÉAiÀĨÉÃPÀÄ.

3.      F jÃw ¥ÀqÉzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ©r¹ CzÀgÀ°è£À MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

4.      ¹QÌzÀ ZÀgÁPÀëgÀzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹, E£ÉÆßAzÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

 

 

UÀªÀĤ¹:

J¯Áè ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À®Æè KPÀPÁ°PÀ ¸À«ÄÃPÀgÀt ©r¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è.

1. a1 x+ b1 y = c1

2. a2 x+b2 y = c2

 

1. (a1 / a2) = (b1 / b2)   (c1 / c2) DzÀgÉ ¥sÀ°vÁA±À E®è.

2. (a1 / a2) = (b1 / b2) = (c1 / c2) DzÀgÉ C¸ÀASÁåvÀ ¥ÀjºÁgÀUÀ½ªÉ.

3. (a1 / a2) (b1 / b2)  DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¤¢ðµÀÖ ¥sÀ°vÁA±À ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀå.

 

2.14 ¸ÀªÀĸÉå 5:

 

©r¹: x+y =2xy   ------à(1)

          x-y = 6xy  -----à(2)

 

¥ÀjºÁgÀ:

JgÀqÀÆ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹, 2x = 8xy

CAzÀgÉ  1 = 4y

           y = 1/4

yAiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀt (1) gÀ°è DzÉò¹zÁUÀ,

x+ 1/4 =  2x/4 = x/2

¥ÀPÁëAvÀj¹zÁUÀ, x-x/2 = - 1/4

 x = -1/2

 

vÁ¼É:

x,y ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß DzÉò¹zÁUÀ:

x+y =  -1/2+1/4 = -1/4

2xy =  2*(-1/2)*(1/4) = -1/4

x+y =2xy

x-y =  -1/2-1/4 = -3/4

6xy=  6*(-1/2)*(1/4) = -3/4

 x-y = 6xy

 

2.14 ¸ÀªÀĸÉå 6:  MAzÀÄ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è GwÛÃtðvÉUÀÆ C£ÀÄwÛÃtðvÉUÀÆ EgÀĪÀ C£ÀÄ¥ÁvÀ 4:1( GwÛÃtðgÁzÀªÀgÀÄ C£ÀÄwÛÃtðgÁzÀªÀgÀ 4 ¥ÀlÄÖ).

MAzÀÄ ªÉÃ¼É ¥ÀjÃPÉëUÉ PÀĽvÀªÀgÀ°è 30 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¥ÀjÃPÉëUÉ ºÁdgÁUÀ¢zÀÝ°è, 20 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ PÀrªÉÄ GwÛÃtðgÁUÀÄwÛzÀÝgÀÄ. DUÀ D C£ÀÄ¥ÁvÀ 5:1 DVgÀÄwÛvÀÄÛ. ( GwÛÃtðgÁzÀªÀgÀÄ C£ÀÄwÛÃtðgÁzÀªÀgÀ 5 ¥ÀlÄÖ) ºÁUÁzÀgÉ ¥ÀjÃPÉëUÉ ºÁdgÁzÀ «zÁåyUÀ¼À ¸ÀASÉå PÀAqÀÄ»r.

 

¥ÀjºÁgÀ:

¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è GwÛÃtðgÁzÀ «zÁåyUÀ¼ÀÄ: x DVgÀ°.

C£ÀÄwÛÃtðgÁzÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ = y DVgÀ°.

 x=4y      ------à(1)

¥ÀjÃPÉëUÉ PÀĽvÀªÀgÀÄ= x+y

           

30 ªÀÄA¢ PÀrªÉÄ ºÁdgÁzÁUÀ, 20  ªÀÄA¢ (x-20) PÀrªÉÄ GwÛÃtðgÁUÀÄwÛzÀÝgÀÄ. DUÀ

1)   ºÁdgÁUÀ°gÀĪÀ MlÄÖ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ = x+y-30

2)   GwÛÃtðgÁUÀ°gÀĪÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ = (x+y-30) –(x-20)

= y-10

 

3)  GwÛÃtðvÉUÀÆ C£ÀÄwÛÃtðvÉUÀÆ EgÀĪÀ C£ÀÄ¥ÁvÀ 5:1 DUÀÄwÛvÀÄÛ.

 (x-20) = 5(y-10)   -----à(2)

 

FUÀ £ÀªÀÄUÉ JgÀqÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ ¹QÌzÀªÀÅ: £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß 1 £Éà ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹zÁUÀ

4y-20 = 5(y-10)   -----à (x   £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß 2 £Éà ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹zÁUÀ)

 = 5y-50

4y-20 -4y+20 = 5y-50-4y+20 (JgÀqÀÆ §¢¬ÄAzÀ 4y £ÀÄß PÀ¼ÉzÀÄ 20 £ÀÄß  PÀÆr¹zÁUÀ)

 0= y-30

30=y

x=4*30( y  £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß 1 £Éà ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹zÁUÀ)

=120

 

vÁ¼É:

GwÛÃtðgÀÄ: C£ÀÄwÛÃtðgÀÄ = 120:30 (EzÀÄ 4:1 gÀ C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è EzÉ)

ªÉÆzÀ®Ä ¥ÀjÃPÉëUÉ PÀĽvÀªÀgÀÄ= 120+30=150

30 ªÀÄA¢ ºÁdgÁUÀ¢zÀÝ°è ¥ÀjÃPÉëUÉ PÀĽvÀªÀgÀÄ = 150-30 =120 ªÀÄvÀÄÛ 20 ªÀÄA¢ PÀrªÉÄ GwÛÃtðgÁUÀÄwÛzÀÝgÀÄ. DUÀ

GwÛÃtðgÀÄ = 120-20 =100

     C£ÀÄwÛÃtðgÀÄ = 120-100 = 20

GwÛÃtðgÀÄ: C£ÀÄwÛÃtðgÀÄ = 100:20 (EzÀÄ 5:1 gÀ C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è EzÉ)

 

2.14 ¸ÀªÀĸÉå 7:  JgÀqÀÄ CAQ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r DAPÉUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 9.  F ¸ÀASÉåAiÀÄ 9 gÀµÀÄÖ, ©r DAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ºÉƸÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ JgÀqÀgÀµÀÖPÉÌ ¸ÀªÀÄ EzÀÝgÉ CAQUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀŪÀÅ?

¥ÀjºÁgÀ:

x CAQAiÀÄÄ ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ®Æè y AiÀÄÄ ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ®Æè EgÀ°. DUÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ(xy) ¨É¯É 10x+y. EzÀgÀ ¸ÁÜ£ÀUÀ¼À£ÀÄß §zÀ°¹zÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ (yx) ¨É¯É 10y+x.

zÀvÁÛA±ÀzÀAvÉ: 

x+y = 9   (xy)

9(10x+y) =  2(10y+x)

 

C¨sÁå¸À: 

F ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹(x =1 and y=8). ¸ÀASÉå  18 DVgÀÄvÀÛzÉ.

1+8 = 9

9*18 =2*81

 

2.14 ¸ÀªÀĸÉå 8:   ¤ªÀÄä vÁ¬ÄAiÀÄ eÉÆvÉUÉ ¤ªÀÄä HjUÉ ºÉÆÃUÀ¨ÉÃPÁVzÉ JAzÀÄ ¨sÁ«¹j, ¤ÃªÀÅ «zÁåyðAiÀiÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ ¤ªÀÄUÉ nPÉÃmï £À ¨É¯ÉAiÀÄ°è 50% PÀrvÀ EgÀÄvÀÛzÉ, DzÀgÉ PÁ¢j¸ÀĪÀ ±ÀÄ®Ì zÀ°è jAiÀiÁ¬Äw EgÀĪÀÅ¢®è.  PÁ¢j¸ÀĪÀ ±ÀÄ®Ì ¸ÉÃj ¤ªÀÄä vÁ¬ÄAiÀÄ nPÉmï 2125 gÀÆ EzÀÄÝ ¤«Ää§âgÀ nPÉmï UÉ 3200 gÀÆ DzÀgÉ, M§â ªÀAiÀĸÀÌ£À

nPÉmï £À ¨É¯É ªÀÄvÀÄÛ PÁ¢j¸ÀĪÀ ±ÀÄ®Ì KµÀÄÖ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

x nPÉmï £À ¨É¯É ªÀÄvÀÄÛ y PÁ¢j¸ÀĪÀ ±ÀÄ®Ì EgÀ°. ¤ÃªÀÅ «zÁåyð DVgÀĪÀzÀjAzÀ ¤ªÀÄä nPÉmï £À ¨É¯É (1/2)x

x+y = 2125    ----à(1)

¤ÃªÀÅ «zÁåyð DVgÀĪÀzÀjAzÀ ¤ªÀÄä nPÉmï £À ¨É¯É (1/2)x . PÁ¢j¸ÀĪÀ ±ÀÄ®ÌzÀ°è «£Á¬Äw E®èzÉà EgÀĪÀÅzÀjAzÀ CzÀÄ E§âjUÀÆ y AiÉÄà DVgÀÄvÀÛzÉ.

¤«Ää§âgÀ nPÉmï £À ¨É¯É = {(1/2)x+y} + (x +y) =3200

 (3/2)x+2y =3200 = 3200(JgÀqÀÆ PÀqÉ UÀÄt¹zÁUÀ:)

3x+4y =6400   ----à(2)

¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß  ©r¹zÁUÀ x= 2100, 7= 25JAzÀÄ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.

vÁ¼É:

2125 = 2100+25

3200 = 2100+25+1050+25

 

 

 

 

2.14 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

 

 

PÀæ.¸ÀA.

PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

1

 ( a1 x+ b1 y = c1, a2 x+b2 y = c2)F jÃwAiÀÄ KPÀPÁ°PÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÁV ¥ÀjªÀwð¹, ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ.

2

J¯Áè KPÀPÁ°PÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è.

 

ºÉaÑ£À ªÀiÁ»wUÀ¼ÀÄ

 

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À(Alternate method): DzÉñÀ¢AzÀ ºÉÆÃUÀ¯Ár¸ÀĪÀÅzÀÄ(Method of elimination by substitution)

 

KPÀPÁ°PÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ «zsÁ£À¢AzÀ®Æè ©r¸À§ºÀÄzÀÄ:

 

1.      AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ ¸À«ÄPÀgÀtzÀ°è MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß (y) E£ÉÆßAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀzÀ (x) gÀÆ¥ÀzÀ°è §gɬÄj.

2.      ªÉÄð£À ºÀAvÀzÀ°è  ¥ÀqÉzÀ (y) AiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ ¸À«ÄPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹,(x)£À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3.      (x) £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ ¸À«ÄPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹,(y) AiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

FUÀ 2.14.2   ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß F «zsÁ£ÀzÀ°è ©r¸ÀĪÁ.

©r¹:

5y+10x =240     ----à(1)

5y -5X =   90    ----à(2)

5y= 5x + 90 (¸À«ÄÃPÀgÀt 2 gÀ°è 5x£Àß ¥ÀPÁëAvÀj¹zÉ)

5 jAzÀ ¨sÁV¹, y = x+18

y AiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀt 1 gÀ°è DzÉò¹,

       5y +10x =240

5(x+18)+10x=240

5x+90+10x=240

 15x= 240-90

=150

CAzÀgÉ 150 = 15x

x = 10

x £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß 1gÀ°è DzÉò¹,

5y+10*10 = 240

CAzÀgÉ 5y = 240-100=140

 y = 28

F ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ GzÁ.2.14.2 gÀ°è PÀÆqÁ zÉÆgÉwªÉ.