3.7 ಮಾಡ್ಯುಲೋ
ಗಣಿತ (Modular Arithmetic):
3.7.1 ಪೀಠಿಕೆ:
ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ
ಮೇ 2006 ರ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್
ಗಮನಿಸಿ. 1 ನೇ ತಾರೀಕು ಸೋಮವಾರ
ಬಂದಿದೆ.ಹಾಗಾದರೆ
29ನೇ ತಾರೀಕು
ಯಾವ ವಾರ?ಅದು ಪುನಃ ಸೋಮವಾರ.
ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಗ್ರಹಿಸಬಹುದು? 1 ನೇ ತಾರೀಕು ಸೋಮವಾರವಾದರೆ
ಮುಂದಿನ ಸೋಮವಾರಗಳ
ತಾರೀಕು: 1,8 (1+7),15(8+7),22(15+7),29(22+7) ಇದು
ಹೇಗೆ? ಏಕೆಂದರೆ ವಾರದಲ್ಲಿ
7 ದಿನಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ
ಯಾವುದೇ ದಿನವು
ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ
7ನೇ ದಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಇದೇ
ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಗಣಿತ. 8 15 22
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ x ಈ ಮೇಲಿನ
ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು
ಹೀಗೂ ಹೇಳಬಹುದು:x-y ಸರ್ವ
ಸಮ ಆದಾಗ ( x-y)/ m = ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಈಗ
ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಧನ
ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು
ಇನ್ನೊಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ
(m) ನಿಂದ
ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿಯುವ
ಶೇಷವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ
ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದು {0,1,2,3,4…..(m-1)} ಗಣದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
0,1,2,….(m-1) ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು
‘ಮಾಡ್ m’ ನ ಶೇಷಗಳೆನ್ನುವರು. Zm= {0,1,2,3,4…..(m-1)} ಇದನ್ನು
‘ಮಾಡ್ m’ ನ ಗಣ ಎನ್ನುವರು. |
|
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:
ಯಾವುದೇ
ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ‘m’ ನಿಂದ
ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವ
ಶೇಷಗಳ ಗಣವನ್ನು
“ಅವಶೇಷಗಳ
ಗಣ” (‘residue set’) ಎನ್ನುವರು.
Zm= {0,1,2,3,4…..(m-1)}
3.7.1 ಉದಾ 1: ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವೊಂದನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ
ಬರುವ ಶೇಷಗಳನ್ನು
ಬರೆ.
ಪರಿಹಾರ:
10 ಭಾಜಕವಾದಾಗ
ಬರುವ ಶೇಷಗಳು: 0,1,2,3….9
Z10= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
ಮಾಡ್ಯುಲೋ
ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ
ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ:
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: m ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲೋ
ಆದರೆ..
ಸಂಕಲನದ ಸಂಕೇತ m
ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಕೇತ
m
1. a
+m b r (= (a+b)/m ನ ಶೇಷ)
2. a
m b
r (= (a*b)/m ನ ಶೇಷ)
3.7.1 ಉದಾ 2 : 10 +12 2 +12 3 ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ..
ಪರಿಹಾರ:
10 +12 2 +12 3
=(10 +12 2) +12 3
=0+12 3( (10+2)/12 = ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆ)
= 3(3/12 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ 3)
3.7.1 ಉದಾ 3 : 4 11 3
11 7 ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ..
ಪರಿಹಾರ:
4 11 3
11 7
=(4 11 3)
11 7
= 1 11 7(
(4*3)/11 ರಲ್ಲಿ
ಶೇಷ = 1)
= 7 ( (1*7)/11 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ = 7)
3.7.1 ಉದಾ 4 : yy
1(ಮಾಡ್ 8) ಆದರೆ
y ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
yy
1(ಮಾಡ್ 8)
(y*y ) ಯನ್ನು 8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ
ಶೇಷ = 1 ಆಗಬೇಕು.
(y2-1)
= 8
y=3.
ತಾಳೆ:
38 3 =1(
(3*3)/8 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ = 1)
3.7.2 ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ
(Caley’s
Table):
ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವು
ಮಾಡ್ಯಲೋ ಗಣಿತ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು
ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ದತ್ತ ಗಣದಲ್ಲಿ
ಮಾಡ್ಯಲೋ ಕ್ರಿಯಗಳಾದ
ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು
ಮಾಡಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು
ಒಂದು ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ
ನಿರೂಪಿಸಿದಾಗ, ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ
ದೊರೆಯುವುದು.
ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ
ದೊರೆಯುವ ಗಣ = Z4 = {0,1,2,3}
ಸಂಕಲನ
ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೇಲಿ
ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು
ಬರೆಯುವಾ (a (ಮಾಡ್ 4) ರ ಶೇಷಗಳು 0,1,2 ಅಥವಾ 3 ಆಗಲು
ಸಾಧ್ಯ a+4
b ಯನ್ನು a =0,1,2,3
ಮತ್ತು b= 0,1,2,3. ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ
ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾ |
ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು
ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಒಂದು
ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ
ಬರೆದಾಗ – [a |
||||||||||||||||||||||||||||||
0 +4 0 1 +4
0 2
+4 0 3 +4 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ಗಮನಿಸಿ:
ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Z4= {0,1,2,3} ಗಣಕ್ಕೇ
ಸೇರಿವೆ. |
ಗುಣಾಕಾರ
ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೇಲಿ
ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು
ಬರೆಯುವಾ..(a |
ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು
ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಒಂದು
ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ
ಬರೆದಾಗ – [a |
||||||||||||||||||||||||||||||
0 X4 0 1 X4
0 2
X4 0 3 X4
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ಇಲ್ಲಿ
ಕೂಡಾ ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Z4= {0,1,2,3} ಗಣಕ್ಕೇ
ಸೇರಿವೆ. |
3.7.2 ಸಮಸ್ಯೆ1 :
Q ={0,2,4,6,8} ಇದರ
ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ 10 ರ ಕೇಲಿ
ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ನಮಗೀಗ ab
ಮಾಡ್ 10 ರ ಬೆಲೆಗಳು
ಬೇಕು.
a, b
Q= {0,2,4,6,8}
(6+4)/10 ಆದಾಗ ಶೇಷ 0
(6+6)/10 ಆದಾಗ ಶೇಷ 2
(8+6)/10 ಆದಾಗ ಶೇಷ 4
ಈಗ
6 +10 4 0 6 +10 6
2 8 +10
6
4
ಇದೇ
ರೀತಿ,
a ,bUÀ¼À ಇತರ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ
ಶೇಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.
bà |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
A |
a
+10 b= |
||||
0 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
2 |
2 |
4 |
6 |
8 |
0 |
4 |
4 |
6 |
8 |
0 |
2 |
6 |
6 |
8 |
0 |
2 |
4 |
8 |
8 |
0 |
2 |
4 |
6 |
3.7.2 ಸಮಸ್ಯೆ2 :
A = {1,5,7,11} ಇದರ
ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ 12 ರ ಕೇಲಿ
ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿ.
ನಮಗೀಗ ab ಮಾಡ್ 12 ರ ಬೆಲೆಗಳು
ಬೇಕು.
a, b
A ={1,5,7,11}
(7*7)/12 ಆದಾಗ ಶೇಷ 1
(7*11)/12 ಆದಾಗ ಶೇಷ 5
(11*11)/12 ಆದಾಗ ಶೇಷ 1
ಈಗ
7 127
1 7
12 11
5 11
12 11
1
ಉಳಿದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಇತರ
ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಶೇಷವನ್ನು
ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದಾಗ
bà |
1 |
5 |
7 |
11 |
A |
a
|
|||
1 |
1 |
5 |
7 |
11 |
5 |
5 |
1 |
11 |
7 |
7 |
7 |
11 |
1 |
5 |
11 |
11 |
7 |
5 |
1 |
3.7. ಕಲಿತ
ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
ಕ್ರ.ಸಂ. |
ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
1 |
ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ. |
2 |
ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ |
3 |
ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ. |