6.11 ವೃತ್ತಗಳು - ಭಾಗ 2   (Circles - Part 2):

                                                                                                                                                                              

6.11.1 ಜ್ಯಾಗಳ ರಚನೆ (Construction of chords)

 

 

 

 

 

1.  ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾ ದ ರಚನೆ:-

                                                                                           

6.11.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 2 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ 3ಸೆಂ.ಮಿ. ಉದ್ದದ ಜ್ಯಾವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

ರಚನಾ ಕ್ರಮ:

ಸಂ.

ರಚನೆ

1

O ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 2 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

2

ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದು P ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ

3

P ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 3ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, ವೃತ್ತಪರಿಧಿಯನ್ನ Q ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

PQ ಜೋಡಿಸಿ.  PQ  3 ಸೆಂ.ಮಿ. ಉದ್ದದ ಜ್ಯಾ ಆಗಿದೆ.

 

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾವನ್ನ ಎರಡು ವೃತ್ತಖಂಡಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. PSQ ಮತ್ತು PTQ.

PSQ ವೃತ್ತಖಂಡವು PTQ ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.

ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸ POR (4 ಸೆಂ.ಮಿ.) ಇವು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಉದ್ದದ ಜ್ಯಾ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾ ಕಂಸದಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿರುವ ಭಾಗವನ್ನ ವೃತ್ತ ಖಂಡ (segment) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

 

ಗಮನಿಸಿ:

1.    ವ್ಯಾಸವು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಉದ್ದದ ಜ್ಯಾ ಆಗಿದೆ.

2.    ಒಂದು ಜ್ಯಾವು ವೃತ್ತವನ್ನ ಎರಡು ವೃತ್ತಖಂಡಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

3.    ವ್ಯಾಸವು ವೃತ್ತವನ್ನ ಎರಡು ಸಮನಾದ ಅರ್ಧವೃತ್ತಖಂಡಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

 

2. ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರದ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

 

6.11.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 2.5 ಸೆಂ.ಮಿ.  ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ 4 ಸೆಂ.ಮಿ. ಉದ್ದದ ಜ್ಯಾ ರಚಿಸಿ, ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಜ್ಯಾಕ್ಕೂ ಇರುವ ದೂರವನ್ನ ಅಳೆಯಿರಿ.

ಸಂ.

ರಚನೆ

1

O ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 2.5 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.           

2

ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಿಂದು P ಯನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ.

3

P ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 4 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, ವೃತ್ತಪರಿಧಿಯನ್ನ Q ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

4

PQ ಜೋಡಿಸಿ.  PQ 4 ಸೆಂ.ಮಿ. ಉದ್ದದ ಜ್ಯಾ ಆಗಿದೆ.

5

PQ ಜ್ಯಾದ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನೆಳೆದು ಮಧ್ಯಬಿಂದು M ನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ.

(P ಮತ್ತು Q ಗಳನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು PQ ದ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ PQ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ R ಮತ್ತು S ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ).RS ಜೋಡಿಸಿ. ಇದು PQ ವನ್ನ ಒನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ).

6

OM ನ ಉದ್ದವೇ ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರಕ್ಕೂ PQ ಜ್ಯಾಕ್ಕೂ ಇರುವ ದೂರವಾಗಿದೆ. OMನ್ನ ಅಳೆದಾಗ ಅದು 1.5 ಸೆಂ.ಮಿ. ಇದೆ.

POM ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ನ ಪ್ರಮೇಯ ಉಪಯೋಗಿಸಿ  OM = 1.5 ಸೆಂ.ಮಿ. ಆಗುವುದಾ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

 

ಅಭ್ಯಾಸ: ಅದೇ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ 4 ಸೆಂ.ಮಿ. ಉದ್ದದ ಕೆಲವು ಜ್ಯಾಗಳನ್ನೆಳೆದು (TU), ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಅವುಗಳಿಗಿರುವ ದೂರವನ್ನ ಅಳೆಯಿರಿ.

(ON= OM ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ )

ಗಮನಿಸಿ:

1.    ಜ್ಯಾದ ಉದ್ದ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲಾ, ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೂ ಅದಕ್ಕೂ ಇರುವ ದೂರ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ. ಜ್ಯಾವು ವ್ಯಾಸವಾದಾಗ, ದೂರ 0 ಆಗುತ್ತದೆ.

2.    ಜ್ಯಾದ ಉದ್ದ ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ, ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಇರುವ ದೂರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

3.    ಸಮನಾದ ಜ್ಯಾಗಳು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

 

ಸಂಖ್ಯೆ          

              ಚಿತ್ರ

ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನದ ಲಕ್ಷಣಗಳು

 

1

ASBA  ಯು ಲಘು ವೃತ್ತ ಖಂಡ.

ACB ಯು ವೃತ್ತಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಘು ವೃತ್ತಖಂಡ ASBA ಯಿಂದ ಆದ ಕೋನ.

ಲಘು ಕಂಸವು (ASB)  ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಘು ಕೋನವನ್ನ (ACB)  ಉಂಟು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

2

ASBOA  ಯು ಅರ್ಧವೃತ್ತ

ACBಯು ASBOA ಅರ್ಧವೃತ್ತದಿಂದ ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾದ ಕೋನ.

ಗಮನಿಸಿ: :ACB = 900.

ಅರ್ಧವೃತ್ತವು (ASB)  ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವನ್ನ (ACB) ಉಂಟು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

3

 

ASBA ಯು ವಿಶಾಲ ವೃತ್ತಖಂಡ

ACBಯು ವಿಶಾಲವೃತ್ತ ಖಂಡದಿಂದ ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾದ ಕೋನ.

ಅಧಿಕ ಕಂಸವು (ASB)  ಪರಿಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶಾಲಕೋನ ವನ್ನ (ACB)  ಉಂಟು ಮಾಡುತ್ತದೆ.


 

ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಶಾಲಾ ವಾರ್ಷಿಕ ಕ್ರೀಡಾಕೂಟದಲ್ಲಿ ಓಟದ ಟ್ರಾಕ್‍ನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಎಲ್ಲಾ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಗೆರೆಗಳು ಒಂದೇ ಕೇಂದ್ರವನ್ನ ಹೊಂದಿದ್ದು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

ಒಂದೇ ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವನ್ನ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಬೇರೆ ಬೇರೆ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳನ್ನ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಏಕ ಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳೆಂದು (concentric circles) ಹೆಸರು.

 

ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವಂತೆ ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನ ವೃತ್ತ ಛೇದಕ (secant) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ..

 

ಸಂಖ್ಯೆ

ಚಿತ್ರ

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು

1

ಒಂದೇ ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವನ್ನ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳನ್ನ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಗಳು.

OA,OB,OC ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಾಗಿರುವ  C1,C2,c3  ಏಕ ಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳು

 

 

 

 

2

ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನ ಹೊಂದಿದ್ದು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಗಳು. C1  ಮತ್ತು   C2  ಗಳು ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು (OA=OB) ಹೊಂದಿರುವ  ಆದರೆ, ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನ ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು.

3

ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಎಳೆದ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಛೇದಕ (secant).

AD  ಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ವೃತ್ತವನ್ನ  B  ಮತ್ತು   C ಗಳೆಂಬ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

 

ABCD  ಯು ಛೇದಕ..

4

ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕ (‘Tangent’).

ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವನ್ನ ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದು(Point of contact).

XY ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವನ್ನ ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಿಂದು  P ಯಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ. XPY  ಯು  P  ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕ.


 

ಪ್ರಮೇಯ: ಯಾವುದೇ ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದು.

(ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ OPಯು RS ಗೆ ಲಂಬ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ).

 

 

ಸಲಹೆ:

ರಚನೆ: OPಯನ್ನOP=PQ ಆಗುವಂತೆ ವೃದ್ಧಿಸಿ. SR ಎಂಬುದು OQ ನ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕವಾಗಿರಲಿ. ಬಾ.ಬಾ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದ ಸಹಾಯದಿಂದ OPS ಮತ್ತು QPS ಗಳು ಸರ್ವಸಮ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

1. ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನ ರಚಿಸುವುದು:-

 

ಸಂ.

ರಚನೆ

1

O ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು. ದತ್ತ ತ್ರಿಜ್ಯ (2 ಸೆಂ.ಮಿ.) ದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ.       

2

ವೃತ್ತ ಪರಿದಿಯು ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಿಂದು P ಯನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ.

3

OP ಜೋಡಿಸಿ.  (OP ಯು  ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ)

4

OP=PQ  ಆಗುವಂತೆ OP ಯನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿ. (Pಯು OQ ದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು)

5

Pಯಲ್ಲಿ OQ ಗೆ ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

(O ಮತ್ತು Q ಗಳನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟು OQ ದ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ OQ ದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಇವುಗಳು S ಮತ್ತು R ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ, SR ಜೋಡಿಸಿ)

 

SPR ರೇಖೆಯು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕ.

ಗಮನಿಸಿ: SPಯು OQ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ,  OPS = 900

 

2. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನ ರಚಿಸುವುದು:-

 

6.11.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3: 2 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯವುಳ್ಳ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ 5 ಸೆಂ.ಮಿ. ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನ ರಚಿಸಿರಿ.

ಸಂ.

ರಚನೆ

1

O ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು. ದತ್ತ ತ್ರಿಜ್ಯ (2 ಸೆಂ.ಮಿ.) ದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ.

2

Oದಿಂದ5 ಸೆಂ.ಮಿ. ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಂದು P ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, OP ಜೋಡಿಸಿ

3

OP ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

 (O ಮತ್ತು P ಗಳನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟು OP ದ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ OP ದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಇವುಗಳು S ಮತ್ತು R ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ, SR ಜೋಡಿಸಿ)

4

RS ರೇಖೆಯು OPಯನ್ನ ಒನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ (M ಎಂಬುದು OP ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ)

5

M ನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, OM ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ವೃತ್ತವನ್ನ X ಮತ್ತು Y ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಎರಡು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.. PX ಮತ್ತು PY ಗಳನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ.       

 

PX ಮತ್ತು PYಗಳುP ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ.

 

ಗಮನಿಸಿ: ವೃತ್ತದೊಳಗಿನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನ ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನೆಳೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನೆಳೆಯಬಹುದು

ಚಿತ್ರ 1 ನ್ನ ಗಮನಿಸಿ C1 ಎಂಬುದು O ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತ. C2 ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವ P ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತ. AB ಸರಳರೇಖೆಯು C1 ವೃತ್ತವನ್ನ G ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯೂ C2 ವೃತ್ತವನ್ನ H ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಏನನ್ನ ಗಮನಿಸಬಹುದು? ABಯು C1 ಮತ್ತು C2 ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ.ಅದೇರೀತಿ XY ಕೂಡಾ C1 ಮತ್ತು C2 ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ.

 

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವೇನೆಂದರೆ ಎರಡೂ ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿವೆ.   

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:  ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ (common tangent)ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

 

ಚಿತ್ರ 2  ನ್ನ ಗಮನಿಸಿ.O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತ C1. P ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತ C2

ಎರಡೂ ವೃತ್ತಗಳು Y ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ.

 

XYZ ಎಂಬುದು ಎರಡೂ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ Y ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ.

ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲೂ, ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳಿರುವುದನ್ನ ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

 

ಮೇಲಿನ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನ ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ?

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನ ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ (Direct common tangent) ಎನ್ನುವರು.

ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉಭಯ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಸ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ(Transverse common tangent) ಎನ್ನುವರು.

 

3. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಸಮನಾದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನ ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ನೇರ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನ ರಚಿಸುವುದು:-

6.11.1 ಸಮಸ್ಯೆ:  2 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯವುಳ್ಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಮನಾದ ಎರಡು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ 5ಸೆಂ.ಮಿ. ಇರುವಾಗ ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನ ರಚಿಸಿರಿ:-

ಸಂ.

ರಚನೆ

1

OP=5 ಸೆಂ.ಮಿ. ಉದ್ದದ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

2

O ಮತ್ತು P ಗಳನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 2ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ C1 ಮತ್ತು C2 ವೃತ್ತಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

3

OP ಯನ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ವೃದ್ಧಿಸಿ. ಅದು C1 ವೃತ್ತವನ್ನ X ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯೂ, C2 ವೃತ್ತವನ್ನ Y ಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಂಧಿಸಲಿ.

4

XR ನ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅದು C1 ವೃತ್ತವನ್ನ A ಮತ್ತು C ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.

ಅದೇ ರೀತಿ  SY ರೇಖೆಯ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅದು C2 ವೃತ್ತವನ್ನ B ಮತ್ತು D ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.

 

5

AB ಮತ್ತು CD ರೇಖೆಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

 

AB ಮತ್ತು CDಗಳು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ.

 

4. ಬೇರೆ ಬೇರೆ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಿರುವ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನೆಳೆಯುವುದು:-

 

6.11.1 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ 6.5 ಸೆಂ.ಮಿ. ಇರುವಂತೆ 3ಸೆಂ.ಮಿ. ಮತ್ತು 2ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರಚಿಸಿರಿ.

 

ಸಂ.

ರಚನೆ

 

 

1

A ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 3 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ C1 ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

2

AB = 6.5 ಸೆಂ.ಮಿ. ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

3

B ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 2 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ C2 ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ

4

A ವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 1 ಸೆಂ.ಮಿ. (C1 ಮತ್ತು C2 ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಷ್ಟು =(3-2)=1 ಸೆಂ.ಮಿ) ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ C3 ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

5

AB ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನೆಳೆದು, ABಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು M ನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ

(A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ABಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, ABಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, C ಮತ್ತು Dಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. CD ಜೋಡಿಸಿ. ABಯನ್ನ M ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ).

6

M ನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, AM ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, C3 ವೃತ್ತವನ್ನ Xನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. BX ಜೋಡಿಸಿ. BX ರೇಖೆಯು C3 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ X ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ.

7

AX ನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ, ವೃದ್ಧಿಸಿ. ಅದು C1 ವೃತ್ತವನ್ನ Pಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ        

8

B ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, AXP ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.(ಮೂಲೆ ಮಟ್ಟ ಉಪಯೋಗಿಸಿ) ಈ ರೇಖೆಯು C2 ವೃತ್ತವನ್ನ R ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.

 

PR ಜೋಡಿಸಿ. PR ರೇಖೆಯು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

5. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಸ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರಚಿಸುವುದು:-

 

6.11.1 ಸಮಸ್ಯೆ 6: ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ 5.5ಸೆಂ.ಮಿ. ಇರುವಂತೆ, 2 ಸೆಂ.ಮಿ. ಮತ್ತು 1ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಸ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರಚಿಸಿರಿ

ಸಂ.

ರಚನೆ

 

 

1

A ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 2 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ C1 ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

2

AB = 5.5 ಸೆಂ.ಮಿ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ

3

Bಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 1ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ C2 ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ

4

Aಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 3ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ (C1 ಮತ್ತು C2 ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದಷ್ಟು = (2+1) =3ಸೆಂ.ಮಿ.) C3 ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

5

ABಯ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನೆಳೆದು, ABಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು M ನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ.

(A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ABಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, ABಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, C ಮತ್ತು Dಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. CD ಜೋಡಿಸಿ. ABಯನ್ನ M ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ).

6

M ನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, AM ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, C3 ವೃತ್ತವನ್ನ X ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. BX ಜೋಡಿಸಿ. BX ರೇಖೆಯು C3 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ X ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ.

7

AX ನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ, ವೃದ್ಧಿಸಿ. ಅದು C1 ವೃತ್ತವನ್ನ P ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ 

8

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, APX ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.(ಮೂಲೆ ಮಟ್ಟ ಉಪಯೋಗಿಸಿ) ಈ ರೇಖೆಯು C2 ವೃತ್ತವನ್ನ R ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.

PR ಜೋಡಿಸಿ. PR ರೇಖೆಯು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ವ್ಯತ್ಯಸ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ:

ಮೇಲಿನ ಎರಡು ರೀತಿಯ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನ ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ? ನೇರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಳೆಯಲು, ನಾವು ದತ್ತ ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಷ್ಟು ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ 3ನೇ ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆದಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯತ್ಯಸ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನ ರಚಿಸುವಾಗ, ದತ್ತ ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದಷ್ಟು ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ 3ನೇ ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಉಳಿದಂತೆ ರಚನಾಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬೇರೇನೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಲ್ಲ.

 

 

6.11 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನೆಳೆಯ ಬಹುದು.

2

ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದು.