7.2 ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಮತ್ತು ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ (Distance between 2 points and Section Formula):

7.2.1 ದತ್ತ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು:

10 cms ಉದ್ದವಿರುವ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿ 3:4 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?. ಹೀಗೆ ಮಾಡಲು ಈ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮನಾಗಿ 7 ಭಾಗ ಮಾಡಿ ಅದರಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಆದಿಭಾಗದಿಂದ ಮೊದಲ ಮೂರು ಭಾಗ ಮತ್ತು ನಂತರದ 4 ಭಾಗ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು *3 ರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. *3 ರ ಬೆಲೆ 4.28571…… . ಸಹಜವಾಗಿ ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಆಧಾರದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ.

ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು m:n ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮ:

ಸಂ	ಹಂತಗಳು	ಚಿತ್ರ
1	AB ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡವಾಗಿರಲಿ(11CM ಉದ್ದ ಇದೆ ಎನ್ನೋಣ). ಇದನ್ನು m:n ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ(ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3:2) ವಿಭಾಗಿಸಬೇಕು
2	AB ಯೊಂದಿಗೆ ಲಘುಕೋನ ಆಗುವಂತೆ AX ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ(ಉದಾ 30 ಅಥವಾ 45^o)
3	AX ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆ ಎಳೆಯುವ ಕ್ರಮ: (i) ಕೈವಾರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸೂಕ್ತ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅಳತೆಯಿಂದ ಕಂಸ PQ ವನ್ನು A ಯಿಂದ AX ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಿರಿ. (ii) ಅದೇ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಕಂಸ RS ನ್ನು B ಯಿಂದ BA ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಿರಿ. (iii) PQ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಕಂಸ RS ನ್ನು T ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಿರಿ (iV) B ಮತ್ತು T ಯನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ Y ತನಕ ವಿಸ್ತರಿಸಿ. BY ಯು AX ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
4	AA1=A1A2=A2A3=A3A4=…Am-1Am ಆಗಿರುವಂತೆ ಸಹಾಯದಿಂದ AX ರೇಖೆಯನ್ನು ‘m’ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮನಾದ ಭಾಗಗಳಾಗುವಂತೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು AX ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ(ಉದಾ: m=3).
5	ಅದೇ ಅಳತೆಯಿಂದ(=AA1) BB1=B1B2=B2B3=B3B4=…Bn-1Bn(=AA1) ಆಗಿರುವಂತೆ BY ರೇಖೆಯನ್ನು ‘n’ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮನಾದ ಭಾಗಗಳಾಗುವಂತೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು BY ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ(ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ n= 2).
6	Am ಮತ್ತು Bn ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ(ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ A3 ಮತ್ತು B2). ಈ ರೇಖೆಯು AB ಯನ್ನು C ಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಲಿ. ಅಗ AC:CB=m:n(ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 3:2).
7	ಸಾಧನೆ: AAmC ಮತ್ತು BBnC ಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮ. AAmCBBnC (ಕೋ.ಕೋ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ) =( ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿ) ಆದರೆ = ( ರಚನೆಯಂತೆ)( ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ) =
	ಗಮನಿಸಿ : ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ AB=11Cm; m=3 ಮತ್ತು n=2 ಮತ್ತು Am= A3 ಮತ್ತು Bn= B2

ದತ್ತ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದ್ದು ಅನುರೂಪಬಾಹುಗಳ ರಷ್ಟು ಇರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ರಚನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನ:

ಸಂ	ಹಂತಗಳು	ಚಿತ್ರ
1	ABC ದತ್ತ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ. ಇದರ ಬಾಹುಗಳ ರಷ್ಟು ಇರುವ ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಕೋನ ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
2	BC ಯ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ ಲಘುಕೋನ ಏರ್ಪಡುವಂತೆ (30ಅಥವಾ 45^o ) BX ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.
3	BB1=B1B2=B2B3=B3B4=…Bx-1Bx ಆಗುವಂತೆ BX ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ x= (‘m’ ಮತ್ತು ‘n’ ಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ).
	ಸಂದರ್ಭ 1: <1 ;m<n: ಆಗ x=n (ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ರಷ್ಟು ಇರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ರಚನೆ) Bx (=Bn) ನ್ನು C ಜೊತೆಗೆ ಸೇರಿಸಿ. Bm ನಿಂದ BxC ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದು BC ಯನ್ನು Q ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಲಿ. Q ನಿಂದ AC ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದು BA ಯನ್ನು P ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಲಿ BPQ ಎನ್ನುವುದು BAC ಯ ಬಾಹುಗಳ ರಷ್ಟು ಇರುವ ತ್ರಿಕೋನ. BPQ ವು BAC ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದು ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ
	ಸಂದರ್ಭ 2: >1 m>n: then x=m (ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ರಷ್ಟು ಇರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ರಚನೆ) Bn ನ್ನು C ಜೊತೆಗೆ ಸೇರಿಸಿ Bx(=Bm) ನಿಂದ BnC ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದು ವೃದ್ಢಿಸಿದ BC ಯನ್ನು Q ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಲಿ Q ನಿಂದ AC ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದು ವೃದ್ಢಿಸಿದ BA ಯನ್ನು P ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಲಿ BPQ ಎನ್ನುವುದು BAC ಯ ಬಾಹುಗಳ ರಷ್ಟು ಇರುವ ತ್ರಿಕೋನ

ರಚಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನವು <1 ಆದಾಗ ದತ್ತ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದು ಆಗಿದ್ದು >1 ಆದಾಗ ದತ್ತ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

7.2.2 ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ: ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷಾಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಆಗಾಗ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು( ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಕಂಡದ ಉದ್ದ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ P (x1,y1) ಮತ್ತು Q (x2,y2) ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಾವು PQ ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. P ಮತ್ತು Q ಗಳಿಂದ X ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ PA ಮತ್ತು QB ಎನ್ನುವ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. OA = x1 ಮತ್ತು OB = x2 ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ P ಮತ್ತು Q ಗಳಿಂದ Y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ PC ಮತ್ತು QD ಎನ್ನುವ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ. OC = y1 ಮತ್ತು OD = y2 ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. CP ಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ಅದು BQ ಯನ್ನು R ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ. PR = OB-OA = x2-x1 QR = OD-OC = y2-y1

PRQ ಎನ್ನುವುದು ಲಂಬಕೋನತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ PQ^2 = PR^2+RQ^2= (x2-x1)^2+ (y2-y1)^2 PQ = {(x2-x1)^2+ (y2-y1)^2} ಇದನ್ನೇ ದೂರದ ಸೂತ್ರ('Distance formula') ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉಪಪ್ರಮೇಯ : ಒಂದು ಬಿಂದು ಮೂಲಬಿಂದು(0,0) ಆದರೆ ಸೂತ್ರ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ಆಗ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಿಂದ O(0,0) P (x,y) ಗೆ ಇರುವ ದೂರ OP = (x²+ y²)

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: P(0,2) ಬಿಂದುವು Q(3,k) ಮತ್ತು R(k,5) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮಾನದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ k ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

PQ = {(3-0)^2+ (k-2)^2} = (9 +k^2-4k+4) PR = {(k-0)^2+ (5-2)^2} = ( k^2+9) PQ=PR ಆಗಿರುವುದರಿಂದ 9 +k^2-4k+4 = k^2+9 ಇದನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ k = 1 P(0,2) ಬಿಂದುವು Q(3,1) ಮತ್ತು R(1,5) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮಾನದೂರದಲ್ಲಿದೆ.

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: A(10,-18), B(3,6) ಮತ್ತು C(-5,2) ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಶೇಷತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ:

AB = {(3-10)^2+ (6-(-18))^2} = (49+ 576) = (625) =25 AC = {(-5-10)^2+ (2-(-18))^2} = (225+ 400) = (625) =25 BC = {(-5-3)^2+ (2-6)^2} = (64+ 16) = (80) AB=AC ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ದತ್ತ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ದೂರದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ A(2,5), B(-1,2) ಮತ್ತು C(4,7) ಬಿಂದುಗಳು ಏಕ ರೇಖಾಗತ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಸುಳಿವು: BA+AC = BC ಎಂದು ತೋರಿಸಿ (ಆನಂತರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಅವು ಏಕ ರೇಖಾಗತ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ)

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳು A(4,6),B(0,4) ಮತ್ತು C(6,2) ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಪರಿಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: O(x,y) ಪರಿಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಆಗ OA=OB=OC. ಆದುದರಿಂದ OA^2 = OB^2 =OC^2 OA^2 = (x-4)^2+(y-6)^2=x^2-8x+16+y^2-12y+36 OB^2 = (x-0)^2+(y-4)^2=x^2+y^2-8y+16 OC^2 = (x-6)^2+(y-2)^2=x^2-12x+36+y^2-4y+4 OA^2 = OB^2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ 2x+y =9 ------(1) OA^2 = OC^2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ x-2y = -3 ------(2) ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ x=3 ಮತ್ತು y=3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದುದರಿಂದ O(3,3) ಯು ABC ಯ ಪರಿಕೇಂದ್ರ.

7.2.2 ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ:

ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ ಅನುಪಾತದಂತೆ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರದ ಕುರಿತು ಇಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಲಿದ್ದೇವೆ.

AB ಯು A (x1, y1) ಮತ್ತು B(x2, y2) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. AB ಯನ್ನು ನೀಡಿದ m1:m2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ P(x, y) ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ A, P ಮತ್ತು B ಗಳಿಂದ x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳು x- ಅಕ್ಷವನ್ನು C,Q ಮತ್ತು D ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಧಿಸಲಿ. A ಮತ್ತು P ಗಳಿಂದ x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು PQ ಯನ್ನು E ಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು BD ಯನ್ನು R ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ. P ಬಿಂದುವು AB ಯನ್ನು m1:m2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ ಆಗ AP/PB = ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ AEP ಮತ್ತು PRB ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳು (ಕೋ.ಕೋ.ಕೋ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ).

AE/PR = PE/BR=AP/PB = --------à(1) AE = OQ-OC = x-x1 ; PR = OD-OQ = x2-x; PE = QP-QE(=CA) = y-y1 ; BR = DB-DR = y2-y ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ AE/PR = (x-x1)/(x2-x) = PE/PR = (y-y1)/ (y2-y) = --------à(2) (x-x1)/(x2-x) = m1/m2 ; m2(x-x1) = m1(x2-x) (ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ); m2x - m2x1 = m1x2- m1x (ಬಿಡಿಸಿದಾಗ) x(m2+m1) = m1x2+ m2x1(ಪಕ್ಷಾಂತರದಿಂದ); x = (m1x2+ m2x1)/(m2+m1)(ಭಾಗಿಸಿದಾಗ) ಅದೇ ರೀತಿ (2) ರಿಂದ y = (m1y2+ m2y1)/(m2+m1) A(x1, y1) ಮತ್ತು B(x2, y2) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು P ಯು m1:m2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವುದಾದರೆ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು : {(m1x2+ m2x1)/(m1+m2), (m1y2+ m2y1)/(m1+m2) } ಇದೇ ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ ‘section formula’.

1. AB ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ(:= 1:1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು?

ಅದು {(x₂+x₁)/2), (y₂+ y₁)/2}: (ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಸೂತ್ರ)

ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ದೊರಕುವ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು

2. ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು k:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು?

ಅವು : {(kx₂+x₁)/(k+1), (ky₂+ y₁)/(k+1)}

ಗಮನಿಸಿ: ಅನುಪಾತ :ನ್ನು:1 ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ k:1 ಆಗ k=.

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: A (15,5) ಮತ್ತು B(9,20) ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ P(11,15) ಬಿಂದುವು ಆ ರೇಖೆಯನ್ನು ಯಾವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

P(x,y) ಯು AB ಯನ್ನು k:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಲಿ. x1=15, y1=5, x2=9, y2=20,x=11, y=15 ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು k:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು {(kx2+x1)/(k+1), (ky2+ y1)/(k+1)} x = (kx2+x1)/(k+1) ಮತ್ತು y = (ky2+ y1)/(k+1) x = 9k+15/(k+1) 11 = 9k+15/(k+1)( x=11 ದತ್ತ) 11k+11 = 9k+15 2k=4 or k=2 ಆದುದರಿಂದ P ಯು ರೇಖೆಯನ್ನು 2:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದೆ.

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 6: A(6,-2) ಮತ್ತು B(-8,10) ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮೂರು ಭಾಗ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

AP=PQ=QB (1:1:1) ಎಂದಿರುವಂತೆ P ಮತ್ತು Q ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಬೇಕು: 1. AP:PB = 1:2 ಎಂದಿರುವಂತೆ P(x1,y1) ಕಂಡುಹಿಡಿ. 2. AQ:QB = 2:1 ಎಂದಿರುವಂತೆ Q(x2,y2) ಕಂಡುಹಿಡಿ. ಅವು P (4/3,2) ಮತ್ತು Q (-10/3,6).

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 7: ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯಲ್ಲಿ D(-2,5) ಯು AB ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು. E(2,4) ಯು BC ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಮತ್ತು F(-1,2) ಯು AC ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು. A, B ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ: A =(x1,y1), B=(x2,y2) ಮತ್ತು C=(x3,y3) ಆಗಿರಲಿ. D(-2,5) ಯು AB ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (x1+x2)/2 = -2 ಮತ್ತು (y1+y2)/2 = 5 ---(1) E(2,4) ಯು BC ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (x2+x3)/2 = 2 ಮತ್ತು (y2+y3)/2 = 4 ----(2) F(-1,2) ಯು AC ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (x1+x3)/2 = -1 ಮತ್ತು (y1+y3)/2 = 2 ---(3)
ಈ ಮೂರೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ x1= -5, x2=1, x3= 3 ಮತ್ತು y1= 3, y2=7, y3= 1 ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳು: A(-5,3), B(1,7) ಮತ್ತು C(3,1).

7.2.4 ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A (x1, y1), B(x2, y2) ಮತ್ತು C(x3, y3) ಗಳು ತ್ರಿಬುಜದ ಬಾಹುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. BL, AM ಮತ್ತು CN ಗಳು B, A ಮತ್ತು C ಶೃಂಗಗಳಿಂದ x ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳಾಗಿರಲಿ. OL = x2, OM = x1, ON = x3 ಮತ್ತು BL = y2, AM = y1, CN = y3 ABC ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ BLMA ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ AMNC ವಿಸ್ತೀರ್ಣ - ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ BLNC ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (BL+AM)LM + (AM+NC)MN - (BL+NC)LN = (y2+ y1) (x1- x2) + (y1+ y3) (x3- x1) - (y2+ y3) (x3- x2) = [x1(y2- y3) + x2(y3- y1) +x3(y1- y2)] --------- (ಪದಗಳ ಮರುಹೊಂದಾಣಿಕೆ) A B ಮತ್ತು C ಗಳು ಏಕರೇಖಾಗತವಾಗಿದ್ದರೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 8: D(3,-1), E(2,6) ಮತ್ತು F(-5,7) ಗಳು ABC ಯ ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾದರೆ ABC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು?

DEF ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = [3(6-7)+2(7-(-1))+(-5)(-1-6)] = [-3+16+35]= (48) = 24 ಚದರ ಮಾನಗಳು ABC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ DEF ನ ನಾಲ್ಕರಷ್ಟು ಅಗಿದೆ.( ಮೂಲ ಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ- ಪಾಠ 6.13ನೋಡಿ) ABC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 4*24 = 96 ಚದರ ಮಾನಗಳು

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 9: ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ಅನುಕ್ರಮ ಬಾಹುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (-4,-2), (-3,-5),(3,-2), ಮತ್ತು (2,3) ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು?

ABCD ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರ ರಚಿಸಿ. A ಮತ್ತು C ಸೇರಿಸಿ. ಆಗ ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = [x1(y2- y3) + x2(y3- y1) +x3(y1- y2)] ABC ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = [ -4*(-5-(-2))+ -3*(-2-(-2))+ 3*(-2-(-5))] = [12+0+9]= *21
ACD ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = [ -4*(3-(-2))+ 2*(-2-(-2))+ 3*(-2-3)] = [-20+0-15]= *(-35)=*(+35) (ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಋಣವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ) ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2 ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (21+35) = 28 ಚದರ ಮಾನಗಳು