1

8.1ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು(Trigonometric Ratios)

ಒಂದು ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು 100m ಉದ್ದದ ದಾರಕ್ಕೆ ಸಿಕ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದು ನೆಲಕ್ಕೆ 60⁰ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿ ಹಾರುತ್ತಿರುವಾಗ ಅದು ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತಿರುತ್ತದೆ?

ಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಈ ಶಾಖೆಯು ಬಹು ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡಗಳ ಎತ್ತರವನ್ನು, ನದಿಯ ಅಗಲವನ್ನು, ಬೆಟ್ಟ-ಪರ್ವತ-ಗೋಪುರಗಳ ಎತ್ತರವನ್ನು ಅಳತೆ ಮಾಡದೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹಾಯಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪಾಠ 8.3 ರಲ್ಲಿ ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಸಲಿಕ್ಕಿದ್ದೇವೆ. ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿವಿಧ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

Trigonometry ಎನ್ನುವುದು ಗ್ರೀಕ್ ಪದಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟಿದೆ. ಹೆಸರೇ ಸೂಚುವಂತೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು, ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವುದರ ಕುರಿತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯರಿಗೆ ಸೈನ್ ಎನ್ನುವ ಕ್ರಿಯೆಯು ಗೊತ್ತಿದ್ದು, ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು ಭಾರತದಿಂದ ಅರಬರ ಮೂಲಕ ಗ್ರೀಕ್ ದೇಶವನ್ನು ತಲುಪಿತು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಆರ್ಯಭಟ(ಕ್ರಿ ಶ. 6 ಶತಮಾನ ) ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ( ಕ್ರಿ ಶ. 7 ಶತಮಾನ ) ಮತ್ತು ನೀಲಕಂಠ ಸೋಮಯಾಜಿ(ಕ್ರಿ.ಶ. 15 ಶತಮಾನ) ರವರ ಕೊಡುಗೆ ಅಪಾರವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕುರಿತ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳು:

ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು(ಕೋನದ ಎದುರಿನ ಬಾಹು: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ Y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಾಗೆ SA, TB, UC ಮತ್ತು XP)
ಪಾರ್ಶ್ವಬಾಹು (ಕೋನ ನಿಂತಿರುವ ಬಾಹು: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ Y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಾಗೆ YA, YB, YC ಮತ್ತು YP)
ವಿಕರ್ಣ( ಲಂಬಕೋನದ ಎದುರಿಗಿನ ಬಾಹು: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ YS, YT, YU ಮತ್ತು YX)

ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180⁰ ಆಗಿದ್ದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಕೋನ 90⁰ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಉಳಿದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿರಲೇ(<90⁰) ಬೇಕು. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ ಆಲ್ಫಾ (), ಬೀಟಾ (), ಗ್ಯಾಮಾ (), ತೀಠಾ (), ಫೈ () ಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ XPY ಲಂಬಕೋನತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು XPY = 90⁰ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ SAY ||| TBY ||| UCY |||XPY. SAY ಮತ್ತು TBY ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದು

YA/YB =YS/YT=AS/BT

YA/YS=YB/YT= ಪಾರ್ಶ್ವಬಾಹು / ವಿಕರ್ಣ

YA/AS=YB/BT= ಪಾರ್ಶ್ವಬಾಹು / ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು

AS/YS=BT/YT= ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು / ವಿಕರ್ಣ

ಬಾಹುಗಳು ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಮೇಲಿನ ಅನುಪಾತಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಹೆಸರನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವೇ ಸೈನ್. ಕಾಸ್, ಟ್ಯಾನ್ ..

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವು 3 ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ನಮಗೆ 6 ವಿವಿಧ ಅನುಪಾತಗಳು ಕೆಳಗೆ ನಮೂದಿಸಿದಂತೆ ಸಿಗುತ್ತವೆ:

ಸಂ.	ಹೆಸರು	Short form	ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತ	ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ	ಗಮನಿಸಿ
1	sine Y	sin Y	ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ	=PX/YX	(OH/ಅವಿ)
2	cosine Y	cos Y	ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ	=YP/YX	(AH/ಪಾವಿ)
3	tangent Y	tan Y	ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು	=PX/YP	=sin Y /cos Y (OA/ಅಪಾ)
4	cosecant Y	cosec Y	ವಿಕರ್ಣ/ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು	=YX/PX	=1/sin Y
5	secant Y	sec Y	ವಿಕರ್ಣ/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು	=YX/YP	=1/cos Y
6	cotangent Y	cot Y	ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು	=YP/PX	=1/tanY=cosY/sinY
ಟಿಪ್ಪಣಿ: 1. ಕೊನೆಯ ಮೂರು ಅನುಪಾತಗಳು (4, 5 ಮತ್ತು 6) ಮೊದಲ ಮೂರು ಅನುಪಾತಗಳ ವಿಲೋಮವಾಗಿವೆ. ಆದುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಕೋನ ಗೆ 1. sin Cosec =1 2. cos Sec =1 3. tan*Cot =1 2. ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಯೋ ಅದನ್ನು ಅಧರಿಸಿ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅದಲು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. (X ಗೆ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು XP ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು PY. Y ಗೆ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು YP ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು PX). 3. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಭ್ಯಾಸ: X ಆಧಾರವಾಗಿರಿಸಿ 6 ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಿ.

8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಿಂದ sin B, tan C, sec²B - tan²B ಮತ್ತು sin²C + cos²C ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ BA² = BD²+AD² AD² = BA²-BD²

=13²-5² = 169 -25 = 144 = 12² AD = 12

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ AC² = AD²+DC² =12²+16² = 144 +256 = 400 = 20²

AC = 20.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ:

1. sin B = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ = AD/AB= 12/13

2. tan C =ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು = AD/DC = 12/16 = 3/4

3. sec²B - tan²B = (AB/BD)² – (AD/BD)² = (AB² - AD²)/ BD² = (13² - 12²)/ 5²

=(169-144)/25 =1

4. sin²C + cos²C = (AD/AC)²+ (DC/AC)² = (AD² +DC²)/ AC² = (12² +16²)/ 20²

= (144+256)/400 =1

8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 5tan = 4 ಆದರೆ, (5 sin -3 cos)/(5 sin +2 cos) ನ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

tan = 4/5 (5 tan = 4)

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ tan = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು=BC/AB =4/5. ಪ್ರತಿ ಬಾಹುವೂ x ನ ಗುಣಕದಲ್ಲಿರಲಿ.

(ಉದಾಹರಣೆಗೆ , x = 3 ಸೆ.ಮೀ ಆದರೆ BC = 12(4*3) ಸೆ.ಮೀ ಮತ್ತು AB =15(5*3) ಸೆ.ಮೀ. ಆಗ BC/AB = 12/15 =4/5)

BC = 4x ಮತ್ತು AB= 5x ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

5 sin -3 cos = 5BC/AC – 3AB/AC = (5BC-3AB)/AC

5 sin +2 cos = 5BC/AC + 2AB/AC = (5BC+2AB)/AC

(5 sin -3 cos)/(5 sin +2 cos) = {(5BC-3AB)/AC}/{(5BC+2AB)/AC} = (5BC-3AB)/(5BC+2AB)

= (5*4x- 3*5x)/(5*4x+2*5x) ( BC ಮತ್ತು AB ಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡಿದೆ)

= (20x-15x)/(20x+10x) = 5x/30x = 1/6

8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3: sin = p/q, ಆದರೆ sin+ cos= ?

ಪರಿಹಾರ:

sin = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ= BC/AC= p/q

ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ , BC =px ಮತ್ತು AC=qx ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ AC² = AB²+BC²

AB² = AC²-BC²=(qx)²-(px)²= x²(q²-p²)

AB = x

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ:

cos = AB/AC = (x )/qx = ()/q

sin+ cos = p/q +()/q

= (p+)/q

8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಅಳತೆಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ

1. sin ಮತ್ತು tan ಗಳ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

2. AD ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ರಚನೆ: BC ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ D ಯಿಂದ ಎಳೆದ ರೇಖೆಯು BA ಯನ್ನು E ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ BD² = BC²+CD² CD² = BD²-BC² =13²-12² = 169 -144 = 25 = 5² CD = 5

BA || CD ಮತ್ತು BC||DE ಆಗಿರುವುದರಿಂದ BE=CD(=5) EA = BA-BE = 14-5 =9

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ AD² = AE²+ED² = 9²+12² = 81+144= 225 = 15²

AD = 15

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ:

1. sin = 5/13

2. tan= 12/9 = 4/3

3. cos = 9/AD AD = 9/cos = 9 sec

8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 5: 4 sin = 3 cos ಆದರೆ, sin, cos, cot²- cosec² = ?

ಪರಿಹಾರ:

sin /cos =3/4 (4 sin = 3 cos )

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ:

tan= ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು= BC/AB =3/4

ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ BC = 3x ಮತ್ತು AB = 4x ಎನ್ನಬಹುದು

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ AC² = BC²+AB²= (3x)²+(4x)² = 9x²+16x² = 25x² =(5x)²

AC = 5x

sin = BC/AC = 3x/5x = 3/5

cos= AB/AC= 4x/5x = 4/5

cot²- cosec²= (AB/BC)²-(AC/BC)²= (4x/3x)²-(5x/3x)²= (4/3)²-(5/3)²

= 16/9 -25/9 = (16-9)/9 = -9/9 = -1

8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ BC ಗೆ AD ಯು ಲಂಬವಾಗಿದೆ. tan B = 3/4, tan C = 5/12 ಮತ್ತು BC= 56 cm ಆದರೆ, AD =?

ಪರಿಹಾರ:

tan B = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು=AD/BD ಮತ್ತು tan B = 3/4 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

AD/BD = 3/4 i.e. 4AD = 3BD i.e. 12AD = 9BD ----à(1)

tan C = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು = AD/DC ಮತ್ತು tan C = 5/12 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

AD/ DC = 5/12 i.e. 12AD = 5DC ----à(2)

(1) ಮತ್ತು (2) ನ್ನು ಸಮನಾಗಿಸಿದಾಗ 9BD = 5DC ----à(3)

DC = 56-BD (BC= BD+DC = 56 –>ದತ್ತ)

9BD = 5(56-BD) = 280-5BD { (3) ರಿಂದ) }

9BD+5BD = 280 (ಪಕ್ಷಾಂತರ)

BD = 280/14 = 20

DC = 56-BD = 56-20 = 36

AD = (3/4)BD = (3/4)*20 = 15cm

8.1 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ	ಕಲಿತ ಅಂಶಗಳು
1	sine= ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ(OH)
2	cosine= ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ(AH)
3	tangent= ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು(OA)
4	cosecantವು sin ದ ವಿಲೋಮ
5	secant ವು cos ದ ವಿಲೋಮ
6	cotangent ವು tan ದ ವಿಲೋಮ