8.2 ವಿಶೇಷ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು(Trigonometric Ratios of Special angles)

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಕೋನ 90⁰ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಉಳಿದ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 90⁰ ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

ವಿಶೇಷ ಲಘುಕೋನಗಳ ಜೋಡಿ (60⁰ 30⁰ ) ಮತ್ತು (45⁰ ,45⁰ ) ಆಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ.

1. ವಿಶೇಷ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿ (45⁰ ,45⁰):

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A = 45^0 ಆಗಿದೆ. ಅದುದರಿಂದ C = 45^0. ( ಅವೆರಡರ ಮೊತ್ತ 90^0 ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು) ಆದುದರಿಂದ ABC ಯು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು AB=BC ಆಗಿದೆ. AB =a ಆಗಿರಲಿ AC^2 = AD^2+DC^2 = 2a^2 (ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ) AC = a ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ sin A = sin 45 = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ =BC/AC =a/a = 1/ cos A = cos 45 =ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ = AB/AC =a/a = 1/ tan A = tan 45 =ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು =BC/AB = a/a =1

2. ವಿಶೇಷ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿ (60⁰ ,30⁰):

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಬಾಹುಗಳ ಅಳತೆ 2a ಇರುವ ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. C ಯಿಂದ AB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವಂತೆ CD ಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ABC ಯು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ A = B=C=60^0 ಹಾಗೂ ACD = 30^0 ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. (ADC ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 180^0) ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ AC^2 = AD^2+DC^2 DC^2 = AC^2-AD^2 = (2a)^2-a^2 = 3a^2 CD = a ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ: sin A = sin 60 = O/H = CD/AC =a/2a = /2 cos A = cos 60 = A/H= AD/AC =a/2a = 1/2 tan A = tan 60 = O/A =CD/AD = a/a = sin ACD = sin 30= O/H= AD/AC =a/2a = 1/2 cos ACD = cos 30= A/H= CD/AC =a/2a = /2 tan ACD = tan 30= O/A = AD/CD = a/a =1/

3. ವಿಶೇಷ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿ (0⁰ ,90⁰):

ಕೋನ A 90^0 ಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ (ವಿಕರ್ಣ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಾದಂತೆ ) ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿನ ಮತ್ತು ವಿಕರ್ಣದ ಉದ್ದ ಒಂದೇ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತೆ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ 0 ಆಗುತ್ತದೆ. sin90 = O/H= 1, cos90= A/H =0 ,ಮತ್ತು tan 90= O/A = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/0 (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ) ಕೋನ A 0^0 ಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ (ವಿಕರ್ಣ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು ವಾದಂತೆ ) ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹುವಿನ ಮತ್ತು ವಿಕರ್ಣದ ಉದ್ದ ಒಂದೇ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ 0 ಆಗುತ್ತದೆ. sin 0 = O/H= 0 , cos0= A/H =1 ಮತ್ತು tan 0 = O/A = 0

ವಿಶೇಷ ಕೋನಗಳ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಿ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೋನ=>	0^0	30^0	45^0	60^0	90^0
ಅನುಪಾತ	ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಬೆಲೆ
sin(Angle) =	0	1/2	1/	/2	1
cos(Angle) =	1	/2	1/	1/2	0
tan(Angle) =	0	1/	1		ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ
cosec(Angle) =	ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ	2		2/	1
sec(Angle) =	1	2/		2	ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ
cot(Angle) =	ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ		1	1/	0

= 0, 30^0,45^0,60^0ಮತ್ತು 90^0 ಆದಾಗ ಅವುಗಳ sin, cos ಮತ್ತು tan ಬೆಲೆಗನುಸಾರವಾಗಿ ರಚಿಸಿದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕಾಸ್ ಗಳ ನಕ್ಷೆಯಿದ್ದು ಅವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನೀಲಿ ಮತ್ತು ಹಸರು ಬಣ್ಣದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ನಕ್ಷೆಯು ಟ್ಯಾನ್ ನದ್ದು ಆಗಿದೆ. ಗಮನಿಸಿ: ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅದರ ಸೈನ್ ಬೆಲೆಯು 0 ಯಿಂದ 1 ರ ವರೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅದರ ಕಾಸ್ ನ ಬೆಲೆಯು 1 ರಿಂದ 0 ಯ ವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅದರ ಟ್ಯಾನ್ ನ ಬೆಲೆಯು 0 ಯಿಂದ ಅನಂತದ ವರೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ.	Graph of sin() and cos()	Graph for tan()

8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಯಾವುದೇ ಕೋನಕ್ಕೂ ಕೆಳಗಿನವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ

1. sin²A+ cos²A =1

2. sec²A-tan²A =1

3. cosec²A-cot²A =1

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ:

1	sin^2A+ cos^2A = (ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ)^2+ (ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ)^2 = (ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2+ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2)/ ವಿಕರ್ಣ^2 = (ವಿಕರ್ಣ^2)/ ವಿಕರ್ಣ^2(ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ (ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2+ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2) = ವಿಕರ್ಣ^2) =1
2	sec^2A-tan^2A = (ವಿಕರ್ಣ / ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು)^2-( ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು / ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು)^2 = (ವಿಕರ್ಣ^2- ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2)/ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2 = ((ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2+ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2)- ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2) / ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2( ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ) = ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2 / ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2 =1
3	cosec^2A-cot^2A = (ವಿಕರ್ಣ / ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು)^2-( ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು / ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು)^2 = (ವಿಕರ್ಣ^2- ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2)/ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2 = (ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2+ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2)- ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು^2) / ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2(ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ) = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2/ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು^2 =1

ಅಭ್ಯಾಸ : A 30⁰, 45⁰, 60⁰ ಆದಾಗ sin, cos, sec, tan, cosec, cot ಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡಿ ಸಮಸ್ಯೆ 8.2.1 ಯಲ್ಲಿನ ಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಗಳು ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಸಾಧಿಸಿ:

1. sin(A+B) =1= sinAcosB+cosAsinB

2. cos(A+B) =0= cosAcosB-sinAsinB

ಪರಿಹಾರ:

sinAcosB+CosAsinB = (BC/AB)*(BC/AB) + (AC/AB)*(AC/AB) BC^2/ AB^2+AC^2 /AB^2 = (BC^2+AC^2)/AB^2=1( ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ) A ಮತ್ತು B ಗಳು ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ A+B = 90^0 sin(A+B) = sin90 = 1 ಇದು ಮೊದಲನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿ ಎರಡನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ : (A,B) = (60⁰ ,30⁰ ), (30⁰ ,60⁰ ), (0⁰ ,90⁰ ) , , , ಆದಾಗ ಸಮಸ್ಯೆ 8.2.2 ನಲ್ಲಿನ ಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: A = 30⁰ ಆದರೆ ಸಾಧಿಸಿ:

cos 2A = cos²A - sin²A = (1-tan²A)/(1+ tan²A)

ಪರಿಹಾರ:

A = 30⁰ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ 2A = 60⁰

cos 2A =cos 60 = 1/2 -----à(1)

cos² A = (cosA)²= (cos30)²= (/2)² =3/4

sin² A= (sin30)²= (1/2)² =1/4

cos²A - sin²A = 3/4 -1/4 = 1/2 -----à(2)

tan²A = (tan 30)²= (1/)² =1/3

(1-tan²A)/(1+ tan²A) = (1-1/3)/(1+1/3)

= (2/3)/(4/3) = 2/4 = 1/2 ------à(3)

(1), (2) ಮತ್ತು (3) ನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ cos 2A = cos²A - sin²A = (1-tan²A)/(1+ tan²A)

8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ A ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2sinAcos A –cos A-2sinA+1=0

ಪರಿಹಾರ:

2sin Acos A –cos A-2sinA+1 =0

cos A(2sinA-1) –(2sinA-1)=0

(2sinA-1)(cos A-1)=0

(2sinA-1) =0 ಅಥವಾ (cos A-1)=0

I.e. sin A =1/2 ಅಥವಾ Cos A =1( sin 30⁰ =1/2, Cos 0⁰ =1)

A=30 ಅಥವಾ A=0

sin A =1/2

sin 30 =1/2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ A=30

2. (cos A-1)=0 ಆದಾಗ cos A =1

cos A =1 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ A=0

A=30 ಅಥವಾ A=0

ತಾಳೆ:

A =30 ಆದಾಗ

2sin Acos A –cos A-2sinA+1 = 2sin30cos30 –cos30 -2sin30+1

= 2*(1/2)* (/2) – (/2) -2*(1/2) +1

= 1*(/2) - (/2) -1+1

= (/2) - (/2) +0

=0

ಹೀಗೆಯೇ A=0 ಆದಾಗ ತಾಳೆನೋಡಿ.

8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಸಾಧಿಸಿ: sin² 60+ cos² (3x-9) =1

ಪರಿಹಾರ:

ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ cos² (3x-9) =1- sin² 60

sin 60= (/2) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

sin² 60 = 3/4 ಈ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

cos² (3x-9) =1-3/4 =1/4 = (1/2)²

cos(3x-9) =1/2

1/2 =cos 60 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

3x-9 =60

i.e. 3x =60+9=69

x =23

ಅಭ್ಯಾಸ: sin²A+ cos²A =1 ಎನ್ನುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸಾಧಿಸಿ)

ತಾಳೆ:

x=23 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

cos² (3x-9) = cos² (69-9) = cos² (60) = (cos60)² = (1/2)²= 1/4

sin² 60+cos² (3x-9)=(/2)²+1/4=3/4+1/4 = 4/4 =1= RHS

8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ತ್ರಿಜ್ಯ 2cm ಇರುವ ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಬಾಹ್ಯಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ 40⁰ ಕೋನ ಇರುವಂತೆ, ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿಗೂ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಬಿಂದುವಿಗೂ ಇರುವ ನಡುವಣ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ(sin 20 = 0.342 ಎನ್ನುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ)

ಸುಳಿವು: ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರ ರಚಿಸಿ. OA ಮತ್ತು OP ಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ OAP =90^0 ಆಗಿದ್ದು OP ಯು APB ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕ (ಪಾಠ 6.14 ರ ಪ್ರಮೇಯಗಳು) sin 20 = 0.342 ಎನ್ನುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ, PO ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

8.2 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಕ್ರ.ಸಂ.	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	30^0,45^0,60^0ಗಳ sin, cos, tan ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳ ಬೆಲೆಗಳು