2.4 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ (Multiplication of algebraic expressions):

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲೂ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಪರಿವರ್ತನ ಮತ್ತು ಸಹವರ್ತನ ನಿಯಮಗಳು)

1. ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯಾಸಹಗುಣಕವು ,ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗುತ್ತದೆ (6a*5 = (6*5)*a = 30a).

2. ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಚರಾಕ್ಷರದ ಭಾಗವು ,ಆ ಏಕ ಪದಗಳ ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ (6a*5b = (6*5)*a*b = 30a*b = 30ab).

2.4 ಸಮಸ್ಯೆ1: ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: (1/10)*(x⁵y²) *10x³y

ಪರಿಹಾರ:

(1/10)*(x⁵y²) * 10x³y

=(1/10)*10 *(x⁵y²) *x³y ( ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)

= 1*(x⁵ *x³) * y²y

= (x^{5+3 )} * y²⁺¹

= x⁸ y³

2.4 ಸಮಸ್ಯೆ 2: -3x²y, 4xy²z ಮತ್ತು (5/4) ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲು ಮೊದಲನೇ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ:

-3x²y* 4xy²z

= (-3*4) (x²*x) (y*y²)z ( ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)

= -12 x³ y³z (ಘಾತಾಂಕಗಳ ಮೊದಲನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ)

ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ:

(-3x²y* 4xy²z) * (5/4)z

= -12 x³ y³z* (5/4)z

= (-12)*(5/4) x³ y³z*z

= -15 x³ y³ z²

2.4.1 ಏಕಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು (Multiplication of monomial by a binomial)

24 = 2*12 = 2*(8+4) = 2*8+2*4 = 16+8: ಇದೇರೀತಿ.

a*(b +c) = a*b + a*c = ab+ac ( ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮ)

1. ಒಂದು ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಒಂದು ದ್ವಿಪದ - ಇವೆರಡನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬೇಕು..

2.4.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: (-11p²q-q²) ವನ್ನು (-2pq) ದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

-2pq *(-11p²q-q²)

= (-11p²q)* (-2pq) -(q²)* (-2pq) (ಪ್ರತೀಪದವನ್ನು -11p²q-q² ದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

= (-11)*(-2)p²*p*q*q -(1*-2)*p*q²* q

= 22p³q²+2pq³

2.4.2 ಎರಡು ದ್ವಿಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರ (Multiplication of two binomials)

ಈಗ ನಾವು 12 ನ್ನ 8 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾ 12*8 = 96

ಇದನ್ನು ನಾವು ಬೇರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವಾ 12 = 8+4 and 8= 6+2

12*8

= (8+4)*(6+2)

= 8*(6+2) + 4*(6+2)

= (8*6+8*2)+ (4*6 +4*2)

= 48+16+24+8 = 96

ಇದೇರೀತಿ

(a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)

= ac+ad+bc+bd

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ದ್ವಿಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಒಂದು ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತೀಯೊಂದು ಪದದಿಂದಲ್ಲೂ 2ನೇ ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬೇಕು.ಪ್ರತೀಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲೂ ನಾವು ಇದೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

2.4.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 2x²-3x +1 ನ್ನ (x-3) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(x-3)* (2x²-3x +1)

= x*(2x²-3x +1) -3*(2x²-3x +1) (ಮೊದಲನೆ ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು 2ನೇ ತ್ರಿಪದದ ಪ್ರತಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

= (2x²*x-3x*x +1*x)+( -3*2x²-3*-3x -3*1) (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)

= (2x³-3x²+x) + (- 6 x²+9x-3)

=2x³ -3x²- 6 x²+x +9x -3 (ಸಜಾತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)=2x³ -9x²+10x -3

2.4.3 ನಿತ್ಯ ಸಮಿಕರಣಗಳು (Identities and formulae):

ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿತ್ಯ ಸಮಿಕರಣಗಳೆನ್ನುವರು. ಈಗ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಾದ a,b,c ಅಥವಾ x ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ನಿತ್ಯಸಮಿಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾ:

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

(a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)

= ac+ad+bc+bd ------------------->(1)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a ಯನ್ನು x , c ಯನ್ನು x, b ಯನ್ನು a ಮತ್ತು d ಯನ್ನು b ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ (x+a)*(x+b)

= x*x+ xb+ax+ab

= x²+xa+xb+ab

= x²+x(a+b)+ab

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : 102*106 ಗುಣಲಬ್ಧವೇನು?

ಪರಿಹಾರ:

102 = 100+2

106 = 100+6

102*106

= (100+2)*(100+6) [ಸೂತ್ರ (x+a)*(x+b)]

= 100²+ 100*(2+6)+ 2*6

= 10000+800+12 = 10812

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 97 ಮತ್ತು 95 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವೇನು?

ಪರಿಹಾರ:

97 =100-3

95 =100-5

(x+a)*(x+b) = x²+x(a+b)+ab ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ

x=100, a=-3 and b=-5.

97*95

= (100-3)*(100-5)

= 100²+ 100*(-3+-5)+ (-3*-5)

= 10000-800+15 = 9215

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 3: 103 ನ್ನ 96 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

103 = 100+3

96 = 100-4

(x+a)*(x+b) = x²+x(a+b)+ab ಸಮೀಕರಣ

x=100, a=+3 ಮತ್ತು b=-4.

103*96

= (100+3)*(100-4)

= 100²+ 100*(3+-4)+ (3*-4)

= 10000-100-12 = 9888

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ c ಯನ್ನು a, ಮತ್ತು d ಯನ್ನುb ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ

( i.e. (a+b)*(c+d) = ac+ad+bc+bd )

ಈಗ,

(a+b)*(a+b) = aa+ab+ba+bb

= a²+ 2ab+b²

(a+b)²= a²+ 2ab+b²

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 4: (10.1)² ದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

10.1 = 10+0.1

(10.1)²⁼ 10+0.1 [ಈಗ (a+b)²= a²+ 2ab+b² ಸಮೀಕರಣ ಬಳಸಿ]

= 10²+ 2*10*0.1+ (0.1)²

= 100+2+0.01 = 102.01

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 5: (4x²+12xy+8y²) ವನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ ಏನನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ:

4x² ವು a² ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ (a = 2x).

ಆದರೆ 8y² ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಲ್ಲ. 9y² ವು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ. b = 3y

=2ab = 2*2x*3y = 12xy

4x²+12xy+ 9 y² ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ.

ಆದ್ದರಿಂದ ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ (y²) ವನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು.

[ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಇನ್ನೂ ಹಲವು ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮಗಳಿವೆ.]

ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ನೋಡುವಾ.

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ bಯನ್ನು-b, c ಯನ್ನುa ಮತ್ತು d ಯನ್ನು-b ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ,

(a-b)*(a-b)

= a*a+ a(*-b) + (–b)*a +b*(-b)

= a²-ab-ab+ b²

= a²-2ab+ b²

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 6 : (4.9)² ದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

4.9 = (5-0.1)

(4.9)² – ಇದು (a-b)² ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=5 and b=0.1

4.9² = (5-0.1)

= 5²+-2*5*0.1+ (0.1)²

= 25 -1 +.01

= 24.01

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 7 : (x-1/x)² - ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಇದು (a-b)² ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಹಾಗೂ a=x ಮತ್ತು b=1/x

(x-1/x)²= x²-2x(1/x)+ (1/x)²

= x²-2+ 1/x²

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ c ಯನ್ನು a , d ಯನ್ನು -b ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ.

ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಣಲಬ್ಧ ನೋಡುವಾ.

(a+b)*(a-b) = aa+a*(-b)+ba+b*(-b)

= a²-ab+ab-b² ( -ab+ab=0)

= a²-b²

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿ: 9.5*10.5

ಪರಿಹಾರ:

9.5 * 10.5 = (10-0.5 )*(10+0.5)

9.5* 10.5 ಎನ್ನುವುದು (a+b)(a-b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ a=10, b=0.5.

9.5*10.5

= 10²- (0.5)²

= 100-0.25 = 99.75

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 9: ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ: (x+2)(x-2)( x²+4)

ಪರಿಹಾರ:

(a+b)*(a-b) ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸುವ.

(x+2)(x-2) = ( x²-4)

(x+2)(x-2)( x²+4)= ( x²-4) * ( x²+4)

= ( x⁴-16) (x² ನ ವರ್ಗ x⁴)

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ b ಯನ್ನು b+c, c ಯನ್ನು a+b ಮತ್ತು d ಯನ್ನು c ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ.

ಈಗ ತ್ರಿಪದದೋಕ್ತಿಯ ವರ್ಗ ನೋಡುವಾ:

(a+(b+c))*((a+b)+c))

= a(a+b) + ac+ (b+c)(a+b)+ (b+c)c

= (a.a+ab)+ac+(ba+ b.b+ca+cb)+(bc+ c.c)

= a²+ab+ac+ba+ b²+ca+cb+bc+ c²

= a² + b²+ c²+ab+ba+ac+ca+ cb+bc (ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಬರೆದಾಗ)

= a² + b²+ c²+2ab+2bc+2ca

(a+b+c)² = a² + b²+ c²+2ab+2bc+2ca

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 10: 173² ದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

173 ನ್ನು (100+70+3) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

173² ನ್ನು (a+b+c)² ದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ,

a=100,b=70 and c=3

173²= 100²+70²+3²+ 2*100*70 +2*70*3+2*3*100

= 10000+4900+9+14000+420+600

= 29929

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 11: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ (x² + y²- z²)² -(x² - y²-+z²)²

ಪರಿಹಾರ:

(x² + y²- z²)² ಇದು (a+b+c)² ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a = x² , b = y² and c = - z²

= (x² + y²- z²)² = (x⁴ + y⁴+z⁴ + 2 x² y² - 2 y² z²-2 z² x²)

ಇದೇ ರೀತಿ,

(x² - y²+z²)² = (x⁴ + y⁴+z⁴ - 2 x² y² - 2 y² z²+2 z² x²)

(x² + y²- z²)² -(x² - y²-+z²)²

= (x⁴ + y⁴+z⁴ + 2 x² y² - 2 y² z²-2 z² x²) -(x⁴ + y⁴+z⁴ - 2 x² y² - 2 y² z²+2 z² x²)

= (x⁴ + y⁴+z⁴ + 2 x² y² - 2 y² z²-2 z² x²) -x⁴ - y⁴-z⁴ +2 x² y² + 2 y² z²-2 z² x²

= 4x² y² -4 z² x²

=4x² (y² -z²)

(a+b)³ ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

(a+b)³

= (a+b)*(a+b)*(a+b)

= (a+b)*( a²+ 2ab+b²) ( (a+b)²= a²+ 2ab+b²)

= a*( a²+ 2ab+b²)+b*( a²+ 2ab+b²) (ಮೊದಲನೆ ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದದ ಪ್ರತೀಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದದ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

= a³+ 3a²b+ 3ab²+b³ (ಸಜಾತೀಯ ಪದಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ)

= a³+ 3ab(a+b)+b³ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಾಗ)

ವಿ. ಸೂ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಭಾಸ್ಕರನು ಲೀಲಾವತಿಯ 27 ನೇ ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ: (a-b)³= a³-3ab(a-b)-b³ - ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 12: 51³ ಇದರ ಬೆಲೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

51 = 50+1.( ಇದು (a+b)³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.)

51³ = 50³+ 3*50*1(50+1)+1³ [(a+b)³ = a³+ 3ab(a+b)+b³]

= 125000+7650+1

=132651

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 13: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ: (x+1/x)³

ಪರಿಹಾರ:

(x+1/x)³ ಇದು (a+b)³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

(x+1/x)³

= x³+ 3x*1/x(x+1/x)+(1/x)³

= x³+ 3(x+1/x)+(1/x³)

= x³+ 3x+3/x+1/x³

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 14 : (9.9)³ – ಇದರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

9.9 = (10-0.1)

= 9.9³ ಇದು (a-b)³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ a=10 , b=0.1.

(9.9)³= 10³-3*10*0.1*(10-0.1)-(0.1)³

= 1000-3*9.9- 0.001

= 1000-29.7-.001

= 970.299

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 15: ವಿಸ್ತರಿಸಿ: (x/2-y/3)³

ಪರಿಹಾರ:

(x/2-y/3)³ ಇದು (a-b)³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

(x/2-y/3)³

= (x/2)³- 3(x/2)*(y/3)(x/2-y/3)-(y/3)³

= x³/8 – (xy/2)*(x/2-y/3)-y³/27 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)

= x³/8 – x²y/4 +xy²/6-y³/27

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 16: (a+b) (a²+b²-ab) = a³+b³ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(a+b) (a²+b²-ab)

= a(a²+b²-ab) +b(a²+b²-ab)

= a*a²+a*b²-a*ab + b*a²+b*b²-b*ab

=a³+ab²-a²b + ba²+b³-ab² (ಸಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಿದಾಗ)

=a³+b³

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 17: a+b+c = 12 , a²+b²+ c² =50 ಆದರೆ ab+bc+ca ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(a+b+c)² = (a²+b²+ c²)+2ab+2bc+2ca

ಮೇಲಿನ ಸಮಿಕರಣದಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

12²= 50+2(ab+bc+ca)

144-50 = 2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca = 47

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 18: x³+y³+ z³ = 3xyz ಮತ್ತು x+y+z=0 ಆದರೆ,

(x+y)²/xy +(y+z)²/yz+(z+x)²/zx ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ x+y+z=0

ಆದ್ದರಿಂದ x+y = -z, y+z = -x and z+x = -y

(x+y)²/xy +(y+z)²/yz+(z+x)²/zx

= z²/xy+x²/yz+y²/zx

= z³/xyz+x³/xyz+y³/zxy (xyz ನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ ಮಾಡಿದೆ)

= (x³+y³+ z³)/xyz

= 3xyz/xyz

=3

2.4 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ.	ಸೂತ್ರ	ವಿಸ್ತರಣೆ
1	(a+b)(c+d)	ac+ad+bc+bd
2	(x+a)*(x+b)	x^2+x(a+b)+ab
3	(a+b)^2	a^2+b^2+2ab
4	(a-b)^2	a^2+b^2-2ab
5	(a+b)(a-b)	a^2-b^2
6	(a+b+c)^2	a^2+b^2+ c^2+2ab+2bc+2ca
7	(a+b)^3	a^3+b^3+3ab(a+b)
8	(a-b)^3	a^3-b^3-3ab(a-b)