4

4.8 ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಸಮಾನುಪಾತ (Ratio and proportion)

4.8.1 ಪೀಠಿಕೆ(Introduction):

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೆಲಸಗಾರರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದರಿಂದ ಹಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಲಸಗಾರರು ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಗೈರುಹಾಜರಾದಾಗ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ತಿಯಾಗಿ ಮುಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾ 1: 6 ಹೆಂಗಸರು ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು 10 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸಬಲ್ಲರು. ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು 10 ಮಕ್ಕಳು( ಬಾಲಕಾರ್ಮಿಕರಲ್ಲ: 14 ವರ್ಷಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡವರು) 15 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು 6 ಹೆಂಗಸರು ಮತ್ತು 10 ಮಕ್ಕಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸಬಲ್ಲರು?

ಉದಾ 2: ಒಂದು ಸೈನಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ದಿನಸಿ 450 ಸೈನಿಕರಿಗೆ 80 ದಿನಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. 10 ದಿನಗಳ ನಂತರ ಮತ್ತೆ 50 ಸೈನಿಕರು ಸೇರಿಕೊಂಡರೆ, ಉಳಿದ ದಾಸ್ತಾನು ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ?

ಉದಾ 3: ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು, A ಯು 14 ದಿನಗಳಲ್ಲೂ, B ಯು 21 ದಿನಗಳಲ್ಲೂ ಮುಗಿಸಬಲ್ಲರು. ಇಬ್ಬರೂ ಸೇರಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ 6 ದಿನ ಕೆಲಸಮಾಡಿದ ಮೇಲೆ A ಯು ಅನಾರೋಗ್ಯದಿಂದ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಬಾರದೇ ಇದ್ದಾಗ B ಯು ಉಳಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ?

ಉದಾ 4: ಒಂದು ಪೈಪು ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು 9 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಲ್ಲದು. ತಳದಲ್ಲಿನ ಸೋರಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿಯು 10 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬುತ್ತದೆ. ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಿದ ನಂತರ ಸೋರಿಕೆ ಆರಂಭವಾದರೆ ಎಷ್ಟು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಖಾಲಿಯಾಗುತ್ತದೆ?.

a ಮತ್ತು b ಗಳು ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರದೆ, ಸದೃಶ ಪರಿಮಾಣಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಭಿನ್ನರಾಶಿ a/b ಯನ್ನು ಅನುಪಾತ(ratio) ಎಂದು ಕರೆದು, a:b ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. (a/b =ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎನ್ನಲೂ ಬಹುದು).

ಜವ ಎಂದರೇನು? ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ/ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ. ಜವ ಎನ್ನುವುದು ಅನುಪಾತ. ಹಾಗೆಯೇ

ಮೈಲೇಜ್ = ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ/ ಬಳಸಿದ ಇಂಧನ- ಲೀಟರ್ ಗಳು ಎನ್ನುವುದು ಅನುಪಾತ

ಅನುಪಾತ ಎನ್ನುವುದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ

ಇಬ್ಬರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಅನುಪಾತ 2:3 ಅಗಿದೆ ಎಂದರೆ, ಅವರ ಅಂಕಗಳು 100 ರಲ್ಲಿ 20 ಮತ್ತು 30 ಅಥವಾ 40 ಮತ್ತು 60 ಅಥವಾ 60 ಮತ್ತು 90 ಆಗಿರಬಹುದು ಎಂದು.

ಅಂದರೆ ಒಬ್ಬನ ಅಂಕಗಳು 2x ಆದರೆ ಇನ್ನೊಬ್ಬನದು 3x

I.e. 2/3=20/30=40/60=60/90 … = 2x/3x

2:3 ಎನ್ನುವ ಅನುಪಾತವನ್ನು 5 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ 2 ಭಾಗ ಮತ್ತು 3 ಭಾಗ ಎಂದೂ ಅನ್ನಬಹುದು.

a:b ಎನ್ನುವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಪದಗಳು( ‘terms’) ಎಂತಲೂ a ಯನ್ನು ಪೂರ್ವಪದ( ‘antecedent’) ಮತ್ತು b ಯನ್ನು ಉತ್ತರಪದ ( ‘consequent’) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡು ಪರಿಮಾಣಗಳು ಅನುಪಾತವಾಗಿರುವಾಗ ಗಮನಿಸಿ:

1. ಅನುಪಾತವೆನ್ನುವುದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದ್ದು ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ

2. ಅವುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನ/ಗುಣಾಕಾರ/ಭಾಗಾಕಾರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ

3. ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸರಳೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ (10:40 ಬದಲಾಗಿ 1:4 ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ)

4. ಎರಡು ಅಳತೆಗಳನ್ನು ತುಲನೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಳತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು( ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1 ಗಂಟೆ 15 ನಿಮಿಷವನ್ನು 45 ನಿಮಿಷದೊಡನೆ ಹೋಲಿಸುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಗಂಟೆಗಳಾಗಿ ಅಥವಾ ನಿಮಿಷಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು)

a:b ಒಂದು ಅನುಪಾತವಾಗಿರಲಿ.

a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧ	ಗುಣ	ಉದಾ	ಸಾಧನೆ
ಯಾವುದೇ x ಗೆ	a:b= ax:bx	2/3 = 4/6=6/9	ax/bx= a/b
a>b ಮತ್ತು c>0 ಆದಾಗ	a/b > a+c/b+c	11/5 >12/6>13/7>14/8	a>b ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ac>bc ab+ac>ab+bc (ab ಯನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ) a(b+c)>b(a+c) (ಸಾಮಾನ್ಯಪದವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಾಗ) ie a/b > (a+c)/(b+c)
a<b ಮತ್ತು c>0 ಆದಾಗ	a/b < a+c/b+c	2/3<3/4<4/5	a<b ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ac<bc ab+ac<ab+bc(ab ಯನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ) a(b+c) <b(a+c) (ಸಾಮಾನ್ಯಪದವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಾಗ) ie a/b < (a+c)/(b+c)

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : 49:68 ರಲ್ಲಿ 49 ಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಸೇರಿಸಿದರೆ 3:4 ಆಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

ಎನ್ನುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎನ್ನುವಂತೆ ಆಗಿರಲಿ. ಅಂದರೆ (49+x)/68= 3/4

49+x= 3*17=51

x=2. Note that 51/68= 3/4

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 49:68 ಇಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಸೇರಿಸಿದರೆ 3:4 ಆಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

x ಎನ್ನುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು (49+x)/(68+x)= 3/4 ಎನ್ನುವಂತೆ ಆಗಿರಲಿ.ಆಗ 196+4x= 204+3x

x= 204-196

x=8.

ಗಮನಿಸಿ 57/76= 3/4

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಒಂದು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ 600 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು 15 ಶಿಕ್ಷಕರು ಇದ್ದಾರೆ. ಎಷ್ಟು ಜನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಂಡರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ : ಶಿಕ್ಷಕರ ಅನುಪಾತ ಶಿಕ್ಷಣಹಕ್ಕು ಕಾಯಿದೆಯಲ್ಲಿ(ಆರ್ ಟಿ ಇ) ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ 30:1 ಆಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ : ಶಿಕ್ಷಕರ ಅನುಪಾತ 600:15 =40:1 ಇದು 30:1 ಕ್ಕಿಂತ ಜಾಸ್ತಿ ಇದೆ . ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಮನೆಗೆ ಕಳಿಸಲು ಆಗುವುದಿಲ್ಲವಾದುದರಿಂದ ಶಿಕ್ಷಕರ ನೇಮಕವಾಗಲೇ ಬೇಕು

x ಎನ್ನುವುದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಿಕ್ಷಕರಾಗಿರಲಿ.

600/(15+x)= 30/1

600/30 = (15+x)

20= 15+x

x=5.

ಗಮನಿಸಿ 600:20 = 30:1

4.8.2 ಸಮಾನುಪಾತ(Proportion)

ಎರಡು ಅನುಪಾತಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ (ಉದಾ 2/3=4/6) ಅವು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು 2:3::4:6 ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ a/b=c/d ಆದಾಗ a:b::c:d ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

a/b=c/d ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ad=bc.

a:b::c:d ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು m ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ಆದಾಗ

ಗುಣ	ಸಾಧನೆ	ವ್ಯಾಖ್ಯೆ
a:c=b:d b:a=d:c c:a=d:b	ad=bc ಆಗಿರುವುದರಿಂದ a/c= b/d, b/a=d/c, c/a=d/b,	a:b::c:d ಆದಾಗ a ಮತ್ತು d ಅಂತ್ಯಪದಗಳು ('extremes') b ಮತ್ತು c ಮಧ್ಯಪದಗಳು ('means') d ಯು ಚತುರ್ಥಾನುಪಾತ (fourth proposition)
(a+mb)/b=(c+md)/d	(a/b)+m= (c/d)+m (a+mb)/b= (c+md)/d	Componendo
(a-mb)/b=(c-md)/d	(a/b)-m= (c/d)-m (a-mb)/b= (c-md)/d	Dividendo
(a+mb)/ (a-mb)= (c+md)/ (c-md)	ಮೇಲಿನವುಗಳನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದೆ.	Componendo Dividendo
a/b= c/d=(a-c)/(b-d)=(a+c)/(b+d)	ad=bc ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ab-ad=ab-bc a(b-d)= b(a-c) a/b= (a-c)/(b-d) ಮತ್ತು ab+ad=ab+bc a/b= (a+c)/(b+d) b d ಮತ್ತು b+d 0 ಆದಾಗ a/b= (a-c)/(b-d)= (a+c)/(b+d)
a:b= b:c ಆದಾಗ	a/b= b/c or b²=ac or b = c= b²/a	abc ಗಳು ಮುಂದುವರೆದ ಸಮಾನುಪಾತ (continued proportion) b ಸರಾಸರಿ ಸಮಾನುಪಾತ (mean proportion) c ತ್ರತೀಯ ಸಮಾನುಪಾತ (third proportion)

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 4: 15:12:: x:24 ಇಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

15/12= x/24

x=15*24/12

x=30.

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಒಂದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ನ 500 ಬಿಡಿಭಾಗಳಲ್ಲಿ 30 ಭಾಗಗಳು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದೇ ದರದಲ್ಲಿ 1600 ಬಿಡಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಭಾಗಗಳು ದೋಷಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ:

30:500:: x:1600 = 3:50:: x:1600 >>> = x = 96

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಏಕಮಾನ ಪದ್ಧತಿಯಂತೆಯೂ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

500 >>> 30

1600 >>> ?

= (30/500)*1600 =96

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 6: 4 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಅನುಪಾತಗಳು ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

ರಾಂ: ಶ್ಯಾಂ = :

ಶ್ಯಾಂ: ಗೋಪಾಲ = :

ಗೋಪಾಲ: ರಾಜ = :

ರಾಂ ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳು 42 ಆಗಿದ್ದರೆ, ರಾಂ: ಶ್ಯಾಂ:ಗೋಪಾಲ: ರಾಜ ಇವರು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಅವರು ಗಳಿಸಿದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಅನುಪಾತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದೇ ಇರುವುದರಿಂದ, ಹೋಲಿಸಲು ಮೊದಲು ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದುವಂತೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

1. ರಾಂ: ಶ್ಯಾಂ = : = 3/2:5/2 = 3:5 (ಅನುಪಾತಗಳ ಛೇದಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ. 2 )

2. ಶ್ಯಾಂ: ಗೋಪಾಲ = : = 7/4:16/5 = 35/20:64/20 = 35:64 (ಅನುಪಾತಗಳ ಛೇದಗಳ 20)

3. ಗೋಪಾಲ: ರಾಜ = : = 32/11: 43/22 = 64/22:43/22=64:43 (ಅನುಪಾತಗಳ ಛೇದಗಳ 22)

ರಾಂ: ಶ್ಯಾಂ = 3:5= 21:35 (ಎರಡೂ ಪದಗಳನ್ನು 7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ 2ನೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದ ಶ್ಯಾಂ ನದ್ದು 35 ಆಗಿದೆ )

ಆದುದರಿಂದ ರಾಂ: ಶ್ಯಾಂ: ಗೋಪಾಲ: ರಾಜ = 21:35:64:43

ರಾಂ ನ ಅಂಕಗಳು 42 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು 42 = 21*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ

ರಾಂ: ಶ್ಯಾಂ: ಗೋಪಾಲ: ರಾಜ = 21:35:64:43 = 21*2:35*2:64*2:43*2

ಅವರ ಅಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 42, 70, 128 ಮತ್ತು 86.

4.8.3 ಜನರು,ಸಮಯ,ಕೆಲಸ (People, time and work)

ಸೂತ್ರ :

ಸಮಾನುಪಾತದ ತತ್ವಗಳು ಸಮಯ,ಜನರು ಮತ್ತು ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ. A ಯು ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು 'm' ಸಮಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು B ಯು 'n' ಸಮಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುತ್ತಾನೆ. ಇಬ್ಬರೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕೆಲಸಮಾಡಿದರೆ, ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ?

ನಿರ್ವಹಣೆ :

't' ಸಮಯಮಾನಗಳು ಇಬ್ಬರೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕೆಲಸಮಾಡಿ ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವಾಗಿರಲಿ.

A ಯು ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ = m

A ಯು 1 ಸಮಯಮಾನದಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುವ ಕೆಲಸ = 1/m

B ಯು ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ = n

B ಯು 1 ಸಮಯಮಾನದಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುವ ಕೆಲಸ = 1/n

ಇಬ್ಬರೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ 1 ಸಮಯಮಾನದಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುವ ಕೆಲಸ = 1/m+1/n

1/t = 1/m+1/n= (m+n)/mn

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸಮಾಡುವವರು ಇದ್ದರೂ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗ ಬಿಡಿಸುವಾ:

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 7: 6 ಹೆಂಗಸರು ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು 10 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸಬಲ್ಲರು. ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು 10 ಮಕ್ಕಳು( ಬಾಲಕಾರ್ಮಿಕರಲ್ಲ: 14 ವರ್ಷಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡವರು) 15 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾದರೆ, ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು 6 ಹೆಂಗಸರು ಮತ್ತು 10 ಮಕ್ಕಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸಬಲ್ಲರು?

ಪರಿಹಾರ:

t ಯು 6 ಹೆಂಗಸರು ಮತ್ತು 10 ಮಕ್ಕಳು ಸೇರಿ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ದಿನಗಳಾಗಿರಲಿ.

1/t = 1/10+1/15 = 3/30+2/30= 5/30 (10 ಮತ್ತು 15 ರ ಲ.ಸ.ಅ. 30 )= 1/6

6 ಹೆಂಗಸರು ಮತ್ತು 10 ಮಕ್ಕಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ = t= 6 ದಿನಗಳು.

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 8: A ಮತ್ತು B ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು 4 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುತ್ತಾರೆ. A ಒಬ್ಬನೇ ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು 12 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುತ್ತಾನೆ. B ಒಬ್ಬನೇ ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

t ಯು B ಒಬ್ಬನೇ ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವಾಗಿರಲಿ.

1/4 =1/12+1/t

1/t = 1/4 -1/12= 2/12= 1/6

B ಒಬ್ಬನೇ ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ 6 ದಿನಗಳು.

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 9: ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು, A ಯು 14 ದಿನಗಳಲ್ಲೂ, B ಯು 21 ದಿನಗಳಲ್ಲೂ ಮುಗಿಸಬಲ್ಲರು. ಇಬ್ಬರೂ ಸೇರಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ 6 ದಿನ ಕೆಲಸಮಾಡಿದ ಮೇಲೆ A ಯು ಅನಾರೋಗ್ಯದಿಂದ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಬಾರದೇ ಇದ್ದಾಗ B ಯು ಉಳಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ?

ಪರಿಹಾರ:

't' ಯು B ಒಬ್ಬನೇ ಉಳಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವಾಗಿರಲಿ.

A ಮತ್ತು B ಯು ಜೊತೆಯಾಗಿ 1 ದಿನದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವ ಕೆಲಸ=1/14+1/21= 5/42

A ಮತ್ತು B ಯು ಜೊತೆಯಾಗಿ 6 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡುವ ಕೆಲಸ=6*(5/42) =15/21

ಉಳಿದ ಕೆಲಸ=1-(15/21)=(21-15)/21= 6/21

A ಯು ಒಬ್ಬನೇ 1 ದಿನದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವ ಕೆಲಸ=1/21

B ಯು ಒಬ್ಬನೇ t ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡುವ ಕೆಲಸ(ಉಳಿದ ಕೆಲಸ)= t/21

6/21= t/21 t=6

B ಯು ಒಬ್ಬನೇ 6 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸುತ್ತಾನೆ.

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 10: ಒಂದು ಸೈನಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ದಿನಸಿ 450 ಸೈನಿಕರಿಗೆ 80 ದಿನಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. 10 ದಿನಗಳ ನಂತರ ಮತ್ತೆ 50 ಸೈನಿಕರು ಸೇರಿಕೊಂಡರೆ, ಉಳಿದ ದಾಸ್ತಾನು ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

'd' ಎನ್ನುವುದು ಉಳಿದ ದಾಸ್ತಾನು ಮುಗಿಯುವ ದಿನಗಳಾಗಿರಲಿ

ಒಬ್ಬ ಸೈನಿಕನು ದಿನಕ್ಕೆ 1 ಊಟದ ಮಾನವನ್ನು(ಉದಾ: ತಟ್ಟೆ, ಪ್ಯಾಕೆಟ್ .. ) ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವಾ.

ಲಭ್ಯವಿರುವ ಊಟದ ಮಾನಗಳು= 450*80

ಮೊದಲ 10 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ಊಟದ ಮಾನಗಳು= 450*10

ನಂತರದ 'd' ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ಊಟದ ಮಾನಗಳು= 500*d

ಊಟದ ದರ/ಪ್ರಮಾಣ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

450*80= 450*10+500*d

Ie 45*8= 45+5d; 72=9+d

d=63

ಉಳಿದ ದಾಸ್ತಾನು 63 ದಿನಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ

4.8.4 ನೀರನ್ನು/ದ್ರವವನ್ನು ತುಂಬಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಖಾಲಿಮಾಡುವುದು (Filling of water/liquid and emptying)

"ಜನರು,ಸಮಯ,ಕೆಲಸ" ದ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ಸೂತ್ರ/ಕ್ರಮವನ್ನು ಅದೇ ತೆರನಾದ ಬೇರೆ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು.

ಒಂದು ಪೈಪ್, ಒಂದು ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು ತುಂಬಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ x ಗಂಟೆಯಾಗಿರಲಿ

1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಪೈಪ್ ನಿಂದ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬುವ ಭಾಗ= 1/x

ಇನ್ನೊಂದು ಪೈಪ್ ಅದೇ ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು ತುಂಬಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ y ಗಂಟೆಯಾಗಿರಲಿ

1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಎರಡನೇ ಪೈಪ್ ನಿಂದ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬುವ ಭಾಗ = 1/y

1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಎರದೂ ಪೈಪ್ ಗಳಿಂದ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬುವ ಭಾಗ= (1/x +1/y).

ಎರಡನೇ ಪೈಪ್ ನೀರನ್ನು ತುಂಬಿಸುವ ಬದಲು ಅದು ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡುವಂತಿದ್ದರೆ ಆಗ 1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಅವೆರಡರಿಂದ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬುವ ಭಾಗ= (1/x -1/y).

ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು ತುಂಬಲು ಬೇಕಾಗುವ ಒಟ್ಟು ಸಮಯ= xy/(y±x) (ಖಾಲಿಯಾಗುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - ನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕು)

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 11: ಎರಡು ಪೈಪ್ ಗಳು ಒಂದು ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು 10 ಮತ್ತು 12 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬುತ್ತವೆ. ಮೂರನೇ ಪೈಪ್ ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು 20 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೂರೂ ಪೈಪ್ ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಚಾಲೂ ಮಾಡಿದರೆ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ:

1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬುವ ಭಾಗ= (1/10+1/12-1/20)= (6+5-3)/60= 8/60=2/15.

ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಲು ಬೇಕಾಗುವ ಸಮಯ = 15/2 ಗಂಟೆಗಳು= 7 ಗಂಟೆಗಳು ಮತ್ತು 30 ನಿಮಿಷಗಳು.

4.8 ಸಮಸ್ಯೆ 12: ಒಂದು ಪೈಪು ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು 9 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಲ್ಲದು. ತಳದಲ್ಲಿನ ಸೋರಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿಯು 10 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬುತ್ತದೆ. ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಿದ ನಂತರ, ಸೋರಿಕೆ ಆರಂಭವಾದರೆ ಎಷ್ಟು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಖಾಲಿಯಾಗುತ್ತದೆ?.

ಪರಿಹಾರ:

t ಯು ತಳದಲ್ಲಿನ ತೂತು ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು ಖಾಲಿಮಾಡಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವಾಗಿರಲಿ

ತೂತಿನಿಂದಾಗಿ 1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ತೊಟ್ಟಿ ಖಾಲಿಯಾಗುವ ಭಾಗ = 1/t

ಸೋರಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ 1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬಿದ ಭಾಗ = 1/10;

ಸೋರಿಕೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ತೊಟ್ಟಿ ತುಂಬುವ ಭಾಗ= 1/9

1/10= 1/9-1/t

1/t = 1/9-1/10= (10-9)/90= 1/90

90 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತೊಟ್ಟಿಯು ಪೂರ್ತಿ ಖಾಲಿಯಾಗುತ್ತದೆ

4.8 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂಖ್ಯೆ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
a/b = c/d = e/f = g/h . . . . ಮತ್ತು k, l, m, n… ಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದರೆ
1	b:a = d:c
2	a:c = b:d
3	(a+mb):b = (c+md):d
4	(a-mb):b = (c-md):d
5	(a+mb):(a-mb) = (c+md):(c-md)
6	a:b = c:d = e:f = (ak+cl+em+gn..):(bk+dl+fm+hn. .)