1.7 ಕರಣಿಗಳು: (Surds)

ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

ಸಂಖ್ಯೆ	ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ	ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಮೂಲ	ಚಿಹ್ನೆ
1	1	1	=1
2	4	1.414 (ಅಂದಾಜು)
3	9	1.732 ( ಅಂದಾಜು)
4	16	2	=2
5	25	2.236 (ಅಂದಾಜು)
6	36	2.449 ( ಅಂದಾಜು)
7	49	2.646 ( ಅಂದಾಜು)
8	64	2.828 ( ಅಂದಾಜು)
9	81	3	=3

ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ತಿಳಿದು ಬರುವುದೇನಂದರೆ, 2,3,5,6,8 ಇವುಗಳ ವರ್ಗ ಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರಕ್ರಮದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದಾದರೂ (ಪಾಠ 1.5 ನೋಡಿ) ಅವುಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ  =1.41421356237310. . . . ಮತ್ತು = 2.23606797749979. . . . ಎಂದು ತಿಳಿದು ಬರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, 1,4,9 ಇವುಗಳ ವರ್ಗ ಮೂಲಗಳಾದ 1,2,3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಇತರ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ _{, ,} ನಂತಹ ದಶಮಾಂಶಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಮತ್ತು ರಂತೆಯೇ , ಕೂಡ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶಗಳು.

,, , ಇವುಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ. ಇವುಗಳು ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ, ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶಗಳು.

ಇವುಗಳನ್ನು ಕರಣಿಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಕರಣಿಯು(surd) ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯರೂಪ: ಇಲ್ಲಿ a >0 ಮತ್ತು n>1. ಇಲ್ಲಿ ‘n’ ನ್ನು ಕರಣಿಕ್ರಮ(order) ಮತ್ತು ‘a’ ಯನ್ನು ಕರಣೀಯ (radicand) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ( ಇದು ಮೂಲ ಎನ್ನುವ ಚಿಹ್ನೆ.)

ಪ್ರತಿ ಕರಣಿಯೂ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದರೆ ಪ್ರತೀ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕರಣಿ ಅಲ್ಲ.

(ಉದಾ: , : ಇವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆದರೆ ಕರಣಿಗಳಲ್ಲ.)

ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಘಾತಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು.

= 2^1/2, = 5^1/3, 8= 8*7^1/5

ಗಮನಿಸಿ:

1. (2^1/2) *(2^1/2) = * = 2. ಘಾತಾಂಕದ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಂತೆ ಕೂಡಾ (2^1/2) *(2^1/2) =2^1/2+1/2 = 2¹= 2

2. ()* ()*() = = 4. ಘಾತಾಂಕದ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಂತೆ ಕೂಡಾ 4^1/3*4^1/34^1/3 = 4^1/3+1/3+1/3= 4^3/3= 4¹=4

ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು:-

=(405)^1/4 = (81*5)^1/4 = (3⁴*5)^1/4 = 3^4*1/4* 5^1/4 = 3¹*5^1/4= 3 (ಘಾತಾಂಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದೆ)

ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಗುಣಕವು ‘1’ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಶುದ್ಧಕರಣಿಗಳು (pure surds). ಉದಾ: , , .

ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಗುಣಕವು ‘1’ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಮಿಶ್ರಕರಣಿಗಳು(mixed surds). ಉದಾ: 5,8,4( ಸಹಗುಣಕಗಳು: 5, 8, 4).

ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕರಣೀಯ ಮತ್ತು ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮರೂಪ ಕರಣಿಗಳು (like surds). ಉದಾ: 5,7.8 ( ಇಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕರಣೀಯ 3, ಕರಣಿಕ್ರಮ 2).

ಕರಣೀಯ ಮತ್ತು ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವ ಕರಣಿಗಳು ಅಸಮರೂಪ ಕರಣಿಗಳು (unlike surds).

ಉದಾ:

(i) , , (ಕರಣಿಕ್ರಮ: 2, ಕರಣೀಯ: 3, 2, 5)

(ii), , , (ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳು: 3, 5 ಕರಣೀಯ: 4)

ಗಮನಿಸಿ: ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಿಯಮದಂತೆ (ಪಾಠ 2.2 ನೋಡಿ).

1. ()ⁿ =a

2. * =

3. / =

4. = ಆದರೆ, a=b ಆಗುತ್ತದೆ.

5. > ಆದರೆ, a>b ಆಗುತ್ತದೆ.

6. < ಆದರೆ, a<b ಆಗುತ್ತದೆ.

1.7 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ +-

ಪರಿಹಾರ:

50 =25*2 = 5²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 5

32 =16*2 = 4²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 4

72 =36*2 = 6²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 6

+- = 5+4-6 =(5+4-6) = 3

1.7 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಮತ್ತು ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೇಲಿನ ಕರಣಿಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ (3 ಮತ್ತು 4) ಒಂದೇ ಆಗಿಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಕರಣೀಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ( ಉದಾ: > ) ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೊದಲು ಅವೆರಡರ ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಅಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ 3 ಮತ್ತು 4 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ. 12 ಆಗಿದೆ

= 4^1/3= 4^4/12 = (4⁴)^1/12=256^1/12=

=6^1/4 = 6^3/12= (6³)^1/12=216^1/12=

256>216 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ >

I.e. >

ಗಮನಿಸಿ: ಕರಣಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

1.7. ವರ್ಗಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದು.(Representing square root of numbers on number line):

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಿಂದ ರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ..

(5 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ =1.73205)

ಆದರೆ ರ ಬೆಲೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ‘x+1’ ನ್ನ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು:

()² = x +1 = ()²+1² ====è(1)

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ,ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.

(ವಿಕರ್ಣ)²  =(1 ನೇ ಬಾಹು)² +(2 ನೇ ಬಾಹು)²

1 ನೇ ಬಾಹು	2 ನೇ ಬಾಹು	ಸಮೀಕರಣ	ವಿಕರ್ಣ
4	3	5^2= 25 = 16 + 9 = 4^2+3^2	5
12	5	13^2= 169 = 144+ 25 = 12^2+5^2	13
20	15	25^2= 625 = 400+225 = 20^2+15^2	25

ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನ ಗಮನಿಸಿದಾಗ,ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವಿಕರ್ಣದ ಉದ್ದ: ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳು	ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ	ವಿಕರ್ಣ
1, 1	1^2+ 1^2=()^2
, 1	()^2+ 1^2=3^2
,1	()^2+ 1^2=4^2
………	…….	……
,1	()^2+ 1^2=(99)^2
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ,1	()^2+ 1^2=(x+1)^2

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತು 1 1 ನ್ನ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸಿದರೆ ಆಗ ಅದರ ವಿಕರ್ಣವು ಈ ಕ್ರಮದಿಂದ ಈಗ ನಾವು ಮತ್ತು ರ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

1.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದು ‘O’ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. O ನಿಂದ 1 ಸೆ.ಮಿ. ದೂರದಲ್ಲಿ A ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಈಗ, OA=1 ಸೆ.ಮಿ. A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 1 ಸೆ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ A ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಮೇಲೆ ಎಳೆದ ಲಂಬರೇಖೆಯನ್ನು B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಆಗ, AB = 1 ಸೆ.ಮಿ. OB ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈಗ ನಮಗೆ OA = AB =1 ಸೆ.ಮಿ. ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ OAB ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ಸಿಕ್ಕಿದೆ. ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ OB^2= OA^2+AB^2 =  1^2+1^2= 1+1 =2 OB = OB ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ, O ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. OP =

1.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಮಾಡಿ. ಈಗ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಗೆ P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. P ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 1 ಸೆ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಈ ಲಂಬವನ್ನು C ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. PC = 1 ಸೆ.ಮಿ. OC ಯನ್ನು ಜೋಡಿಸಿರಿ. ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ OC^2=OP^2+PC^2 = ()^2+1^2 =2+1 OC = O ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು,OC ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನುQ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. OQ=

ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, (OB,OC,OD,OE….) ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಿಂದ ಎಳೆದ ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತ ಭಾಗಗಳಿವೆ. OB =, OC =, OD =, OE = ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದವರು ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಯಾಗಿದ್ದ ಥಿಯೋಡೊರಸ್. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಥಿಯೋಡೊರಸ್ ಚಕ್ರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

1.7 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ +-

ಪರಿಹಾರ:

50 =25*2 = 5²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 5

32 =16*2 = 4²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 4

72 =36*2 = 6²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 6

+- = 5+4-6 =(5+4-6) = 3

1.7 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಮತ್ತು ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೇಲಿನ ಕರಣಿಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ (3 ಮತ್ತು 4) ಒಂದೇ ಆಗಿಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಕರಣೀಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ( ಉದಾ: > ) ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೊದಲು ಅವೆರಡರ ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಅಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ

3 ಮತ್ತು 4 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ. 12 ಆಗಿದೆ

= = = ==

= = = ==

256>216 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ >

I.e. >

ಗಮನಿಸಿ: ಕರಣಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

1.7 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂಖ್ಯೆ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1 2	ಕರಣಿಗಳು, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದು. ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು.