1.7 ಕರಣಿಗಳು: (Surds)
ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:
ಸಂಖ್ಯೆ |
ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ |
ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಮೂಲ
|
ಚಿಹ್ನೆ |
1 |
1 |
|
|
2 |
4 |
|
|
3 |
9 |
|
|
4 |
16 |
|
|
5 |
25 |
|
|
6 |
36 |
|
|
7 |
49 |
|
|
8 |
64 |
|
|
9 |
81 |
3 |
|
ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ತಿಳಿದು ಬರುವುದೇನಂದರೆ, 2,3,5,6,8 ಇವುಗಳ ವರ್ಗ ಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರಕ್ರಮದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ
ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದಾದರೂ (ಪಾಠ 1.5 ನೋಡಿ) ಅವುಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ
ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ =1.41421356237310.
. . . ಮತ್ತು
= 2.23606797749979. . . . ಎಂದು ತಿಳಿದು ಬರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು
ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, 1,4,9 ಇವುಗಳ ವರ್ಗ ಮೂಲಗಳಾದ 1,2,3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು
ಇತರ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ
ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ
,
,
ನಂತಹ ದಶಮಾಂಶಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು
ಸಾಧ್ಯವೇ?
ಮತ್ತು
ರಂತೆಯೇ
,
ಕೂಡ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶಗಳು.
,
,
,
ಇವುಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ. ಇವುಗಳು ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ, ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶಗಳು.
ಇವುಗಳನ್ನು ಕರಣಿಗಳು
ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಕರಣಿಯು(surd) ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯರೂಪ: ಇಲ್ಲಿ a
>0 ಮತ್ತು n>1. ಇಲ್ಲಿ ‘n’
ನ್ನು ಕರಣಿಕ್ರಮ(order) ಮತ್ತು ‘a’ ಯನ್ನು ಕರಣೀಯ (radicand) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
( ಇದು ಮೂಲ
ಎನ್ನುವ ಚಿಹ್ನೆ.)
ಪ್ರತಿ ಕರಣಿಯೂ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದರೆ ಪ್ರತೀ
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕರಣಿ ಅಲ್ಲ.
(ಉದಾ: ,
: ಇವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆದರೆ ಕರಣಿಗಳಲ್ಲ.)
ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಘಾತಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು.
= 21/2, = 51/3, 8
= 8*71/5
ಗಮನಿಸಿ:
1. (21/2) *(21/2) = *
= 2. ಘಾತಾಂಕದ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಂತೆ ಕೂಡಾ (21/2) *(21/2) =21/2+1/2
= 21= 2
2. ()* (
)*(
) =
= 4. ಘಾತಾಂಕದ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಂತೆ ಕೂಡಾ 41/3*41/341/3
= 41/3+1/3+1/3= 43/3= 41=4
ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು:-
=(405)1/4
= (81*5)1/4 = (34*5)1/4 = 34*1/4* 51/4
= 31*51/4= 3
(ಘಾತಾಂಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದೆ)
ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಗುಣಕವು ‘1’ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಶುದ್ಧಕರಣಿಗಳು (pure surds). ಉದಾ: ,
,
.
ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಗುಣಕವು
‘1’ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಮಿಶ್ರಕರಣಿಗಳು(mixed
surds).
ಉದಾ: 5,8
,4
( ಸಹಗುಣಕಗಳು: 5, 8,
4).
ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕರಣೀಯ ಮತ್ತು ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ
ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮರೂಪ ಕರಣಿಗಳು (like surds). ಉದಾ: 5,7
.8
( ಇಲ್ಲಿ,
ಎಲ್ಲಾ ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕರಣೀಯ 3, ಕರಣಿಕ್ರಮ 2).
ಕರಣೀಯ ಮತ್ತು ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವ ಕರಣಿಗಳು
ಅಸಮರೂಪ ಕರಣಿಗಳು (unlike surds).
ಉದಾ:
(i) ,
,
(ಕರಣಿಕ್ರಮ: 2, ಕರಣೀಯ: 3, 2, 5)
(ii), ,
, (ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳು: 3, 5 ಕರಣೀಯ: 4)
ಗಮನಿಸಿ: ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಿಯಮದಂತೆ (ಪಾಠ 2.2 ನೋಡಿ).
1. ()n =a
2. *
=
3. /
=
4. =
ಆದರೆ, a=b ಆಗುತ್ತದೆ.
5. >
ಆದರೆ, a>b ಆಗುತ್ತದೆ.
6. <
ಆದರೆ, a<b ಆಗುತ್ತದೆ.
1.7 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ +
-
ಪರಿಹಾರ:
50 =25*2 = 52*2
ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 5
32 =16*2 = 42*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 4
72 =36*2 = 62*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 6
+
-
= 5
+4
-6
=(5+4-6)
= 3
1.7 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಮತ್ತು
ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಮೇಲಿನ ಕರಣಿಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ (3 ಮತ್ತು 4) ಒಂದೇ ಆಗಿಲ್ಲದೇ
ಇರುವುದರಿಂದ ಕರಣೀಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು
ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ( ಉದಾ: >
) ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೊದಲು
ಅವೆರಡರ ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಅಗಿರುವಂತೆ
ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ
ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ
ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ 3 ಮತ್ತು 4 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ. 12 ಆಗಿದೆ
= 41/3= 44/12
= (44)1/12=2561/12=
=61/4 = 63/12=
(63)1/12=2161/12=
256>216 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ
>
I.e. >
ಗಮನಿಸಿ: ಕರಣಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳ
ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
1.7. ವರ್ಗಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದು.(Representing square root of numbers on number line):
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ
ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಿಂದ ರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ..
(5 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ =1.73205)
ಆದರೆ ರ ಬೆಲೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು
ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಆದರೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ
ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ‘x+1’ ನ್ನ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು:
()2 = x +1 = (
)2+12 ====è(1)
ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ,ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ಮೇಲಿನ
ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.
(ವಿಕರ್ಣ)2 =(1 ನೇ ಬಾಹು)2 +(2 ನೇ ಬಾಹು)2
1 ನೇ ಬಾಹು |
2 ನೇ ಬಾಹು |
ಸಮೀಕರಣ |
ವಿಕರ್ಣ |
|
4 |
3 |
52 =
25 = 16 + 9 = 42+32 |
5 |
|
12 |
5 |
132 = 169 = 144+ 25 = 122+52 |
13 |
|
20 |
15 |
252 = 625 = 400+225 = 202+152 |
25 |
ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನ ಗಮನಿಸಿದಾಗ,ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು 1 ಆಗಿದ್ದರೆ,
ಅದರ ವಿಕರ್ಣದ
ಉದ್ದ:
ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳು |
ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ |
ವಿಕರ್ಣ |
|
1,
1 |
12+
12=( |
|
|
|
( |
|
|
|
( |
|
|
……… |
……. |
…… |
|
|
( |
|
|
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ |
( |
|
ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತು 1 1 ನ್ನ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ
ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸಿದರೆ ಆಗ ಅದರ ವಿಕರ್ಣವು
ಈ ಕ್ರಮದಿಂದ ಈಗ ನಾವು
ಮತ್ತು
ರ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.
1.7.1
ಸಮಸ್ಯೆ
1: ನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದು ‘O’ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. O ನಿಂದ 1 ಸೆ.ಮಿ. ದೂರದಲ್ಲಿ A ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.
ಈಗ,
OA=1 ಸೆ.ಮಿ. A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಗೆ
ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 1 ಸೆ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ
A
ಬಿಂದುವನ್ನು
ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು,
ಮೇಲೆ ಎಳೆದ
ಲಂಬರೇಖೆಯನ್ನು
B
ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ
ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಆಗ, AB = 1 ಸೆ.ಮಿ. OA = AB =1 ಸೆ.ಮಿ. ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ OAB ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ಸಿಕ್ಕಿದೆ.
|
|
1.7.1
ಸಮಸ್ಯೆ
2: ನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಮಾಡಿ. ಈಗ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಗೆ P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. P
ಬಿಂದುವನ್ನು
ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 1 ಸೆ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ
ಈ ಲಂಬವನ್ನು C
ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ
ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. PC = 1 ಸೆ.ಮಿ. OC ಯನ್ನು ಜೋಡಿಸಿರಿ.
O
ಬಿಂದುವನ್ನು
ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು,OC ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನುQ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ
ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. |
|
ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, (OB,OC,OD,OE….) ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಿಂದ ಎಳೆದ ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ
ವೃತ್ತ ಭಾಗಗಳಿವೆ.
ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದವರು ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಯಾಗಿದ್ದ ಥಿಯೋಡೊರಸ್.
ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಥಿಯೋಡೊರಸ್ ಚಕ್ರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. |
|
1.7
ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ +
-
ಪರಿಹಾರ:
50 =25*2 = 52*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 5
32 =16*2 = 42*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 4
72 =36*2 = 62*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ = 6
+
-
= 5
+4
-6
=(5+4-6)
= 3
1.7
ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಮತ್ತು
ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಮೇಲಿನ ಕರಣಿಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ (3 ಮತ್ತು 4) ಒಂದೇ ಆಗಿಲ್ಲದೇ
ಇರುವುದರಿಂದ ಕರಣೀಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು
ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ( ಉದಾ: >
) ಅವುಗಳನ್ನು
ಹೋಲಿಸುವ ಮೊದಲು ಅವೆರಡರ ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ
ಅಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅದಕ್ಕಾಗಿ
ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ
ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ
3 ಮತ್ತು 4 ರ
ಲ.ಸಾ.ಅ. 12 ಆಗಿದೆ
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
256>216 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ >
I.e. >
ಗಮನಿಸಿ: ಕರಣಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ
ಕ್ರಿಯಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
1.7 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ
ಸಂಖ್ಯೆ |
ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
1 2 |
ಕರಣಿಗಳು,
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದು. ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು. |