2.15 ಬೈಜಿಕ ಸಂರಚನೆ (Algebraic Structure):

 

ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತದ ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಇನ್ನೂ ಬೇರೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವೆ? ಹೌದು, ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳಿವೆ:-

 

1.    ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು 2ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು: {(a+b)/2} – ಸರಾಸರಿ

2.    ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವುದು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಕೆಲವು ಸಂಕೇತಗಳು:-

 

 

ಅರ್ಥ

ಸಂಕೇತ

ಸೇರಿದೆ 

ಸೇರಿಲ್ಲ 

ಎಲ್ಲಾ(ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ)     

ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ      

ಹೀಗಾಗುವಂತೆ

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ N = {1,2,3,4 …} =  { n: n  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }

ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ W = {0,1,2,3,….} = {n: n =0, ಮತ್ತು  n{N}}

 

2.15 ಉದಾಹರಣೆ 1:

 

S = {2, 4, 8, 16….} = { 2 ರ ಘಾತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2} = {2m ; ಇಲ್ಲಿ m ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಾಗೂ m >1}

     ಈಗ ನಾವು ಈ ಗಣದ ಗಣಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಘಾತ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

1.      S ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಆ ಮೊತ್ತವು S ಗಣದಲ್ಲಿಲ್ಲ. (ಉದಾ; 6(=2+4),10(=2+8),12(=4+8) ಇವೆಲ್ಲ S ಗಣದಲ್ಲಿಲ್ಲ.)

2.    S ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೂ ಕೂಡಾ S ಗಣದ ಗಣಾಂಶವೇ ಆಗಿದೆ. ಏಕೆ?

( 2m ಮತ್ತು 2n ಇವೆರಡು S ನಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಶಗಳಾದರೆ ಗುಣಲಬ್ಧ (2m )*(2n) = 2m+n ಇದು S ಗಣದ ಒಂದು ಗಣಾಂಶವೇ ಆಗಿದೆ.)

3.      2 ರ ಯಾವುದೇ ಘಾತದ ಸಂಖ್ಯೆಯು S ಗಣದ ಗಣಾಂಶವೇ ಆಗಿದೆ. ಏಕೆ?

 

(2m ಮತ್ತು 2n ಇವು S ಗಣದ ಗಣಾಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, 2mz  [=(2m )z ಇಲ್ಲಿ z =2n  ಇದೂ ಕೂಡಾ S ಗಣದ ಗಣಾಂಶವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.)

 

ಫಲಿತಾಂಶ:

S ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಕಲನದಿಂದ ಬರುವ ಮೊತ್ತವು S ಗಣದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ S ಗಣದ ಗಣಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳ S ಗಣದಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

1. a, b  A ಆದಾಗ, a, b  ಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ   A ಆದರೆ, A ಯು ಆ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟಂತೆ ಆವೃತ ಗುಣ ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

2. a, b  ಆದಾಗ ಮತ್ತು c = (a ಕ್ರಿಯೆ b)A ಆದರೆ ಆ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆ (Binary operation) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ‘’ ದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು

a ಕ್ರಿಯೆ b ಯನ್ನು ಓದುವ ಕ್ರಮ  a ಸ್ಟಾರ್(ನಕ್ಷತ್ರ) b.

 

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ S ಗಣವು ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕಲನವು S ಗಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆ ಅಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಘಾತ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿ ಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳು S ಗಣದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳು.

 

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಸಂ.

ಗಣ

ಕ್ರಿಯೆ: ನಕ್ಷತ್ರ ()

ಅವಲೋಕನ

ಫಲಿತಾಂಶ

ಕಾರಣ

1

N = {1,2,3; ¸ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }

ಮೊತ್ತ

,a,b N, a+b N

N ಗಣವು + ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

2 ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

2

N = {1,2,3; ¸ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }

ಗುಣಲಬ್ಧ

,a,b N, a* b N

N ಗಣವು * ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

2  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿದೆ.

3

A = {1,3,5 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }

ಮೊತ್ತ

,a,b N, a+b N

A ಯು  + ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

2 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ

(ಅದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ)

4

B = {1,3,5 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು }

ಗುಣಲಬ್ಧ

,a,b N, a*b N

B ಗಣವು * ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

2  ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿದೆ..

5

Z =(0,-1,1,2,-2:  ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು)

ಸರಾಸರಿ

,a,b Z, ab=(a+b)/2 Z

Z ಗಣವು ‘ಸರಾಸರಿ’ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

0  1 = (0+1)/2 ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ.

 

6

Q = (p/q, ಇಲ್ಲಿ p,q Z, q 0)

 

ಭಾಗಾಕಾರ

,a,b Q, a/b Q

Q ಗಣವು / ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 0 ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.  0 Q ಆದರೂ 1/0 Q)

 

ಆವೃತ ಗುಣಕ್ಕೂ ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧ (Relationship between Closure property and Binary operation):

 

ಯಾವುದೇ ಗಣವು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿ ಪಡಿಸಿದರೆ. ಆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆ. ವಿಲೋಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಗಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಗಣವು ಆ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗಣವು ಒಂದು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಒಂದು ಬೈಜಿಕ ಸಂರಚನೆ (algebraic structure) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (S,*) ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ (N,+),(N,*),(B,*) ಇವೆಲ್ಲವೂ ಬೈಜಿಕ ಸಂರಚನೆಗಳು (A,+),(Z, ಸರಾಸರಿ), (Q,/) ಇವು ಬೈಜಿಕ ಸಂರಚನೆಗಳಲ್ಲ..

 

2.15 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

a, b  ಆಗಿದ್ದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ a, b A ಆಗಿದ್ದರೆ, A ಯು ಆ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

2

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಗಣವು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿ ಪಡಿಸಿದರೆ, ಆಗ ಆ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ‘ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆ’ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಗಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಗಣವು ಆ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆವೃತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

3

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಒಂದು ಗಣ S ಒಂದು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಬೈಜಿಕ ಸಂರಚನೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನ (S,*) ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.