2.8 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ (Factorisation
of algebraic expressions):
ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.
ಉದಾ:
|
ಸಂ. |
ಬೀಜೋಕ್ತಿ |
ಅಪವರ್ತನಗಳು |
|
1 |
(p-q)2- 3(p-q) |
(p-q){(p-q)-3} |
|
2 |
2x(a-4b)+3y(a-4b) |
(a-4b)(2x+3y) |
|
3 |
m2(pq+r)+mn(pq+r)+ n2(pq+r) |
(pq+r) (m2+mn+
n2) |
ಪಾಠ 2.5 ರಲ್ಲಿ px2+mx
+c ರೂಪದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ.
2.8.1 ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣಗಳು / ಸೂತ್ರಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು (Factorisation using identities/formulae):
ಪಾಠ 2.3 ರಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.
|
ಕ್ರ.ಸಂ. |
ಸಮೀಕರಣ |
ವಿಸ್ತರಣೆ |
ಅಪವರ್ತನಗಳು |
|
1 |
(a+b)2 |
a2+b2+2ab |
(a+b) ಮತ್ತು (a+b) |
|
2 |
(a-b)2 |
a2+b2-2ab |
(a-b)
ಮತ್ತು (a-b) |
|
3 |
(a+b)(a-b) |
a2-b2 |
(a+b) ಮತ್ತು (a-b) |
|
4 |
(x+a)*(x+b) |
x2+x(a+b)+ab |
(x+a) ಮತ್ತು (x+b) |
2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ 9p2+12pq
+4q2
ಪರಿಹಾರ:
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು 9p2
+4q2+12pq. ಎಂದು ಬರೆಯುವಾ. ಇದು a2+b2+2ab
ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a2=
9p2 , b2= 4q2 , 2ab=12pq
9p2 =
3p*3p =(3p)2
4q2 =
2q*2q= (2q)2
12pq = 2*3p*2q
a=3p and b=2q
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು a2+b2+2ab
ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) ಮತ್ತು (a+b)
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (3p+2q) ಮತ್ತು (3p+2q)
ತಾಳೆ:
(3p+2q)(3p+2q)
=3p(3p+2q)+2q(3p+2q) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)
=9p2+6pq +6qp+4q2
(ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ.)
= 9p2+12pq +4q2 - ಇದು ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ
2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ 36x2-60x
+25 ಅಪವರ್ತಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 36x2
+25-60x. E°è a2= 36x2, b2= 25=52 ಮತ್ತು -2ab=-60x
(6x)2 +(5)2 -2*6x*5
ಇದು a2+b2-2ab
ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=6x ,b=5.
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a-b)
,(a-b).
= (6x-5) ಮತ್ತು (6x-5).
ತಾಳೆ:
(6x-5) (6x-5)
=6x(6x-5)-5(6x-5) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)
=36x2-30x -30x+25
(ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)
= 36x2-60x
+25 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ
2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: (x+2)2+18(x+2)
+81.
ಪರಿಹಾರ:
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ ಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುವಾ: (x+2)2
+81+18(x+2).
ಇದು a2+b2+2ab
ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a2=
(x+2)2 , b2= 81=92
2ab=18(x+2)
a=(x+2),b=9 2ab = 2(x+2)*9 =18(x+2)
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: a2+b2+2ab
ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) ಮತ್ತು (a+b)
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (x+2+9) (x+2+9)
=(x+11) ಮತ್ತು (x+11)
ತಾಳೆ:
(x+11) ನ್ನ (x+11) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು
ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ತಾಳೆನೋಡಿ.
2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: p4/16- q2/64
ಪರಿಹಾರ:
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a2-b2
ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.
a2= p4/16=
(p2/4)2 , b2= q2/64
= (q/8)2
a=p2/4 ,b=q/8.
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a2-b2
ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (a+b) ಮತ್ತು (a-b).
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p2/4+q/8) ಮತ್ತು (p2/4-q/8).
ತಾಳೆ:
(p2/4+q/8)(p2/4-q/8)
=p2/4(p2/4-q/8)+q/8(p2/4-q/8)
(ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)
=(p2/4)2-p2q/32 +qp2/32 –(q/8)2 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ.)
= p4/16-
q2/64 -
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ
2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: 8(x+1/x)2-18(x-1/x)2
ಪರಿಹಾರ:
8 ಮತ್ತು 18 ಇವೆರಡೂ ಪೂರ್ಣವರ್ಗಗಳಲ್ಲ
ಆದರೆ 8 =2*4 , 18 =2*9.
4=22 9=33
8(x+1/x)2-18(x-1/x)2
= 2{4(x+1/x)2-9(x-1/x)2}.
ಈಗ 4(x+1/x)2-9(x-1/x)2 ಇದು a2-b2 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.
a2=
4(x+1/x)2 =(2(x+1/x))2
b2=(3(x-1/x))2
ಈಗ a=2(x+1/x) ,
b=3(x-1/x)
ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a2-b2
ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅಪವರ್ತನಗಳು (a+b) , (a-b)
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು:
(2(x+1/x) + 3(x-1/x)) ಮತ್ತು
(2(x+1/x) - 3(x-1/x))
ಇಲ್ಲಿ 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ.
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2 ,
(2(x+1/x) + 3(x-1/x))
(2(x+1/x)
- 3(x-1/x))
ಅಭ್ಯಾಸ: ತಾಳೆ ನೋಡಿ: 2(2(x+1/x) +
3(x-1/x))(2(x+1/x) - 3(x-1/x))= 8(x+1/x)2-18(x-1/x)2
2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 400. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 8 ಆದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? (ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 59)
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x,y ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ
x2 -y2 =400
x-y= 8 ( x=
y+8) ------(1)
x2 -y2 = (x+y)*(x
–y) {a2-b2
=(a+b)*(a-b)}
= 8(x+y) (
x-y =8)
400 = 8(x+y) (x2 -y2 =400)
(x+y) = 50 ( 8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ)
y+8+y =50 ( (1) ರಂತೆ)
2y = 42 (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ)
y =21
x= 29 ( (1) ರಂತೆ)
ಅಭ್ಯಾಸ:
29-21 =8
292-212
= ??
2.8.2
ಮೂರು ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ (Product of three binomials)
(x+a)*(x+b) = x2+x(a+b)+ab - ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.
ಈಗ ಮೂರು ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಗಳು: (x+a)*(x+b)*(x+c) ಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ನೋಡುವಾ.
(x+a)*(x+b)*(x+c)
= {(x+a)*(x+b)}*(x+c)
= {x2+x(a+b)+ab}*(x+c)
= x2(x+c)+x(a+b)*(x+c) + ab(x+c) ({x2+x(a+b)+ab} ರ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (x+c) ಯ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದೆ.)
= x3+ x2c + x(a+b)*x+x(a+b)*c + abx+abc ( x(a+b) ರ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (x+c) ಯ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದೆ.))
= x3+ x2c
+ x2(a+b)+x(a+b)*c + abx+abc ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ.)
= x3+ x2(c+a+b)+xac+xbc
+ abx+abc ವಿಸ್ತರಿಸಿ,ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ.)
= x3+ x2(a+b+c)+x(ac+
= x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc
ಪುನರ್ಜೋಡಣೆ.)
ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ b=a ,
c=a ಹಾಕುವಾ.
ಆಗ, (x+a)(x+a)(x+a) = x3+ (a+a+a) x2+(a*a+a*a+a*a)x+a*a*a
= x3+
3ax2+3a2x+ a3
= x3+
3ax(x+a)+ a3
ಈಗ x ನ್ನa ಯಿಂದಲೂ, a ಯನ್ನು b
ಯಿಂದಲೂ (a+b)3 = a3+ 3ab(a+b)+
b3
‘b’
ಇರುವಲ್ಲಿ (–b)
ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ,
(a-b)3 = a3+ 3a*-b(a-b)+ (-b)3
= a3-3ab(a-b)-b3
2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 1.05*0.97*.98 ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ
ಪರಿಹಾರ:
1.05 = 1+.05, 0.97
= 1-0.03 , 0.98 = 1-0.02.
x=1 and a=.05, b=-0.03 ಮತ್ತು c= -0.02
ದತ್ತಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (x+a)(x+b)(x+c)
ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
(x+a)(x+b)(x+c)
= x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc
1.05*0.97*.98
= 13+
(0.05-0.03-0.02) 12 +((0.05*-0.03) (–0.03* -0.02)(-0.02*0.05))1+ 0.05*-0.03*-0.02
= 1+ 0 12+(-0.0015+0.0006-0.0010)1+ 0.000030
= 1- 0.0019+0.00003
=0.998130
ತಾಳೆ:
ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡಿ: 1.05*0.97*0.98 =
0.998130.
2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯ ಉದ್ದ.(5x+2 ಸೆಂ.ಮೀ., ಅಗಲ (5x-1) ಸೆಂ.ಮೀ., ಎತ್ತರ (5x+3) ಸೆಂ.ಮೀ.ಇದ್ದರೆ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
ಘನಾಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರ =
ಉದ್ದ*ಅಗಲ*ಎತ್ತರ. ದತ್ತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರ =(5x+2)(5x-1)(5x+3) ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. x=5x
, a=2, b=-1 , c=3 ಸೂತ್ರ: (x+a)(x+b)(x+c)= x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc =
(5x)3+ (2-1+3) (5x)2+(-2-3+6)(5x)+ 2*-1*3, = 125x3+
100x2+5x-6 |
|
ತಾಳೆ:
xಗೆ ಒಂದು ಬೆಲೆ (=2) ಕೊಡುವಾ
ಆಗ,
1. 5x+2=5*2+2=12
2. 5x-1
=5*2-1=9
3. 5x+3
=5*2+3= 13
125x3+
100x2+5x- 6 = 125*8+100*4+5*2-6
=
1000+400+10-6=1404
(5x+2)(5x-1)(5x+3)
=12*9*13 = 1404
ಘನಾಕೃತಿಯ ಘನಫಲ = ಉದ್ದ* ಅಗಲ*ಎತ್ತರ.
=12*9*13
= 1404 ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.
ಇದರಿಂದ (x+a)(x+b)(x+c)= x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು,ಹಾಗೂ
1. (a+b+c) x2 x2 ನ ಸಹಗುಣಕ (a+b+c)
2. (ab+bc+ca)x ರಲ್ಲಿ x
ನ ಸಹಗುಣಕ (ab+bc+ca) ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು.
2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: (3x-1)(3x-1)(3x+4) ರಲ್ಲಿ x2
ಮತ್ತು x ನ ಸಹಗುಣಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಗುಣಲಬ್ಧವು (x+a)(x+b)(x+c)
ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. x=3x , a=-1, b=-1 , c=4
ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (x+a)(x+b)(x+c)
ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಸೂತ್ರ:: (x+a)(x+b)(x+c)=
x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc
= (3x)3+(a+b+c)(3x)2
+ (ab+bc+ca)(3x)+abc (x=3x ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ)
1.(a+b+c)(3x)2
ನಲ್ಲಿ x2
ನ ಸಹಗುಣಕ: (a+b+c)*9. a,b
,c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
(a+b+c)*9
= (-1-1+4)*9
= 18
2. (ab+bc+ca)(3x)
ನಲ್ಲಿ x ನ ಸಹಗುಣಕ (ab+bc+ca)*3. a,b
,c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
(ab+bc+ca)*3
= (
= -21
ತಾಳೆ:
(3x-1)(3x-1)(3x+4) ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ತಾಳೆನೋಡಿ.
ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆ ಕಲಿತ ಸೂತ್ರ:
(a+b)3 = a3+
3ab(a+b)+ b3
(a+b)3 -3ab(a+b) = a3+
b3(ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.)
i,e a3+
b3
=(a+b)3
-3ab(a+b)
= (a+b){
(a+b)2 -3ab}
= (a+b) { a2
+b2 +2ab -3ab}((a+b)2 ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ.)
= (a+b) (a2 +b2 -ab)
‘b’
ಗೆ ಬದಲಾಗಿ (–b) ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
a3+ (-b)3
= (a+-b) (a2 +(-b)2
-a*(-b))
= (a-b) (a2 +b2 +ab)
ಆದರೆ, a3+ (-b)3= a3-b3
a3-b3= (a-b) (a2 +b2 +ab)
2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಅಪವರ್ತಿಸಿ: 0.027 p3+0.008
q3
ಪರಿಹಾರ:
0.3*0.3*0.3=0.027 , 0.2*0.2*0.2=0.008
a3+b3=(a+b) (a2+b2-ab) ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ
a=0.3p , b= 0.2q
0.027 p3+0.008
q3
= (0.3p+0.2q)
((0.3p)2 +(0.2q)2 -0.3p*0.2q)
= (0.3p+0.2q) (0.09p2 +0.04q2 -0.06pq)
ತಾಳೆ:
(p ಮತ್ತು q ಗಳ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ)
p=1 , q=1, ಆಗಿರಲಿ.
ಆಗ, (0.3p+0.2q) (0.09p2 +0.04q2
-0.06pq)
=
0.5*(0.09+0.04-0.06) = 0.5*0.07 = 0.035
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 0.027 p3+0.008 q3
=0.027+0.008
=0.035
ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ,ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು
2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಅಪವರ್ತಿಸಿ 125
-1/ a3b3
ಪರಿಹಾರ:
125 = 53 , 1/ a3b3=(1/ ab)3
a3-b3 ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲಿ a=5 , b=
1/ab
a3-b3=(a-b) (a2 +b2 +ab) ಉಪಯೋಗಿಸಿ,a ಮತ್ತು b ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
125 -1/ a3b3
= (5 -1/ab) (52 +(1/ab)2 +5*1/ab)
= (5 -1/ab) (25 +1/a2 b2 +5/ab)
ತಾಳೆ:
(a ಮತ್ತು bಗಳ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ)
a=1 ,b=2, ಆಗಿರಲಿ.
(5 -1/ab) (25 +1/a2 b2 +5/ab)
=(5-1/2)(25+1/4+5/2)
=124.875(ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.)
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 125 -1/
a3b3
= 125-1/8= 124.875 (ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.)
ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ,ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.
2.8 ಕಲಿತ
ಸಾರಾಂಶ
|
ಸಂ. |
ಸೂತ್ರ |
ವಿಸ್ತರಣೆ |
ಅಪವರ್ತನಗಳು |
|
1 |
(a+b)2 |
a2+b2+2ab |
(a+b) ಮತ್ತು (a+b) |
|
2 |
(a-b)2 |
a2+b2-2ab |
(a-b ಮತ್ತು (a-b) |
|
3 |
(a+b)(a-b) |
a2-b2 |
(a+b) ಮತ್ತು (a-b) |
|
4 |
(x+a)*(x+b) |
x2+x(a+b)+ab |
(x+a) ಮತ್ತು (x+b) |
|
5 |
(x+a)(x+b)(x+c) |
x3+
(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc |
(x+a),(x+b) ಮತ್ತು (x+c) |
|
6 |
(a+b)3 |
a3+b3+3ab(a+b) |
(a+b),(a+b) ಮತ್ತು (a+b) |
|
7 |
(a-b)3 |
a3-b3-3ab(a-b) |
(a-b),(a-b)
ಮತ್ತು (a-b) |
|
8 |
a3+b3 |
(a+b) (a2 +b2 -ab) |
(a+b) ಮತ್ತು (a2
+b2 -ab) |
|
9 |
a3-b3 |
(a-b) (a2 +b2 +ab) |
(a-b) ಮತ್ತು (a2
+b2 +ab) |