2.9 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ (HCF and LCM of Polynomials/Algebraic expressions):

ಯಾವುದೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠ 2.5 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ

2.9 ಸಮಸ್ಯೆ 1: (p+3)³, 2p³+54+18p(p+3), (p²+6p+9) ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ ಅಪವರ್ತಿಸಿರಿ.

1. (p+3)³ – ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3),(p+3) ಮತ್ತು (p+3)

2. ಈಗ 2ನೇ ಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾ.

2p³+54+18p(p+3)

= 2(p³+27)+18p(p+3)

= 2*(p+3)( p²+9-3p)+18p(p+3), [(p³+27) ಇದು a³+b³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, a³+b³ =(a+b) (a² +b² -ab)]

=(p+3)*((2*(p²+9-3p))+18p)

= (p+3) *2*( p²+9-3p+9p)

=2(p+3)( p²+9+6p) [ (p²+9+6p ಇದು ( a²+ b²+2ab) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, ( a²+ b²+2ab)= (a+b)² ]

= 2(p+3)(p+3)²

2p³+54+18p(p+3) ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2, (p+3),(p+3),(p+3)

3. (p²+6p+9) =(p+3)² -- (ಮೇಲೆ ನೋಡಿದೆ.)

(p²+6p+9) ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3)²

ಹಂತ 2: ಈಗ ಮ.ಸಾ.ಅ. ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ನೋಡಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

ಮೇಲಿನವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ( p+3)ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ( p+3)ನಿಂದಲೇ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)

(p+3), 2(p+3) 1

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮ.ಸಾ.ಅ = (p+3)(p+3)= (p+3)²

ಮತ್ತು

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)

(p+3) | (p+3), 2(p+3) 1

1, 2, 1

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲದುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ಮುಗಿಯಿತು.

ಲ.ಸಾ.ಅ = (p+3)(p+3)(p+3)*1*2*1 = 2(p+3)³

ತಾಳೆ:

p=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ

ಮ.ಸಾ.ಅ = (p+3)² = (2+3)² =25

ಲ.ಸಾ.ಅ = 2(p+3)³= 2(2+3)³= 2*125=250

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು: (p+3)³ , 2p3+54+18p(p+3), (p²+6p+9)

(2+3)³, (2*2³+54+18*2(2+3)), (2²+6*2+9)

= {125, 250,25}

ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ =25 , ಲ.ಸಾ.ಅ =250 ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

2.9 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 10(x²-y²), 15(x²-2xy+y²), 20(x³- y³), 5(-3x +3y) ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬೇಕು.

1. ಮೊದಲ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 10(x²-y²) ಇದರಲ್ಲಿ (x²-y²) ವು (a²-b²) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) (a-b):

10(x²-y²)=10(x+y)(x-y)

2. ಎರಡನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 15(x²-2xy+y²)

ಇದರಲ್ಲಿ (x²-2xy+y²) ವು (a²-2ab+b²) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (a-b) ಮತ್ತು (a-b)

15(x²-2xy+y²)= 15(x-y) (x-y)

3. ಮೂರನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 20, (x³-y³): 20, (x-y), (x² +y² +xy)

4. ನಾಲ್ಕನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 5*-3(x-y) = 5*(-3)(x-y)=-15, (x-y)

ಹಂತ 2: ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನಗಳು 5 ಮತ್ತು (x-y) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇವೆರಡರಿಂದ ಜೊತೆಯಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.

5 (x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x² +y² +xy), -15(x-y)

2(x+y), 3(x-y), 4(x² +y² +xy), -3

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇನ್ನಿಲ್ಲ.

ಮ.ಸಾ.ಅ = 5(x-y)

ಈಗ ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಪುನ: 5(x-y) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು.

5(x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x² +y² +xy), -15(x-y)

2| 2(x+y), 3(x-y), 4(x² +y² +xy), -3 (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳು ಇರುವರೆಗೂ ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.)

3| (x+y), 3(x-y), 2(x² +y² +xy), -3

(x+y), (x-y), 2(x² +y² +xy) -1

ಲ.ಸಾ.ಅ =5(x-y)* 2*3*(x+y)*(x-y)*2(x² +y² +xy)

= 60*(x-y)(x+y)*(x-y)(x² +y² +xy) ( (x-y)(x² +y² +xy) ವು (a-b)( (a² +b² +ab) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು a=x and b= y)

= 60*(x²-y²)* (x³-y³)

ತಾಳೆ:

x=3 , y=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ

ಮ.ಸಾ.ಅ = 5(x-y) = 5*(3-2) = 5

ಲ.ಸಾ.ಅ = 60*(x²- y²)* (x³-y³)

= 60*(9-4)*)(27-8)

=60*5*19=5700

ಈಗ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು:

10(x²-y²), 15(x²-2xy+y²) 20(x³- y³),5(-3x +3y)

10(3²-2²), 15(3²-2*3*2+2²), 20(3³- 2³),5(-3*3 +3*2)

= {50, 15, 380, -15}

ಈ ಪದಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ =5

ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವಾ.

5 | 50,15,380,-15

2 | 10,3,76,-3

3 | 5,3,38,-3

| 5,1,38,-1

ಲ.ಸಾ.ಅ = 5*2*3*5*38=5700 ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

2.9 ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಯಾವ a ಮತ್ತು b ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ

p(x) = (x²+3x+2) (x²+2x+a), q(x) = (x²+7x+12) (x²+7x+b)

(x+1)(x+3) ಅವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

(x²+3x+2) = (x+1)(x+2)

(x²+7x+12) = (x+4)(x+3)

p(x) = (x+1)(x+2)(x²+2x+a)

q(x) = (x+4)(x+3) (x²+7x+b)

ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) p(x), ನ ಮ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(x²+2x+a) ರ ಅಪವರ್ತನ (x+3) ಇರಲೇ ಬೇಕು

I.e. x=-3 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (x²+2x+a) =0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು

(-3)²+2(-3)+a =0

I.e. 9-6+a =0

a =-3

ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) ರ ಮ.ಸಾ.ಅ q(x), ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

(x²+7x+b) ರ ಅಪವರ್ತನ (x+1)

I.e. x=-1 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (x²+7x+b) =0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು

(-1)²+7(-1)+b =0

I.e. 1-7+b =0

b =6

ತಾಳೆ:

a ಮತ್ತು b ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು p(x) ಮತ್ತು q(x) ದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

p(x) = (x²+3x+2) (x²+2x-3) = (x+1) (x+2) (x+3) (x-1) { (x²+2x-3) = (x+3)(x-1)}

q(x) =(x²+7x+12) (x²+7x+6) = (x+4) (x+3) (x+1) (x+6) { (x²+7x+6)= (x+1)(x+6)}

p(x) ಮತ್ತು q(x) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ p(x) ) ) ಮತ್ತು q(x) ರ ಮ.ಸಾ.ಅ (x+1) (x+3) ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

2.9 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮ.