6.3 ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ (Theorem
on Parallel lines):
ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ‘ಪ್ರಮೇಯ’ (Theorem) ಎನ್ನುವರು.
ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ
ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಗಳಿರುತ್ತವೆ:-
1.
ದತ್ತ: ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ
ಕೊಟ್ಟ ಅಂಶಗಳು.
2.
ಪ್ರಮೇಯದ
ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕನುಗುಣವಾದ ಒಂದು ನಕ್ಷೆ(ಚಿತ್ರ).
3.
ಸಾಧನೀಯ:
ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು.
4.
ರಚನೆ: ಪ್ರಮೇಯದ
ಸಾಧನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ರಚನೆ ಬೇಕಾದರೆ, ಅವುಗಳ ರಚನೆ.
5.
ಸಾಧನೆ:
ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದ ಸಾಧನೆ.
‘ಪ್ರಮೇಯ’ಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ: “ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ವರ್ಗವು
ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ”. (ವಿಕರ್ಣ)2 = (ಬಾಹು)2+(ಬಾಹು)2 ಇದನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಧಿಸಲಿಕ್ಕೆ ಇದ್ದೇವೆ. |
|
6.3 ಪ್ರಮೇಯ 1: ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಕರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ
1. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
2. ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅಂತರ್ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ದತ್ತ: AB || CD, EF ಇಈ ಛೇದಕ ರೇಖೆಯು AB ಮತ್ತು CD ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ G ಮತ್ತು H ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ.
ಸಾಧನೀಯ:
1) AGH
=
GHD,
BGH=
CHG (
1
=
3,
2=
4)
2) AGH+
CHG
= 1800,
BGH+
DHG
=1800(
1+
4
= 1800,
2+
3
=1800)
ಸಂ. |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ |
|
3 |
|
ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 1: ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ. |
|
4 |
|
ಅನುರೂಪಕೋನಗಳು ಸಮ |
|
5 |
|
ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ |
|
6 |
|
ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 1: ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ. |
|
7 |
|
ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು |
|
8 |
|
ಹಂತ 5, 6 ರಿಂದ |
|
9 |
|
|
|
10 |
|
ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು |
|
11 |
|
ಹಂತ 6 ರಿಂದ |
|
12 |
|
10 ರಲ್ಲಿ |
6.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB
|| PQ ಮತ್ತು
BC || QR, ಆದರೆ
PQR
=
ABC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ
ದತ್ತ : AB || PQ, BC || QR
ಸಾಧನೀಯ: PQR
=
ABC
ರಚನೆ: PQ ವನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದೆ. ಅದು BC ಯನ್ನು T ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ. RQ ವನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದೆ. ಅದು AB ಯನ್ನು S ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ.
ಸಾಧನೆ:
|
|
6.3
ಸಮಸ್ಯೆ 2
: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB||CD. EH ಮತ್ತು FG ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ FEB
ಮತ್ತು
EFD
ಗಳ ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು.
ಆಗ, EH ಮತ್ತು FG
ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ
ರಚನೆ: CD ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ G
ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ GI ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದಿದೆ.
ಪರಿಹಾರ:
ಸಂ. |
ನಿರೂಪಣೆ |
ಕಾರಣಗಳು |
|
1 |
|
AB ||CD ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು. |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
1 ಮತ್ತು
2 ರಿಂದ
. |
|
4 |
|
AB ||CD ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು. |
|
5 |
|
|
|
6 |
|
CD ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಕೋನಗಳು (ಸರಳಯುಗ್ಮ) |
|
7 |
2 |
3 ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ 6ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದೆ . |
|
8 |
|
7 ನ್ನ ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದೆ . |
|
9 |
|
|
|
10 |
|
AB||IG ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು
. |
|
11 |
|
ಮತ್ತು 10 ರಿಂದ |
|
12 |
|
|
|
13 |
|
CD||IG ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು. |
|
14 |
|
12 ಮತ್ತು
13ರಿಂದ
. |
|
15 |
|
11 ಮತ್ತು 14 ರಿಂದ 8ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದೆ . |
|
16 |
ಆದ್ದರಿಂದ
, EH ಮತ್ತು FG ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ . |
6.3 ಪ್ರಮೇಯ 2(1ನೇ ಪ್ರಮೇಯದ
ವಿಲೋಮ): ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಿಸಿದಾಗ,
1): ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ
ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ
ಅಥವಾ
2): ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ
ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ
ಆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ದತ್ತ:
‘1) AB ಮತ್ತು CD ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು EF ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 2)
ಅಥವಾ 3)
ಸಾಧನೀಯ: AB||CD. ಸೂಚನೆ: ಮೊದಲು ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ನಂತರ 6.2.3
ಹೇಳಿಕೆ 4 ರ ಆಧಾರದಂತೆ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ |
|
6.3 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ
ಸಂ |
ಕಲಿತ
ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
1 |
ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ 1)
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. 2) ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ
ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. |
2 |
ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ, 1):
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ 2):
ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. |