6.5 ವಿವಿಧ ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳನ್ನೆಳೆಯುವುದು (Concurrent lines of triangles):

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

ತ್ರಿಭುಜದ ಶೃಂಗಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ಅಭಿಮುಖ(ಎದರು ಬದಿ) ಬಾಹುವಿಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವನ್ನು ಲಂಬರೇಖೆ(ಎತ್ತರ ) (altitude). ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ C ಶೃಂಗಬಿಂದು.. CM, C ಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವಾದುದರಿಂದ ಅದು ಎತ್ತರ. ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜಕ್ಕೆ ಮೂರು ಭುಜಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ಎತ್ತರಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
ಮೂರು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆಅವುಗಳನ್ನು ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳು (concurrent lines) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB,CD,EF ರೇಖೆಗಳು GH ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ ಅವು ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳು.

6.5.1 ಲಂಬರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯುವುದು (Construction of Altitudes):

1) ದತ್ತ ಅಳತೆಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಿ (AB =7.5 ಸೆಂ.ಮಿ, AC=4 ಸೆಂ.ಮಿ , BC =7 ಸೆಂ.ಮಿ,) 2) C ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅನುಕೂಲವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AB ಯನ್ನು (ಬೇಕಾದರೆ ವೃದ್ಧಿಸಿ)ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳು X ಮತ್ತು Y ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 3) X ಮತ್ತು Y ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳು Z ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. 4) C ಮತ್ತು Z ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ. CZ ರೇಖೆಯು ABಯನ್ನ L ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. CL ಎಂಬುದು ಒಂದು ಲಂಬರೇಖೆ (ಎತ್ತರ)
5) ಶೃಂಗ A ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅನುಕೂಲವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು BC ಯನ್ನ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ವೃದ್ಧಿಸಿ) ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳು G ಮತ್ತು H ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 6) G ಮತ್ತು H ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, HG ನ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನುI ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 7) A ಮತ್ತು I ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ. ಆ ರೇಖೆಯು BC ಯನ್ನ N ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.. ಆಗ AN ಒಂದು ಲಂಬರೇಖೆ (ಎತ್ತರ) 8) ಶೃಂಗ B ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅನುಕೂಲವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು AC ಯನ್ನ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ವೃದ್ಧಿಸಿ) ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳು E ಮತ್ತು D ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 9) E ಮತ್ತು D ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ED ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನು F ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಎಳೆಯಿರಿ. 10) B ಮತ್ತು ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಆ ರೇಖೆಯು AC ಯನ್ನ M ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಆಗ BM ಒಂದು ಲಂಬರೇಖೆ (ಎತ್ತರ)
ಗಮನಿಸಿ: ಮೂರು ಲಂಬರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ‘O’ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತವೆ
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಅವುಗಳ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳಿಗೆ ಲಂಬಗಳನ್ನೆಳೆದಾಗ, ಆ ಲಂಬಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ‘ಲಂಬಕೇಂದ್ರ’ (orthocenter) ಎನ್ನುವರು. ಈ ಬಿಂದುವನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ‘O’ ದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ನಾವು ಮೂರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಧದ (ವಿಶಾಲಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ, ಲಘುಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ) ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾ:

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ABC ವಿಶಾಲಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ. ಲಂಬಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಗೆ ಇದೆ.	ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ABC ಯು ಲಘುಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ. ಇಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.	ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ಯು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ. ಇಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಕೋನದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಇದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೃಂಗಬಿಂದುವನ್ನ ಅದರ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯು ತ್ರಿಭುಜದ ‘ಮಧ್ಯರೇಖೆ’ (median). ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರ ABC ಯಲ್ಲಿ A, B, C ಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳು.L, M, N ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ AB, BC ಮತ್ತು AC ಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. ಶೃಂಗಬಿಂದು C ಯನ್ನು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು L ಗೆ ಜೋಡಿಸುವ CL ಒಂದು ಮಧ್ಯರೇಖೆ. ಶೃಂಗಬಿಂದು A ಯನ್ನು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು M ಗೆ ಜೋಡಿಸುವ AM ಒಂದು ಮಧ್ಯರೇಖೆ. ಶೃಂಗಬಿಂದು B ಯನ್ನು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು CA ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು N ಗೆ ಜೋಡಿಸುವ BN ಒಂದು ಮಧ್ಯರೇಖೆ.

6.5.2 ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವುದು (Construction of Medians):

1) ದತ್ತ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಿ (AB = 5 ಸೆಂ.ಮಿ, AC = 5 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು CAB = 50^0 ಆಗಿರಲಿ.) 2) AB ಯನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸಿ. (AB ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AB ಯ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು X ಮತ್ತು Y ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಲಿ.) 3) X ಮತ್ತು Y ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. XY ರೇಖೆಯು AB ಯನ್ನ L ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. CL ಜೋಡಿಸಿ. ಆಗ CL ಮಧ್ಯರೇಖೆ.
4) BC ಯನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸಿ. (BC ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ BC ಯ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು P ಮತ್ತು Q ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಲಿ.) 5) P ಮತ್ತು Q ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿರಿ. PQ ರೇಖೆಯು BC ಯನ್ನು M ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಲಿ. AM ಇದು ಇನ್ನೊಂದು ಮಧ್ಯರೇಖೆ.. ಇದೇರೀತಿ B ಬಿಂದುವಿನಿಂದಲೂ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.
ಗಮನಿಸಿ: ಮೂರು ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು G ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತವೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು “ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ” (centroid) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ‘G’ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ (ವಿಶಾಲಕೋನ, ಲಘುಕೋನ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು) ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ G ಯಿಂದ ಶೃಂಗಬಿಂದುವಿಗೂ ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿಗೂ ಇರುವ ದೂರಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ.
ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ (ಲಘುಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ) 2GH = AG, 2GI= BG, 2GJ=GC.	ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ (ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ) 2GX = DG, 2GY=EG, 2GZ=GF.	ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ (ವಿಶಾಲಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ) 2GS=PG, 2GT=QG, 2UG=GR.

ಇದರಿಂದ ನಾವೇನನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು?

ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರವು ಪ್ರತೀ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ಶೃಂಗಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 2:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು “ಲಂಬಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು” (perpendicular bisector).

6.5.3 ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳಿಗೆ ಲಂಬಾರ್ಧಕರೇಖೆಗಳನ್ನೆಳೆಯುವುದು.(Construction of perpendicular bisector):

ಹಂತ 1: ದತ್ತ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ರಚಿಸಿರಿ (AB=7.5 ಸೆಂ.ಮಿ, ABC=45,AC=4 ಸೆಂ.ಮಿ) ಹಂತ 2: A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು AB ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AB ಯು ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು X ಮತ್ತು Y ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಹಂತ 3: X ಮತ್ತು Y ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ. XY  ರೇಖೆಯು AB ಯನ್ನು L ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.. (XY ರೇಖೆಯು AB ಯನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು AB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ.)
ಹಂತ 4: B ಮತ್ತು C ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು BC ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ BC ಯು ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು P ಮತ್ತು Q ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಹಂತ 5: PQ ಜೋಡಿಸಿ. ಈ ರೇಖೆಯು BC ಯನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ (PQ ರೇಖೆಯು BC ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದು BC ಯನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.) ಹಂತ 6: A ಮತ್ತು C ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು AC ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AC ಯು ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು T ಮತ್ತು U ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಹಂತ 7: TU ಜೋಡಿಸಿ. ಈ ರೇಖೆಯು AC ಯನ್ನು N ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ (TU ರೇಖೆಯು AC ಯನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.)
ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಲಂಬಾರ್ಧರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ‘S’ ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಭವಿಸುತ್ತವೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:ತ್ರಿಜ್ಯದ ಬಾಹುಗಳ ಲಂಬಾರ್ಧರೇಖೆಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು “ಪರಿಕೇಂದ್ರ” (Circumcenter) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ‘S’ ಅಥವಾ ‘C’ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ABಯ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕXY ಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದು ಕೂಡಾ A ಮತ್ತು B ಯಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ‘S’ ಕೂಡಾ A ಮತ್ತು B ಯಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ..

ಅದೇರೀತಿ, PQ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ B ಮತ್ತು C ಯಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ‘S’ ಕೂಡಾ B ಮತ್ತು C ಯಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, SA=SB=SC.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವೀಗ S ನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು SA ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆದರೆ, ಆ ವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗ ಬಿಂದು (A, B, C) ಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಆ ತ್ರಿಕೋನದ “ಪರಿವೃತ್ತ” (circumcircle’) ಎನ್ನುವರು.

ನಾವೀಗ, ಮೂರು ವಿಧದ(ವಿಶಾಲಕೋನ, ಲಂಬಕೋನ ಮತ್ತು ಲಘುಕೋನ) ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾ.

ಚಿತ್ರ 1	ಚಿತ್ರ 2	ಚಿತ್ರ 3
ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ PQR ವು ವಿಶಾಲಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಪರಿಕೇಂದ್ರ ‘S’ , ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರ ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ	ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ಯು ಲಘುಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು ಪರಿಕೇಂದ್ರ ‘S’, ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗಿದೆ	ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ DEF ವು ಲಂಬಕೋನತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಪರಿಕೇಂದ್ರ ‘S’, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲಿದೆ.

6.5.4 ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನೆಳೆಯುವುದು (Construction of angular bisector):

ಹಂತ 1: ದತ್ತ ಅಳತೆಯ ABC ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ರಚಿಸಿರಿ. ಹಂತ 2: A ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು AB ಮತ್ತು AC ಗಳನ್ನು P ಮತ್ತು Q ಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಹಂತ 3: P ಮತ್ತು Q ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು PQ ನ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, R ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಹಂತ 4: AR ಜೋಡಿಸಿ. ಇದು CAB ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕರೇಖೆ.
ಹಂತ 5: B ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಅನುಕೂಲವಾದ ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ,, BC ಮತ್ತು BA ಗಳನ್ನು T ಮತ್ತು S ಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಹಂತ 6: T ಮತ್ತು S ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, TS ನ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳು U ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ ಹಂತ 7: BU ಜೋಡಿಸಿ. ಇದು ABC ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕರೇಖೆ. ಹಂತ 8: C ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಅನುಕೂಲವಾದ ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ,, CA ಮತ್ತು CB ಗಳನ್ನು W ಮತ್ತು V ಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಹಂತ 9: W ಮತ್ತು V ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, WV ನ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳು X ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ ಹಂತ 10: CX ನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ. ಇದು ACB ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕರೇಖೆ. ಹಂತ 11: ಮೂರು ಕೋನಾರ್ಧಕಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವುದು. ಅದನ್ನು I ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ.
ಗಮನಿಸಿ: ಮೂರು ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ‘I’ ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಭವಿಸುತ್ತವೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು “ಅಂತಃಕೇಂದ್ರ” (Incenter) ಎನ್ನುವರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನ ‘I’ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

6.5.5 ಅಂತಃವೃತ್ತದ ರಚನೆ (Construction of Incircle):

ಹಂತ 1: ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂತಃಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.(I) ಹಂತ 2: I ಯಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳಾದ AB, BC ಮತ್ತು CA ಗಳಿಗೆ ಲಂಬಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆ ಬಾಹುಗಳನ್ನು L,M ಮತ್ತು N ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. IL=IM=IN ಆಗಿರುವುದನ್ನ ಗಮನಿಸಿ. ಹಂತ 3: I ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು IL ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂತಃಕೇಂದ್ರವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತವೇ ಆ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂತಃವೃತ್ತ.(incircle).

ಗಮನಿಸಿ:

1. ಮೂರು ವಿಧದ(ವಿಶಾಲಕೋನ, ಲಂಬಕೋನ ಮತ್ತು ಲಘುಕೋನ) ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತ:ಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

2. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೇಂದ್ರ = ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ = ಪರಿಕೇಂದ್ರ = ಅಂತಃಕೇಂದ್ರ

ಸಂಖ್ಯೆ	ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳು	ಏಕೀಭವನ ಬಿಂದುಗಳು	ಬಿಂದುವಿನ ಹೆಸರು	ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನ
1	ಲಂಬಗಳು	O	ಲಂಬ ಕೇಂದ್ರ	***
2	ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು	I	ಅಂತಃಕೇಂದ್ರ	ಯಾವಾಗಲೂ ಒಳಗೆ
3	ಮಧ್ಯ ರೇಖೆಗಳು	G	ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ	ಯಾವಾಗಲೂ ಒಳಗೆ
4	ಲಂಬಾರ್ಧಕಗಳು	S/C	ಪರಿಕೇಂದ್ರ	***

*** : ವಿಶಾಲಕೋನವಾದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಗೂ, ಲಘುಕೋನವಾದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೂ, ಮತ್ತು ಲಂಬಕೋನವಾದರೆ ಲಂಬಕೋನದ ಶೃಂಗ/ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲೂ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನ ಇರುತ್ತದೆ.

How to Remember?

OIGS stands for On India Government Services is for All (Altitudes) Indian (Angular) Middle(Medians) class People (Perpendicular bisectors).

ಅಭ್ಯಾಸ:

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೂ 4 ಕೇಂದ್ರಗಳು ಇದ್ದೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತಿರುವ ತ್ರಿಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಂದು ಮರದ ಹಲಗೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿಯೇ ಕೊರೆದ ರಂಧ್ರದ ಮೂಲಕ ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಹಗ್ಗದ ಆಧಾರದಿಂದ ಆ ಹಲಗೆಯನ್ನು ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇತಾಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದಲ್ಲಿ ಆ ರಂಧ್ರ ಯಾವ ಬಿಂದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ?

6.5 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ.	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಅದರ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರ.
2	ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳು ಹಾದು ಹೋಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವೇ ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದು.
3	ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಲಂಬಕೇಂದ್ರ (O)
4	ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ (G)
5	ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳ ಲಂಬಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು ಏಕೀಕರಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಪರಿಕೇಂದ್ರ (S). ಪರಿಕೇಂದ್ರ್ರವು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದ್ದು, ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತವು ಪರಿವೃತ್ತ.
6	ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಾರ್ಧಕಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಅಂತಃಕೇಂದ್ರ(I). ಅಂತಃಕೇಂದ್ರವು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದ್ದು, ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತವು ಅಂತಃವೃತ್ತ.

ಗಮನಿಸಿ: ಮುಂದೆ ಪಾಠ 6.13 ರಲ್ಲಿ ಈ ರೇಖೆಗಳ ಏಕೀಭವನವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಿಕ್ಕಿದ್ದೇವೆ.