6.4 ಚತುರ್ಭುಜಗಳು (Quadrilateral)

6.7.1 ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು(Properties of Quadrilaterals)

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟ ಆಕೃತಿಯೇ ‘ಚತುರ್ಭುಜ’ (quadrilateral).

ಲಕ್ಷಣಗಳು

4 ಶೃಂಗಗಳು

4 ಬಾಹುಗಳು

4 ಕೋನಗಳು

2 ಕರ್ಣಗಳು

A, B, C, D

BC, CD,DA,AB

ABC, BCD, CDA, DAB

BD,AC

ಪ್ರತೀ ಕರ್ಣವೂ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು 2 ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

(BAC ಮತ್ತು ADC ಗಳಲ್ಲಿ AC ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾದ).

(BAD ಮತ್ತು BDC ಗಳಲ್ಲಿ BD ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾದ).

ಇತರ ಪದಗಳು	ಲಕ್ಷಣಗಳು:
ಪಾರ್ಶ್ವ (adjacent) ಬಾಹುಗಳು	ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು
ಅಭಿಮುಖ (opposite) ಬಾಹುಗಳು	ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು
ಅನುಕ್ರಮ (adjacent) ಕೋನಗಳು	ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಕೋನಗಳು
ಅಭಿಮುಖ (opposite) ಕೋನಗಳು	ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹುವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು

ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹುಗಳು ( ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ ಇದೆ)	ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ( ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ ಇಲ್ಲ)	ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು ಇದೆ)	ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು ಇಲ್ಲ)
(AB,BC) : B ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ (BC,CD) : C ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ (CD,DA) : D ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ (DA,AB) : A ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ	(AB,CD) (AD,BC)	( ABC, BCD) : BC ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು (BCD, CDA) : CD ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು ( CDA, DAB) : DA ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು ( DAB, ABC) : AB ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು	(ABC, ADC) (BAD , BCD)

ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ನಾಲ್ಕು ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 360⁰  ಇದನ್ನ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಧಿಸಬಹುದೆ?

6.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳು 4:5:6:9. ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ. ಆ ಕೋನಗಳುನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 360^0 ಕೋನಗಳ ಅನುಪಾತ = 4:5:6:9 ಆ ಕೋನಗಳ ಪರಿಮಾಣ = 4x, 5x, 6x, 9x ಆಗಿರಲಿ. ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 4x+5x+6x+9x = 360^0: 24x = 360^0: x = 360/24 = 15^0 1 ನೇ ಕೋನ = 4x = 4*15 = 60^0,2 ನೇ ಕೋನ = 5x = 5*15 =75^0 3 ನೇ ಕೋನ = 6x = 6*15 =90^0,4 ನೇ ಕೋನ = 9x= 9*15 = 135^0 ಚತುರ್ಭುಜದ ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳು = 60^0, 75^0, 90^0 ಮತ್ತು 135^0.

6.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳು: 3x, 3x+15⁰, 3x+30⁰ ಮತ್ತು 90⁰ ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಚತುರ್ಭುಜದ ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 360^0 3x+3x+15^0+3x+30^0+90^0 = 360^0 9x+135^0=360^0 9x=225^0 x= 25^0 1 ನೇ ಕೋನ 3x = 75^0, ,2 ನೇ ಕೋನ 3x+15^0 =75^0+15^0=90^0 3 ನೇ ಕೋನ 3x+30^0 = 105^0, 4 ನೇ ಕೋನ = 90^0(ದತ್ತ) ಈ ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 360^0 ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ನಾವೀಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಆರು ಅಂಶಗಳಿವೆ. (3 ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು 3 ಕೋನಗಳು). ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ನಿಖಿರವಾಗಿ ರಚಿಸಲು(3 ಬಾಹುಗಳು ಅಥವಾ 2 ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು 1 ಕೋನ ಅಥವಾ 1 ಬಾಹು ಮತ್ತು 2 ಕೋನಗಳು) ಇವುಗಳ ಅಳತೆಗಳು ಸಾಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ(ಪಾಠ 6.4.3)

[3 ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡಿದಾಗ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಭುಜ ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.]

ತ್ರಿಭುಜಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ 10 ಅಂಶಗಳಿವೆ(4 ಬಾಹುಗಳು, 4 ಕೋನಗಳು, 2 ಕರ್ಣಗಳು). ಹಾಗಾದರೆ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ರಚಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ 10 ಅಂಶಗಳು ಬೇಕೇ? ಬರೇ 4 ಅಂಶಗಳಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ನಿಖಿರವಾಗಿ ರಚಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ 5 ಅಂಶಗಳು ಬೇಕು. (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು ಇರಲೇ ಬೇಕು)

6.7.1 ತಃಖ್ತೆ1:

ಸಂ.	ದತ್ತ ಬಾಹುಗಳು	ದತ್ತ ಕರ್ಣಗಳು	ದತ್ತ ಕೋನಗಳು	ಒಟ್ಟು ಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು
1	2	2	1	5
2	2	1	2	5
3	4	1	-	5
4	4	-	1	5
5	3	-	2 (ಅಂತರ್ಗತ)	5
6	3	2	-	5
7	2 (ಪಾರ್ಶ್ವ)	-	3	5

ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಕ್ರಮ (General method for construction of quadrilateral):

(ಮೇಲಿನ ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಂತೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಶದ ಅಳತೆ ಕೊಟ್ಟಾಗಲೂ, ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ರಚನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.)

ಗಮನಿಸಿ:

a) ಒಂದು ಬಾಹುವನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಕ್ರಮ:

ಮೊದಲು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ದತ್ತ ಬಾಹುವಿನ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಈ ರೇಖೆಯನ್ನ ಕಡಿದು, ಆ ಬಾಹುವನ್ನ ಪಡೆಯಿರಿ.

b) ಕೋನಗಳನ್ನ ರಚಿಸುವಾಗ ಕೋನ ಮಾರ್ಪಕವನ್ನ ಉಪಯೋಗಿಸಿರಿ.

c) ಯಾವುದೇ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ರಚಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ಕ್ರಮ.

ಹಂತ 1: ಮೊದಲ ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಕರಡು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಹಂತ 2: ಬೇಕಾದ ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನ ಪಡೆಯಲು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ (a,b) ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ.

1. ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು, ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆ:-

6.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3: AB=4 ಸೆಂ.ಮಿ.BC=2 ಸೆಂ.ಮಿ.AC=5 ಸೆಂ.ಮಿ.BD=4 ಸೆಂ.ಮಿ.DAB= 60⁰ ಇರುವಂತೆ ABCD ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಮೊದಲು ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಿರಿ.

1. A ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, ಇದರಮೂಲಕ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 2. ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 4 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಈ ರೇಖೆಯನ್ನ ಛೇದಿಸಿ.ಈ ಬಿಂದುವೇ B (AB=4 ಸೆಂ.ಮಿ.) 3. B ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 2 ಸೆಂ.ಮಿ.ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 4. A ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 5 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ಕಂಸವನ್ನ ಅ ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. (AC=5 ಸೆಂ.ಮಿ..,BC=2 ಸೆಂ.ಮಿ..) 5. Aಯಲ್ಲಿAB ಯ ಜೊತೆ 60^0 ಕೋನವಾಗುವಂತೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 6. B ಯಿಂದ,4 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ D ಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. (DAB= 60^0, BD=4ಸೆಂ.ಮಿ..) DC ಜೋಡಿಸಿ. ABCD ಯು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಚತುರ್ಭುಜ.

2. ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು, ಒಂದು ಕರ್ಣ ಮತ್ತು ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆ:

6.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 4: AB=4 ಸೆಂ.ಮಿ.BC=3 ಸೆಂ.ಮಿ.BD=5 ಸೆಂ.ಮಿ.ABC= 60⁰, BCD= 65⁰ ಇರುವಂತೆ ABCD ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

ಮೊದಲು ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಿರಿ.

1. A ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, ಇದರಮೂಲಕ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 2. A ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 4 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಈ ರೇಖೆಯನ್ನ B ಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ (AB=4 ಸೆಂ.ಮಿ.) 3. B ಯಲ್ಲಿ AB ಯ ಜೊತೆ 60^0 ಕೋನ ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 4. B ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 3 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ C ಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. (BC=3 ಸೆಂ.ಮಿ.ABC=60^0) 5. C ಯಲ್ಲಿ BC ಯ ಜೊತೆ 65^0 ಕೋನ ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 6. B ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 5 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ ಆ ಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ ABCD ಯು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಚತುರ್ಭುಜ.

3. ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳು, ಒಂದು ಕೋನವನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆ:-

6.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 5: PQ=4 ಸೆಂ.ಮಿ.QR=3 ಸೆಂ.ಮಿ.RS=2.5 ಸೆಂ.ಮಿ.PS=3.5 ಸೆಂ.ಮಿ.SPQ= 50⁰ ಇರುವಂತೆ PQRS ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

ಮೊದಲು ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

1. P ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ. 2. P ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 4 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಈ ರೇಖೆಯನ್ನ Q ಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ (PQ =4 ಸೆಂ.ಮಿ.) 3. B ಯಲ್ಲಿ PQ ಯ ಜೊತೆ 50^0 ಕೋನ ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 4. B ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 3.5 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ S ಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. (PS=3.5 ಸೆಂ.ಮಿ.SPQ= 50^0) 5. S ನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 2.5 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 6. Q ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 3 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ R ಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. (SR=2.5 ಸೆಂ.ಮಿ.,QR=3 ಸೆಂ.ಮಿ.) SR ಮತ್ತು QR ಗಳನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ. PQRS ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಚತುರ್ಭುಜ.

ಅಭ್ಯಾಸ: ತಃಖ್ತೆ 6.7.1 ರಲ್ಲಿ 7 ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ(ವಿವಿಧ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ) ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ನಿಖರವಾಗಿ ರಚಿಸಬಹುದೆಂದು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ 3 ವಿಧವಾಗಿ (ಹಸಿರು ಬಣ್ಣ) ರಚಿಸುವುದು ಮೇಲಿನಂತಿವೆ. ಇನ್ನು ಉಳಿದ 4 ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ (ಹಳದಿ ಬಣ್ಣ) ಅಳತೆಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನ ರಚಿಸಿ.

6.7.2 ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (Area of a Triangle)

ಪಕ್ಕದ ABC ಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AD, BF, CE ಗಳು BC, AC ಮತ್ತು AB ಗಳಿಗೆ ಅಭಿಮುಖ ಶೃಂಗ ಬಿಂದುಗಳಾದ A, B , C ಗಳಿಂದ ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳು. ತ್ರ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =(1/2) ಪಾದ * ಎತ್ತರ (ಲಂಬೋನ್ನತೆ) ABC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (1/2)BC*AD = (1/2)AC*BF =(1/2)AB*CE ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನ 6.8.7 ರಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಿದ್ದೇವೆ.

6.7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜಾಕಾರದ ಹೊಲದ ಪಾದವು ಎತ್ತರದ ಮೂರರಷ್ಟಿದೆ. ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸಾಯ ಮಾಡಲು 100 ಚ.ಮೀಟ್ರಿಗೆ ರೂ. 36.72 ರಂತೆ 49,572 ರೂ. ಖರ್ಚಾದರೆ, ಹೊಲದ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

ಹೊಲದ ವ್ಯವಸಾಯ ಮಾಡಲು ತಗಲುವ ಖರ್ಚು = ರೂ. 49,572 = ಹೊಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ* ಖರ್ಚು(ಚ.ಮಿ ನಲ್ಲಿ) = ಹೊಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ *(36.72/100). ಹೊಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 49572*(100/36.72) = 135000 ಚ.ಮಿ. ಹೊಲದ ಎತ್ತರ = x ಆಗಿರಲಿ ಪಾದ = 3x ಹೊಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (1/2) *ಪಾದ*ಎತ್ತರ = (1/2)*3x*x = 3x^2/2 =13500 x^2  =135000*2/3 =90000  x  =300 ಮಿ. ಹೊಲದ ಎತ್ತರ = 300 ಮಿ. ಪಾದ = 900 ಮಿ

ತಾಳೆ:

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (1/2)*900*300 = 900*150 = 135000

ವ್ಯವಸಾಯ ಖರ್ಚು = 135000*(36.72/100) = 49572 ದತ್ತಾಂಶವೇ ಆಗಿದೆ.

6.7.3 ಚರ್ತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (Area of a quadrilateral)

ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣ ಅದನ್ನ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿದೆ. ಈ ಲಕ್ಷಣವನ್ನೇ ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

PQRS ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ PR ಕರ್ಣವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. Qದಿಂದ PR ಗೆ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ (QA= h1). Sನಿಂದ PR ಗೆ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ (SB=h2) h1 ಮತ್ತು h2 ಗಳು PQR ಮತ್ತು PRS ಗಳ ಎತ್ತರಗಳು. PQR ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½(ಪಾದ *ಎತ್ತರ) =1/2(PR* h1) PRS ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½(ಪಾದ *ಎತ್ತರ) = 1/2(PR* h2) ಚತುರ್ಭುಜ PQRS ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = PQR ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + PRS ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½(PR* h1)+ ½(PR* h1) = 1/2*PR* (h1+h2) ಚದರ ಮಾನಗಳು ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2 * ಕರ್ಣ* ಪಾದಕರ್ಣಕ್ಕೆಳೆದ ಲಂಬೋನ್ನತಿಗಳ ಮೊತ್ತ

6.7.4 ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ವಿಧಗಳು (Types of quadrilaterals)

ವಿಧಗಳು	ಲಕ್ಷಣಗಳು	ಚಿತ್ರ	ಬಾಹುಗಳೊಳಗೆ ಸಂಬಂಧ	ಕೋನಗಳ ಸಂಬಂಧ	ಕರ್ಣಗಳ ಸಂಬಂಧ
ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ	ಎರಡೂ ಜತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ		1. ಎರಡೂ ಜತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ 2. ಎರಡೂ ಜತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ..	1. ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ 2. ಯಾವುದೇ 2 ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180^0	1. ಕರ್ಣವು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಎರಡು ಸರ್ವ ಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ 2. ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.
ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ	ಕೇವಲ ಒಂದು ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ		ಒಂದು ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ	ಸಮಾಂತರವಲ್ಲದ ಬಾಹುಗಳ ಅಂತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ
ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ	ಒಂದು ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ. ಸಮಾಂತರ ವಲ್ಲದ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.		1. ಒಂದು ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ 2. ಸಮಾಂತರ ಅಲ್ಲದ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.	ಸಮಾಂತರವಲ್ಲದ ಬಾಹುಗಳ ಅಂತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ. ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳ ಅಂತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳು ಸಮ.	ಕರ್ಣಗಳು ಸರ್ವಸಮ.
ಆಯತ	ಎರಡೂ ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳು		1. ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. 2. ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ.	ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.	1. ಕರ್ಣವು ಆಯತವನ್ನು ಎರಡು ಸರ್ವ ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ. 2. ಕರ್ಣಗಳು ಸಮ. 3. ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.
ವಜ್ರಾಕೃತಿ	ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. ಎರಡೂ ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ		1. ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. 2.   ಎರಡೂ ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ	1. ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮ. 2. ಯಾವುದೇ 2 ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180^0	1. ಕರ್ಣಗಳು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯನ್ನು 2 ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ. 2. ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.
ಚೌಕ	ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಲಂಬಕೋನಗಳು		1. ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. 2.   ಎರಡೂ ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರ.	ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದು ಲಂಬಕೋನಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ..	1. ಕರ್ಣಗಳು ಚೌಕವನ್ನ ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಬಾಗಿಸುತ್ತವೆ. 2. ಕರ್ಣಗಳು ಸಮ. 3. ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಪರಿವಾರ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು:

6.7.4 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅನುಕ್ರಮ ಎರಡು ಕೋನಗಳು, (x+30) ಮತ್ತು (2x-60) ಆಗಿವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಆ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

¸ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ =180^0 (x+30)+(2x-60) = 180^0 {(x+30) ಮತ್ತು (2x-60) ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳು } 3x-30 = 180^0 x =70^0 ಆ ಕೋನಗಳು: x+30 = 100^0 ಮತ್ತು 2x-60 = 80^0 ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮ. ಉಳಿದೆರಡು ಕೋನಗಳು 100^0 ಮತ್ತು 80^0. ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳು:- 100^0, 80^0, 100^0 ಮತ್ತು 80^0

6.7.4 ಸಮಸ್ಯೆ 2:   ABCD ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, DAB= 70⁰, DBC = 80⁰ ಆದರೆ CDB ಮತ್ತು ABD ಗಳನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180^0. BAD + ABD+DBC = 180^0:70^0+ABD+80^0 = 180^0 ABD = 180^0-70^0-80^0 =30^0 BA || CD, ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮ. CDB = ABD ಮತ್ತು ADB =DBC CDB = 30^0, ADB = 80^0 ABC = ABD+DBC = 30^0+80^0 =110^0 ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಅಭುಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮ. BCD = 70^0. ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳು:- 70^0, 110^0, 70^0ಮತ್ತು 110^0

6.7.4 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು 3:5 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆ 48 ಸೆಂ.ಮಿ. ಆದರೆ ಆ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ,ಸುತ್ತಳತೆ =  ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳ ಮೊತ್ತ ಅನುಕ್ರಮ ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತ = 3:5: ಆ ಬಾಹುಗಳು 3x ಮತ್ತು 5x ಆಗಿರಲಿ   3x+5x+3x+5x = 48: 16x =48  x = 48/16 = 3 3x = 3*3 = 9 ಸೆಂ.ಮಿ.5x = 5*3 = 15 ಸೆಂ.ಮಿ. ಅನುಕ್ರಮ ಬಾಹುಗಳು 9 ಸೆಂ.ಮಿ.ಮತ್ತು 15 ಸೆಂ.ಮಿ. ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬಾಹುಗಳು 9 ಸೆಂ.ಮಿ.15 ಸೆಂ.ಮಿ.9 ಸೆಂ.ಮಿ.. ಮತ್ತು 15 ಸೆಂ.ಮಿ. ತಾಳೆ: ಸುತ್ತಳತೆ = ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳ ಮೊತ್ತ = 9+15+9+15 = 48 ಸೆಂ.ಮಿ(ದತ್ತಾಂಶ)

6.7.1 ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರದಂತೆ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ:

a, b ಮತ್ತು c ಗಳು ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದಗಳಾದರೆ ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರದಂತೆ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಇಲ್ಲಿ s = (a+b+c)/2 (ತ್ರಿಭುಜದ ಅರ್ಧ ಸುತ್ತಳತೆ) ಗಮನಿಸಿ: ಇದನ್ನು ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆಯಾದರೂ ಭಾಸ್ಕರ ತನ್ನ ‘ಲೀಲಾವತಿ ‘ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾನೆ(ಶ್ಲೋಕ 169).

6.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜಾಕೃತಿಯ ಉದ್ಯಾನವನದ ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದ 18m, 24m ಮತ್ತು 30m ಆದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? ಹಾಗೆಯೇ ಅತೀ ಉದ್ದದ ಬಾಹುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಲಂಬದ ಎತ್ತರ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

a=18, b=24 ಮತ್ತು c=30 ಆಗಿರಲಿ.

s = (a+b+c)/2 = 36

ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = = = = 216

ಅತೀ ಉದ್ದದ ಬಾಹು 30m ಆಗಿದೆ. h ಎನ್ನುವುದು ಎತ್ತರ ಆಗಿರಲಿ.

ಆಗ 216 = 1/2*30*h (ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (1/2)* ಪಾದ *ಎತ್ತರ)

h = 216/15 = 14.4m

ತಾಳೆ:

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2*30*14.4 = 216

6.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 32 cm ಕರ್ಣ ಇರುವ ಚೌಕವನ್ನು ಹಾಗೂ 8 cm ಪಾದವನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತೀ ಬಾಹು 6 cm ಇರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜದ ಆಕಾರದಲ್ಲಿರುವ ಗಾಳಿಪಟವು ಮೂರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಛಾಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿರುವ ಪ್ರತೀ ಛಾಯೆಯ ಕಾಗದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೆಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

ಗಾಳಿಪಟ ವಜ್ರಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಕರ್ಣ AC^2 = AB^2 + BC^2 ಮತ್ತು AB=BC 32^2= 2AB^2 I ಛಾಯೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =II ಛಾಯೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಚ. ಸೆ.ಮೀ. = (ABCD ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) = (AB*AB)= AB^2=16*32=256 ಚ. ಸೆ.ಮೀ. ಗಾಳಿಪಟದ ಪಾದ ತ್ರಿಭುಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರದ s ==10. ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = = = = 8

Note: ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ 4 ಬಾಹುಗಳ ಮತ್ತು 1 ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕದಂತೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

6.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ನೆಲದ ಮೇಲಿರುವ ಒಂದು ಹೂವಿನ ವಿನ್ಯಾಸವು 8 ಚತುರ್ಭುಜಾಕಾರದ ಹಾಸುಗಲ್ಲುಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದರ ಬಾಹುಗಳು 28cm,9cm, 9cm ಮತ್ತು 28cm ಆಗಿವೆ. ಇದರ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ 35cm ಆಗಿದೆ. ಈ ಹಾಸುಗಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ cm² ಗೆ 50 ಪೈಸೆಯಂತೆ ನುಣುಪು ಮಾಡಲು ತಗಲುವ ವೆಚ್ಚ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

ಪ್ರತಿ ಹಾಸುಗಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2* ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳು: a=28, b=9 ಮತ್ತು c=35. s = (a+b+c)/2 = 36 ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = = = =88.2 ಚ. ಸೆಂ.ಮೀ ಹಾಸುಗಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2* ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 176.4 ಚ. ಸೆಂ.ಮೀ ನುಣುಪು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಜಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಹಾಸುಗಲ್ಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ * ಹಾಸುಗಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 8*176.4 = 1411.2 ಚ. ಸೆಂ.ಮೀ ನುಣುಪು ಮಾಡಲು ತಗಲುವ ವೆಚ್ಚ = ರೂ 0.5*1411.2 = ರೂ. 705.6

6.7 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ.	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2 * ಕರ್ಣ * ಪಾದ ಕರ್ಣಕ್ಕೆಳೆದ ಲಂಬೋನ್ನತಿಗಳ ಮೊತ್ತ.
2	ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರ :ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ; s = (a+b+c)/2