6.8 ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು (Parallelogram):

6.8.1 ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ರಚನೆ (Construction of parallelogram)

ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ನಿಖಿರವಾಗಿ ರಚಿಸಲು, ನಮಗೆ 5 ಅಂಶಗಳು ಬೇಕು ಎಂದು ಈ ಹಿಂದೆ 6.7.1 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ: ಅದರಂತೆ ಚತುರ್ಭುಜ ರಚನೆಗೆ ಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು:

ಸಂ.	ದತ್ತ ಬಾಹುಗಳು	ದತ್ತ ಕರ್ಣಗಳು	ದತ್ತ ಕೋನಗಳು	ಒಟ್ಟು ಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು
1	2	2	1	5
2	2	1	2	5
3	4	1	-	5
4	4	-	1	5
5	3	-	2 (ಅಂತರ್ಗತ)	5
6	3	2	-	5
7	2 (ಪಾರ್ಶ್ವ)	-	3	5

ಆದರೆ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜ. ಇದರಲ್ಲಿ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರ, ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸರ್ವಸಮ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ರಚಿಸಲು ನಮಗೆ ಕೇವಲ 3 ಅಂಶಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸಾಕು.

ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ರಚನೆಗೆ ಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು:

ಸಂ.	ದತ್ತ ಬಾಹುಗಳು	ದತ್ತ ಕರ್ಣಗಳು	ದತ್ತ ಕೋನಗಳು	ಒಟ್ಟು ಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು
1	2	1	-	3
2	2	-	1	3
3	-	2	1(ಛೇದನ)	3
4	1	2	-	3

6.8.1.1 ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕರ್ಣವನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆ:

ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸರ್ವಸಮ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆಯು – 4 ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕರ್ಣವನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿದಂತೆಯೇ ಆಗಿದೆ. (6.6.1 ನೋಡಿ).

6.8.1 ಅಭ್ಯಾಸ 1: ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಬಾಹುಗಳು 5 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು 3 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕರ್ಣವು 6 ಸೆಂ.ಮಿ ಇದ್ದರೆ, ಆ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ. (ಬಾಹುಗಳು: 5 ಸೆಂ.ಮಿ, 3 ಸೆಂ.ಮಿ, 5 ಸೆಂ.ಮಿ,3 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು ಕರ್ಣ 6 ಸೆಂ.ಮಿ.)

6.8.1.2. ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೋನವನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆ:-

ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸರ್ವಸಮ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ, ಆ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸುವುದೆಂದರೆ, 4 ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕರ್ಣವನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿದಂತೆಯೇ ಆಗಿದೆ. (6.6.1 ನೋಡಿ).

6.8.1 ಅಭ್ಯಾಸ 2: PQ=5 ಸೆಂ.ಮಿ., QR=4 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು PQR = 70^0 ಇರುವಂತೆ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ. (ಇಲ್ಲಿ ಬಾಹುಗಳು PQ=5 ಸೆಂ.ಮಿ. ,QR=4 ಸೆಂ.ಮಿ. ,RS=5 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು PS=4 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು PQR = 70^0)

6.8.1.3. ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಕೋನವನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆ:

6.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳು 4 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು 5 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ 70⁰ ಕೋನವಾಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

ಮೊತ್ತಮೊದಲು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರ ರಚಿಸಿ.

ಹಂತ	ರಚನೆ
1	A ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.
2	Aಯಿಂದ4 ಸೆಂ.ಮಿ ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ ಅಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ (AC=4 ಸೆಂ.ಮಿ.)
3	AC ಯನ್ನ ವಿಭಾಗಿಸಿ. O ಮಧ್ಯಬಿಂದು. (A ಮತ್ತು CಯಿಂದAC ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AC ಯ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಆ ಕಂಸಗಳು X ಮತ್ತು Y ಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಲಿ. XY ಜೋಡಿಸಿ. XYಯು AC ಯ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕ.ಅದು ACಯನ್ನ O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ..
4	O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ACಯೊಂದಿಗೆ 70^0 ಕೋನವಾಗುವಂತೆ AC ಯ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.
5	O ಬಿಂದುವಿನಿಂದ 2.5 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ B ಮತ್ತು D ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. AB, BC, CD ಮತ್ತು DA ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

ABCD ಯು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ.

6.8.1.4. ಒಂದು ಬಾಹು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆ:

ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಲಕ್ಷಣವನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ, ದತ್ತ ಬಾಹುವನ್ನ ಪಾದರೇಖೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿ ಕರ್ಣಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟನ್ನ ಇನ್ನೆರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿ ತ್ರಿಕೋನ ರಚಿಸಿ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನ ಮುಂದುವರಿಸಿ.

6.8.1 ಅಭ್ಯಾಸ 3: BC=4.5 ಸೆಂ.ಮಿ ಕರ್ಣಗಳು AC=4 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು  BD=5 ಸೆಂ.ಮಿ ABCD ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ರಚಿಸಿ. 1) 6.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, AO=OC, BO=OD ಲಕ್ಷಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ, BCO ತ್ರಿಕೋನ ರಚಿಸಿ. 2) ಇಲ್ಲಿ BC=4.5 ಸೆಂ.ಮಿ, CO=2 ಸೆಂ.ಮಿ BO=2.5 ಸೆಂ.ಮಿ 3) ನಂತರ CO ಮತ್ತು BOಗಳನ್ನOA = 2 ಸೆಂ.ಮಿ OD=2.5 ಸೆಂ.ಮಿ ಆಗುವಂತೆ ವೃದ್ಧಿಸಿ. 4) CD, DA, AB ಗಳನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ.

6.8.1.5. ಅನುಕ್ರಮ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರವನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸುವುದು..

6.8.1 ಅಭ್ಯಾಸ 4:  ಅನುಕ್ರಮ ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹುಗಳು AB=4 ಸೆಂ.ಮಿ, BC = 5 ಸೆಂ.ಮಿ

BC ಯಿಂದ ಎತ್ತರ 3.5 ಸೆಂ.ಮಿ ABCD ಇರುವಂತೆ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

ಹಂತ	ರಚನೆ
1	B ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.
2	Bಯಿಂದ5 ಸೆಂ.ಮಿ ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ ಅಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ (BC=5 ಸೆಂ.ಮಿ)
3	BC ಯ ಮೇಲೆ XY ಮತ್ತು PQ ಎನ್ನುವ 2 ಲಂಬರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಅದು BC ಯನ್ನು T ಮತ್ತು U ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಲಿ.
4	U ಮತ್ತು T ನಿಂದ 3.5 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ XY ಮತ್ತು PQ ರೇಖೆಗಳನ್ನು R ಮತ್ತು S ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಿರಿ. RS ವೃದ್ಧಿಸಿ.. (RS, BCಯಿಂದ3.5 ಸೆಂ.ಮಿ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ).
5	B ಯಿಂದ 4 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ RS ರೇಖೆಯನ್ನ A ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ (BA=4 ಸೆಂ.ಮಿ.)
6	A ಯಿಂದ 5 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮತ್ತು C ಯಿಂದ 4 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ RS ರೇಖೆಯನ್ನ D ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ 2 ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ (AD=5 ಸೆಂ.ಮಿ, CD=4 ಸೆಂ.ಮಿ.

6.8.2 ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (Area of parallelogram)

ABCD ಯು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ.AB||CD, BC||AD, AB=CD, AD=BC. D ಮತ್ತು C ಗಳಿಂದ AB ಗೆ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಮುಂದುವರಿಸಿ) ಲಂಬಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳು ABಯನ್ನ E ಮತ್ತು F ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ. DE ಮತ್ತು CF ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರಗಳು. AB||CD ಆದ್ದರಿಂದ  DE=CF. ADE ಮತ್ತು BFC ಗಳು ಸರ್ವಸಮ.(AD=BC, DE=CF, DEA = BFC =90^0 – ಲಂ.ಕ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ) AE=BF ADEಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= BFCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ  ABCDಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= ADEಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ DEBCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = BFCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ DEBCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= ಆಯತ DEFCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಉದ್ದ* ಅಗಲ = DC * h ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಉದ್ದ* ಎತ್ತರ

6.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ABCD ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ AB=24 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು AD=16 ಸೆಂ.ಮಿ AB ಮತ್ತು DC ನಡುವಿನ ದೂರ 10 ಸೆಂ.ಮಿ ಆದರೆ AD ಮತ್ತು BC ಗಳ ನಡುವಿನ ಲಂಬಾಂತರ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

AB ಮತ್ತು DC ಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ = ಎತ್ತರ (DE). ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದ*ಎತ್ತರ = 24*10 = 240 ಚ.ಸೆಂ.ಮಿ. ಈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು AD ಪಾದವಾಗಿದ್ದು AH ಎತ್ತರವಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.  ABCDಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= AD*AH = 16*AH = 240 ಚ.ಸೆಂ.ಮಿ.  16*AH = 240 AH = 240/16 = 15 ಚ.ಸೆಂ.ಮಿ.

6.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ಆಯತ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಸಮನಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನ ಹೊಂದಿವೆ. ಆಯತದ ಉದ್ದ ಅಗಲಗಳು, 10ಮಿ. ಮತ್ತು 14ಮಿ. ಆಗಿದೆ. ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪಾದ 20ಮಿ. ಆದರೆ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಉದ್ದ*ಅಗಲ = 10*14 = 140 ಚ.ಮಿ. ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (ದತ್ತ) ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದ*ಎತ್ತರ = 140 ಚ.ಮಿ.  20*h= 140 ಎತ್ತರ = h = 140/20 = 7 ಮಿ.

6.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಇವುಗಳು ಸಮವಾದ ಪಾದಗಳನ್ನ ಹೊಂದಿವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅವುಗಳ ಎತ್ತರಗಳ ಅನುಪಾತವೆಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳು BP ಮತ್ತು HP ಆಗಿರಲಿ. ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದ *ಎತ್ತರ = Bp*Hp BT ಮತ್ತು HT ಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳಾಗಿರಲಿ. ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2(ಪಾದ *ಎತ್ತರ) = 1/2(BT*HT). ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ.  Bp*Hp=1/2(BT*HT). ಪಾದಗಳು ಒಂದೇ.  BP= BT. Hp=1/2HT ಅಥವಾ 2Hp=HT ತ್ರಿಭುಜದ ಎತ್ತರವು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರ ಎರಡರಷ್ಟಿದೆ..

6.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ನಿಮ್ಮ ಮನೆಗಳಲ್ಲಿ ತಾಯಂದಿರು ಮತ್ತು ಅಜ್ಜಿಯಂದಿರು ಅಥವಾ ಅಂಗಡಿಯವರು ಬರ್ಫಿಯನ್ನು ಆಯತಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುª ಬದಲು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತಾರೆಂದು ಬಲ್ಲಿರಾ? (ಅವರು ರೇಖಾಗಣಿತ ಕಲಿತಿದ್ದರಾ?)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಆಯತ ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಬದಿಗಳು 12 ಮತ್ತು 13 ಮಾನಗಳಗಿರಲಿ. ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: ಪಾದ*ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಹು = 12*13 = 156 ಚ.ಮಾನಗಳು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದ*ಎತ್ತರ = 12*12 = 144 ಚ.ಮಾನಗಳು. (ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ನ ಪ್ರಮೇಯ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಎತ್ತರ ಕಂಡು ಹಿಡಿದಿದ್ದೇವೆ:(12^2= 13^2-5^2)) ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದೆ.

ಆಯತ ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೂ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು (ಪಾದ * ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಹು) ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ (ಪಾದ *ಎತ್ತರ) ಹೆಚ್ಚು.

ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಅವರು ಒಂದೇ ಹರಡುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತುಂಡುಗಳನ್ನ ಮಾಡಬಲ್ಲರು.

6.8.3 ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ರಚನೆ (Construction of Rhombus):

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ರಚಿಸಲು 3 ಅಂಶಗಳು (ಬಾಹುಗಳು, ಕರ್ಣಗಳು, ಕೋನಗಳು) ಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಒಂದು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯನ್ನ ರಚಿಸಲು ಕೇವಲ 2 ಅಂಶಗಳು ಸಾಕು.

1. ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ರಚನೆ:-

6.8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1: PR = 5 ಸೆಂ.ಮಿ., SQ=4 ಸೆಂ.ಮಿ ಇರುವಂತೆ PQRS ವಜ್ರಾಕೃತಿ ರಚಿಸಿರಿ.

ಮೊದಲು ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರ ಬರೆಯಿರಿ

ಹಂತ	ರಚನೆ
1	P ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ.
2	P ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟು 5 ಸೆಂ.ಮಿ (PR=5 ಸೆಂ.ಮಿ.)ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ  R ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.
3	PR ನ್ನ ಅರ್ಧಿಸಿ. (P ಮತ್ತು R ಗಳನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, PQ ನ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ PR ನ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವು X ಮತ್ತು Y ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿವೆ. XY ಜೋಡಿಸಿ. ಇದು PR ನ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕ. ಇದು PRನ್ನ O ದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.
4	O ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 2 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ OX ಮತ್ತು OYಗಳನ್ನS ಮತ್ತು Q ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ 2 ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.
5	PQ, QR, RS and SP ಗಳನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ. PQRS ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ವಜ್ರಾಕೃತಿ.

2. ಒಂದು ಬಾಹು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕರ್ಣವನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ರಚನೆ:-

6.8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2: AB = 3 ಸೆಂ.ಮಿ AC=4 ಸೆಂ.ಮಿ ಇರುವಂತೆ ABCD ವಜ್ರಾಕೃತಿಯನ್ನ ರಚಿಸಿ.

ಮೊದಲು ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರ ಬರೆಯಿರಿ.

ಹಂತ	ರಚನೆ
1	A ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ.
2	A ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 4 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. (AC=4 ಸೆಂ.ಮಿ)
3	A ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 3 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AC ಯ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.
4	C ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು 3ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ಕಂಸಗಳನ್ನ D ಮತ್ತು B ಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.. AB, BC, CD ಮತ್ತು DA ಜೋಡಿಸಿರಿ. ABCD ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ವಜ್ರಾಕೃತಿ.

3. ಒಂದು ಬಾಹು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೋನವನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ:

6.8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 3: AB = 3 ಸೆಂ.ಮಿ., ABC = 120⁰ ಇರುವಂತೆ ABCD ವಜ್ರಾಕೃತಿಯನ್ನ ರಚಿಸಿ.

ಮೊದಲು ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರ ಬರೆಯಿರಿ.

ಹಂತ	ರಚನೆ
1	B ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ.
2	B ಯಿಂದ, 3 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಈ ರೇಖೆಯನ್ನು C ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ
3	Bಯಲ್ಲಿ BC ಯೊಂದಿಗೆ120^0 ಕೋನ ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.
4	B ಯಿಂದ 3 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಈ ರೇಖೆಯನ್ನು A ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ. (BA= ಸೆಂ.ಮಿ ABC = 120^0)
5	A ಮತ್ತು C ಗಳಿಂದ 3ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನ D ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಎಳೆಯಿರಿ. AD ಮತ್ತು DC ಜೋಡಿಸಿ. ABCD ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ವಜ್ರಾಕೃತಿ.

6.8.4 ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (Area of Rhombus):

ಒಂದು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

PQRS ವಜ್ರಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ PR ಮತ್ತು QS ಕರ್ಣಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.PR ಮತ್ತು QS ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ. OS ಮತ್ತು OQಗಳುPRS ಮತ್ತು PRQ ಗಳ ಎತ್ತರಗಳು. PRSನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= ½(ಪಾದ*ಎತ್ತರ) =1/2(PR*OS) PRQನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= ½(ಪಾದ*ಎತ್ತರ) = 1/2(PR*OQ)  PQRSನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= PRSನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+ PRQನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= 1/2(PR*OS) + 1/2(PR*OQ) = 1/2*PR* (OS+OQ) =1/2*PR*QS ಚದರ ಮಾನಗಳು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ½ * ಕರ್ಣಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ

ಗಮನಿಸಿ : ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಭಾಸ್ಕರರೂ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ (ಲೀಲಾವತಿ. ಶ್ಲೋಕ176)

6.8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತ 32ಮಿ. ಇದೆ. ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ದದ ಕರ್ಣವು ಮತ್ತೊಂದು ಕರ್ಣಕ್ಕಿಂತ 10ಮಿ. ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಚಿಕ್ಕ ಕರ್ಣವು x ಆಗಿರಲಿ. ದೊಡ್ಡ ಕರ್ಣವು ಚಿಕ್ಕ ಕರ್ಣಕ್ಕಿಂತ 10ಮಿ. ಹೆಚ್ಚು. ಅದರ ಉದ್ದ =x+10. ಕರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತ 32 ಮಿ. x+(x+10) = 32 2x+10 =32 2x=32-10 =22  x=11 ಮಿ. ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಕರ್ಣಗಳು: 11 ಮಿ.,21 ಮಿ.. (=11+10) ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2  * ಕರ್ಣಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = 1/2*11*21 = 231/2 ಚದರ ಮಾನಗಳು

6.8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ 40ಸೆಂ.ಮಿ. ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಕರ್ಣ 16ಸೆಂ.ಮಿ. ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು ಕರ್ಣ ಮತ್ತು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಒಂದು ಬದಿ x ಆಗಿರಲಿ.ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದರೆ ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳ ಮೊತ್ತ. ಇಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕೂ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.  4x = 40 ಸೆಂ.ಮಿ. . x=10 ಸೆಂ.ಮಿ. ವಜ್ರಾಕೃತಿ PQRSನಲ್ಲಿ PQ = 10 ಸೆಂ.ಮಿ. PQRS ಒಂದು ವಜ್ರಾಕೃತಿ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.(PO=OR, QO=OS).PR=16 ಸೆಂ.ಮಿ (ದತ್ತ) PO=OR=8 ಸೆಂ.ಮಿ. POQ ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ. PQ=10, PO=8 ಫೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳು ಮೇಲಿನ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ. PQ^2= PO^2+OQ^2 OQ^2 =PQ^2-PO^2 = 10^2-8^2 = 100-64 =36= 6^2 OQ = 6 ಸೆಂ.ಮಿ. OQ=OS,  OS=6 ಸೆಂ.ಮಿ. QS =6+6=12 ಸೆಂ.ಮಿ ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2* ಕರ್ಣಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = 1/2* 16*12  = 96 ಚ.ಸೆಂ.ಮಿ.

6.8.5 ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ರಚನೆ (Construction of Trapezium):

ತ್ರಾಪಿಜ್ಯವನ್ನ “ತ್ರಿಕೋನವನ್ನ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ”ವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ ಆಕೃತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆಗೆ 5 ಅಂಶಗಳು ಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯವನ್ನ ರಚಿಸಲು ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳು ಸಾಕು.

6.8.5.1. ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ರಚನೆ:-

6.8.5 ಸಮಸ್ಯೆ 1: AB=5 ಸೆಂ.ಮಿ., CD=3 ಸೆಂ.ಮಿ., AB||CD, DAB = 70⁰ ABC = 50⁰ ಇರುವಂತೆ ABCD ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ ರಚಿಸಿ.

ಮೊದಲು ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರ ಬಿಡಿಸಿ.

ಹಂತ	ರಚನೆ
1	A ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ.
2	Aಯಿಂದ 5 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ Bಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ(AB=5 ಸೆಂ.ಮಿ.)
2	Aಯಿಂದ2 ಸೆಂ.ಮಿ (=AB-CD) ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ABಯನ್ನE ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. (AE=2 ಸೆಂ.ಮಿ.)
3	Aಯಲ್ಲಿAB ಯೊಂದಿಗೆ 70^0 ಕೋನ ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ.
4	AED =50^0 ಆಗುವಂತೆ E ಯಿಂದ AB ಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ . ಅದು ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ D ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.
5	Bಯಲ್ಲಿ 50^0 ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ
6	Dಯಿಂದ3 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ ಅಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ (DC=3 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು ABC = 50^0). DC ಯನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ. ABCDಯು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ

6.8.5. 2. ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ:-

6.8.5 ಸಮಸ್ಯೆ 2: PQ||SR, PQ=5 ಸೆ.ಮಿ., SR=6 ಸೆ.ಮಿ.,. and PS=3 ಸೆ.ಮಿ., ಇರುವಂತೆ PQRS

ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ ರಚಿಸಿ.

ಮೊದಲು ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರ ಬಿಡಿಸಿ.

ಹಂತ	ರಚನೆ
1	P ಬಿಂದುವನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ.
2	Pಯಿಂದ5 ಸೆಂ.ಮಿ ಯಿಂದQನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ (PQ=5 ಸೆಂ.ಮಿ)
3	Pಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ
4	Pಯಿಂದ3 ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ S ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ. (PS=3 ಸೆಂ.ಮಿ.)
5	PQ ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ S ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.
6	Sನಿಂದ6 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ R ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ (SR=6 ಸೆಂ.ಮಿ.)
7	QR ಜೋಡಿಸಿ.PQRS ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ.

6.8.5. 3. ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳ ಅಳತೆ ಕೊಟ್ಟಾಗ:-

ತ್ರಾಪಿಜ್ಯವನ್ನ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಸಂಗಮ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮೊದಲು ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜ ರಚಿಸಿ. 6.8.5 ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಹಾಗೆ.

6.8.5 ಅಭ್ಯಾಸ 1: AB=7 ಸೆಂ.ಮಿ., DC=5 ಸೆಂ.ಮಿ., AD=2 ಸೆಂ.ಮಿ., BC= 2.5 ಸೆಂ.ಮಿ., AB||CD ಇರುವಂತೆ ABCD ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ ರಚಿಸಿ. ಸೂಚನೆ: ಬಲಬದಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಕರಡು ಚಿತ್ರ ರಚಿಸಿ. AB ಯ ಮೇಲೆ AE=AB-CD ಆಗುವಂತೆ E ಬಿಂದು ಗುರುತಿಸಿ.AED ತ್ರಿಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ (AD =2 ಸೆಂ.ಮಿ., DE =BC=2.5 ಸೆಂ.ಮಿ., Bಯಿಂದ ED ಗೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.. BC=2.5 ಸೆಂ.ಮಿ ಆಗುವಂತೆ C ಬಿಂದು ಗುರುತಿಸಿ. D ಮತ್ತು C ಗಳನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ. ABCD ಯು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ.

6.8.5 ಸಮಸ್ಯೆ 3: AB=7 ಸೆಂ.ಮಿ., AD=2 ಸೆಂ.ಮಿ., DC=5 ಸೆಂ.ಮಿ., CD||AB ಇರುವಂತೆ ABCD ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ ರಚಿಸಿ.

ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾಂತರವಲ್ಲದ ಬಾಹುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ. ಆದ್ದರಿಂದ, BC=AD. ಈಗ ನಮಗೆ ABCD ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳು ದೊರೆತವು (DA=2 ಸೆಂ.ಮಿ., AB=7cm, BC=2 ಸೆಂ.ಮಿ., CD=5 ಸೆಂ.ಮಿ., ಸೂಚನೆ:6.6.8 ಅಭ್ಯಾಸ 1ರಲ್ಲಿಯಂತೆ. AE = AB-DC = 7-5 = 2 ಸೆಂ.ಮಿ ಇರುವಂತೆ AED ತ್ರಿಕೋನ ರಚಿಸಿ. 1) AD=2 ಸೆಂ.ಮಿ., AE = 2 ಸೆಂ.ಮಿ., DE = CB = 2 ಸೆಂ.ಮಿ., ಇರುವಂತೆ AED ತ್ರಿಕೋನ ರಚಿಸಿ. 2) Bಯಿಂದ2 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಕಂಸ ಎಳೆಯಿರಿ.. Dಯಿಂದ5 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಕಂಸ ಎಳೆಯಿರಿ DC ಮತ್ತು CB ಜೋಡಿಸಿ. 3) ABCD ಯು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ.

6.8.6 ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (Area of Trapezium):

ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ ABCD ಯಲ್ಲಿ AB=CD. AD ಮತ್ತು BC ಗಳ ನಡುವಿನ ಲಂಬ ದೂರ ‘h’ ಮೂಲಮಾನಗಳಾಗಿರಲಿ. (AE = DF =h) EF = 1/2EF+1/2EF=1/2(EF+AD) ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ ABCDಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= ABEಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+ AEFDಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+ DFCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2(BE* ಎತ್ತರ)+ (EF* ಎತ್ತರ)+ 1/2(FC* ಎತ್ತರ)= (BE/2 + EF + FC/2)* ಎತ್ತರ = (BE/2+(EF+AD)/2+FC/2)* ಎತ್ತರ (EF=AD, EF = 1/2( EF+AD)) = 1/2(BE+EF+AD+FC)* ಎತ್ತರ = 1/2(BE+EF+FC+AD)* ಎತ್ತರ = 1/2(BC+AD)* ಎತ್ತರ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2* ಎತ್ತರ*ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳ ಮೊತ್ತ

ಗಮನಿಸಿ : ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಭಾಸ್ಕರರೂ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ (ಲೀಲಾವತಿ. ಶ್ಲೋಕ176)

6.8.6 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತ 2:1 ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳ ನಡುವಿನ ಲಂಬಾಂತರ 6ಸೆಂ.ಮಿ. ಮತ್ತು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 135ಚ.ಸೆಂ.ಮಿ. ಆದರೆ ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ಎತ್ತರ: h  = 6 ಸೆಂ.ಮಿ ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತ: 2:1 ಅವುಗಳು 2x ಮತ್ತು 1x ಆಗಿರಲಿ. ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2* ಎತ್ತರ *ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳ ಮೊತ್ತ = 1/2(6*(2x+x)) = 3*3x = 9x ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 135 ಚ.ಸೆಂ.ಮಿ. (ದತ್ತ)  9x=135 x= 15 ಸೆಂ.ಮಿ..: 2x =30 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳು 15 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು 30 ಸೆಂ.ಮಿ. ತಾಳೆ: ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2*6*(30+15) = 3*45 = 135 ಸೆಂ.ಮಿ ------àದತ್ತಾಂಶವೇ ಆಗಿದೆ.

6.8.6 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 17 ಸೆಂ.ಮಿ ಎತ್ತರವುಳ್ಳ ಒಂದು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಸೆಂ.ಮಿ ಇದೆ. ಅದರ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುವು 16 ಸೆಂ.ಮಿ ಇದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಹುವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಹು x ಆಗಿರಲಿ. ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2**ಎತ್ತರ *ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳ ಮೊತ್ತ = ½ (17*(16+x)) = 204 17 (16+x) =408 16+x =408/17 = 24  x = 24-16= 8 ಸೆಂ.ಮಿ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ 2ನೇ ಸಮಾಂತರ ಬಾಹು = 8 ಸೆಂ.ಮಿ ತಾಳೆ: ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2*17*(16+8) = 17*12 = 204 ಸೆಂ.ಮಿ ------àದತ್ತಾಂಶವೇ ಆಗಿದೆ.

6.8.7 ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು (Theorems on parallelograms):

6.8.7 ಪ್ರಮೇಯ 1: ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.

ದತ್ತ: ABCD ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. AC ಮತ್ತು BD ಕರ್ಣಗಳು ‘O’ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಾಧನೀಯ: AO=OC ಮತ್ತು BO=OD

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AB = CD	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು
2	AOB  = COD	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
3	ABO = ODC	ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು AB||CD, BD ಛೇದಕ ರೇಖೆ.
4	AOB COD	ಕೋ.ಬಾ.ಕೋ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
5	AO=OC ಮತ್ತು BO=OD	ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ

6.8.7 ಪ್ರಮೇಯ 2: ಕರ್ಣವು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ದತ್ತ: ABCD ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. AC ಯು ಒಂದು ಕರ್ಣ.

ಸಾಧನೀಯ: ABC ACD

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AB = CD	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು
2	BC = AD	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು
3	AC	ಉಭಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು
4	ABC ACD	ಬಾ.ಬಾ.ಬಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

ಉಪಪ್ರಮೇಯ: ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನ ಅನುಸರಿಸಿ ಪರಿಣಮಿಸುವ ಒಂದು ಉಪಸಿದ್ಧಾಂತವು ‘ಉಪ ಪ್ರಮೇಯ’.

ಉದಾ:

ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಹಬ್ಬಗಳಂದು ಶಾಲಾ, ಕಾಲೇಜು, ಕಛೇರಿಗಳಿಗೆ ರಜೆ ನೀಡಲೇ ಬೇಕು. ಆಗಸ್ಟ್ 15 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ದಿನವಾಗಿರುವುದರಿಂದಅಂದು ಶಾಲಾ ಕಾಲೇಜುಗಳಿಗೆ ರಜವಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಹಬ್ಬ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ ದಿನ. ಮೂರು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಹಬ್ಬಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಒಂದು ಹಬ್ಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪರಿಣಮಿಸಿದ್ದು ರಜೆ.

ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಉಪ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ.

6.8.7 ಉಪಪ್ರಮೇಯ 1: ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನವು ಲಂಬಕೋನವಾದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಆಯತ.

ದತ್ತ:  ABCD ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. ABC = 90⁰

ಸಾಧನೀಯ: ABCD ಯು ಒಂದು ಆಯತ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	ABC = 90^0	ದತ್ತ
2	ABC+BCD = 180^0	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ 2 ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳು
3	BCD = 180^0-90^0 = 90^0
4	CDA =ABC	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು
5	CDA = 90^0
6	BAD= BCD	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು
7	BAD = 90^0

ABCD ಯು ಒಂದು ಆಯತ.

6.8.7 ಉಪಪ್ರಮೇಯ 2 ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಂದು ಚೌಕ (ವರ್ಗ)

ದತ್ತ: ABCD ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ AB=BC=CD=DA.

ಸಾಧನೀಯ: ABCDಯು ಒಂದು ವರ್ಗ

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	BAD+ADC = 180^0	ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180^0
2	2BAD = 180^0	ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮ.
3	BAD=ADC=90^0
4	ABC+BCD = 180^0	ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180^0
5	2ABC = 180^0	ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮ.
6	ABC=BCD=90^0
7	ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳು.

ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಸಮವೆಂದು ಕೊಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ABCD ಯು ಒಂದು ವರ್ಗ.

 6.8.7 ಉಪಪ್ರಮೇಯ 3: ಒಂದು ವರ್ಗದ ಕರ್ಣಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.

ದತ್ತ:  ABCD ಯು ಒಂದು ವರ್ಗ.

AB=BC=CD=DA

ABC =BCD=CDA=DAC=90⁰

ಸಾಧನೀಯ: AC=BD,AO=CO,BO=DO,AOB=BOC = 90⁰

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
	ABC ಮತ್ತು BCDಗಳಲ್ಲಿ
1	AB=CD	ವರ್ಗದ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.
2	BC	ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು
3	ABC=BCD = 90^0	ವರ್ಗದ ಕೋನಗಳು ಸಮ.
4	ABC BCD	ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
5	AC=BD	ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು
	ABO ಮತ್ತು OCDಗಳಲ್ಲಿ
6	AB=CD	ವರ್ಗದ ಬಾಹುಗಳು
7	ABO =ODC	AB||CD, BD ಛೇದಕ ಪರ್ಯಾಯಕೋನಗಳು
8	BAO=OCD	AB||CD, AC ಛೇದಕ ಪರ್ಯಾಯಕೋನಗಳು
9	ABO OCD	ಕೋ.ಬಾ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
10	AO=OC,BO=OD	ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು
	ABO ಮತ್ತು OCBಗಳಲ್ಲಿ
11	AB=BC	ವರ್ಗದ ಬಾಹುಗಳು
12	AO=OC	(10) ರಿಂದ.
13	BO	ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು
14	ABO OCB	ಬಾ.ಬಾ..ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
15	AOB=BOC	ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು
16	AOB+BOC=180^0	ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು
17	2AOB=180^0
18	AOB=90^0=BOC

ಆದ್ದರಿಂದ ವರ್ಗದ ಕರ್ಣಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.

6.8.7 ಉಪಪ್ರಮೇಯ 4: ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾದ ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರವಾದ ಒಂದು ಜೊತೆ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಒಂದೇ ಪಾಶ್ರ್ವದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಸಮವಾಗಿಯೂ ಸಮಾಂತರವಾಗಿಯೂ ಇರುವುವು.

ದತ್ತ: AB=CD, AB||DC

Aಯನ್ನD ಗೂ ಮತ್ತು Bಯನ್ನC ಗೂ ಸೇರಿಸಿದೆ.

ಸಾಧನೀಯ:AD=BC, AD||BC

ರಚನೆ:AC ಜೋಡಿಸಿದೆ.

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AB=CD	ದತ್ತ
2	DAC=ACB	AB||DC, AC ಛೇದಕ. ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು.
3	AC	ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು
4	ABC ACD	ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
5	AD=BC	ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು
6	DAC=ACB	(2) ರಿಂದ.

DAC ಮತ್ತು ACBಗಳುAD ಮತ್ತು BCಗಳನ್ನAC ಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳಾದ್ದರಿಂದ, AD||BC.

6.8.7 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABCD ಯು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. Pಯು BC ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು. AB=BQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ದತ್ತ: ABCD ಯು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ.. BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು P.

ಸಾಧನೀಯ:: AB=BQ

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	BP = PC	Pಯು BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು.
2	BPQ=CPD	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
3	PBQ=PCD	AB||DC ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು.
4	BPQ CDP	ಕೋ.ಬಾ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
5	BQ = DC	ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು
6	DC = AB	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು
7	BQ = AB	5 ಮತ್ತು 6 ರಿಂದ

6.8.7 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು PQRS ಆಕೃತಿಯನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ. PQRS ಒಂದು ಆಯತ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ದತ್ತ:: ABCD ಯು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. AP, BP, CR ಮತ್ತು DR ಗಳು A, B, C ಮತ್ತು D ಕೋನಗಳ ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು

ಸಾಧನೀಯ: PQRS ಒಂದು ಆಯತ

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	DAB+ADC= 180^0	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳು..
2	DAB=2DAS	APಯುDAB ಕೋನಾರ್ಧಕ
3	ADC=2ADS	DRವು ADC ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ
4	DAS+ADS = 90^0
5	DAS+ADS+ ASD= 180^0	ತ್ರಿಭುಜ ADSನ 3 ಕೋನಗಳು
6	ASD= 180^0-(DAS+ADS)
7	= 180^0-90^0= 90^0
8	PSR =ASD	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
9	= 90^0
10	DAB +ABC  =180^0	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳು
11	1/2DAB +1/2ABC  =90^0
12	PAB +ABP  =90^0	APಯುAಯನ್ನ ಮತ್ತು BP ಯುB ಯನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.
13	SPQ =90^0	ತ್ರಿಕೋನ APB ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 180^0

ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು PQR=QRS=90⁰ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ PQRS ಒಂದು ಆಯತ.

6.8.7 ಸಮಸ್ಯೆ 3: PQRS ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. PSನ್ನSM = SR ಆಗುವಂತೆ ಒವರೆಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಿದೆ. MR ನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದೆ. ಅದು PQವನ್ನN ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ. ಆಗQN=QR ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ದತ್ತ: PQRS ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ..

ಸಾಧನೀಯ: QN=QR

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	SRM =SMR	SM=SR ಆದ್ದರಿಂದ SRM ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ.
2	MSR =SPQ	(SR||PQ) ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು.
3	SPQ=RQN	(PS||QR) ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು
4	MSR=RQN	2 ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ
5	QNR = SRM	(SR||PN) ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು
6	SMR=QRN	MSR ಮತ್ತು NQR  ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ ಮೂರನೇ ಕೋನವೂ ಸಮ.
7	QNR=SRM=SMR =QRN	5, 1, 6 ರಿಂದ
8	QN=QR	ಹಂತ 6, QNR ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ.

6.8.7 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ABCD ಯು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. A ಮತ್ತು Bಗಳ ಕೋನಾರ್ಧಕಗಳು BC ಮತ್ತು AD ಗಳನ್ನX ಮತ್ತು Y ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. XY=CD ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ದತ್ತ:  ABCD ಯು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. AX Aಯನ್ನ,BY B ಯನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ. AX ಮತ್ತು BYಗಳು O ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಾಧನೀಯ:XY=CD

ಸಾಧನೆ: ABX ಮತ್ತು AXYಗಳಲ್ಲಿ AD ||BC ಆದ್ದರಿಂದ AY||BX, AB=CD,

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	BAX =  AXY	AY||BX, AX ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು.
2	XAY = AXB	AY||BX,  AX ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು
	BAY ಮತ್ತು XYBಗಳಲ್ಲಿ
3	BAY = YXB	1 ಮತ್ತು 2 ನ್ನ ಕೂಡಿಸಿದೆ.
4	BY	ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು.
5	AYB  = YBX	AY||BX, BY ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು..
6	BAY XYB	ಕೋ.ಬಾ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
7	AB =XY, AY=BX	ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು 6 ರಿಂದ
8	XY =CD	AB=CD(ದತ್ತ)ಮತ್ತು 7 ರಿಂದ

6.8.7 ಪ್ರಮೇಯ 3: ಒಂದು ಪಾದದ ಮೇಲೆ, ಒಂದೇ ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿರುವುವು.

ದತ್ತ: ABCD ಮತ್ತು ABEF ಈ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಒಂದೇ ಪಾದ AB ಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದು, ಒಂದೇ ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾದ PQ ಮತ್ತು RS ಗಳ ನಡುವೆ ಇವೆ.

ಸಾಧನೀಯ:ABCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ABEF ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
	FAD ಮತ್ತು EBCಗಳಲ್ಲಿ
1	AF = BE	ABEF ಸ.ಚ.ಭು.ದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು.
2	AFD = BEC, ADF = BCE,	AF||BE ಮತ್ತು AD||BCಆಗಿದ್ದು PQ ಛೇದಕವಾದಾಗ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು
3	FAD = EBC	ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮವಾದಾಗ, 3ನೇ ಕೋನವೂ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
4	FAD EBC	ಕೋ.ಬಾ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
5	FAD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = EBC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ	ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಸಮ.
6	FAD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+DEBA ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ  = EBC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ+DEBA ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ	ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಗೆ DEBA ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕೂಡಿಸಿದೆ.
7	FEBA ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ  = ABCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ	ಸಮನಾದ ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮವಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಮೊತ್ತಗಳು ಸಮ.

ಗಮನಿಸಿ : ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದ*ಎತ್ತರ. ಇಲ್ಲಿ PQ ಮತ್ತು RS ಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ. ABCD ಮತ್ತು FEBA ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಒಂದೇ ಪಾದ AB ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಆ ಎರಡೂ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

6.8.7 ಉಪಪ್ರಮೇಯ 1: ಒಂದೇ ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಸಮನಾದ ಪಾದಗಳಮೇಲೆ ನಿಂತಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಸಮವಾಗಿರುವುವು.

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದ*ಎತ್ತರ (6.8.2 ನೋಡಿ) PQ ಮತ್ತು RS ಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾದ್ದರಿಂದ ABCD ಮತ್ತು EFGH ಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ. ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಮತ್ತು EFGH ಗಳ ಪಾದಗಳು ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ (AB=EF) ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

6.8.7 ಉಪಪ್ರಮೇಯ 2: ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಪಾದವನ್ನ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಒಂದೇ ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಇದ್ದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCDಯವಿಸ್ತೀರ್ಣ= ಪಾದ*ಎತ್ತರ =AB*h - - -( 6.8.2 ನೋಡಿ) ಹಿಂದೆ 2 ನೇ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ “ಕರ್ಣವು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ”ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇವೆ. ADB CDB ಸ.ಚ.ಭು. ABCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ADB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ +CDB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2 * ADB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ADB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2 ^* ಸ.ಚ.ಭು. ABCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =1/2( AB*h) = 1/2* ಪಾದ*ಎತ್ತರ

ಗಮನಿಸಿ : ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸಾಧನೆ ಇಲ್ಲದೆ = 1/2 ಪಾದ*ಎತ್ತರ ಎಂಬ ಸೂತ್ರವನ್ನ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದೆವು.

ಈಗ ಈ ಉಪಪ್ರಮೇಯವನ್ನ ಸಾಧಿಸಿದಾಗ, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ ಸಾಧಿಸಿದಂತಾಗಿದೆ.

6.8.7 ಉಪಪ್ರಮೇಯ 3: ಒಂದೇ ಪಾದದ ಮೇಲೆ, ಒಂದೇ ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಸಮವಾಗಿರುವುವು.

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =  1/2* ಪಾದ*ಎತ್ತರ ABC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (1/2)* ಪಾದ*ಎತ್ತರ = (1/2)*AB*h ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಎತ್ತರ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ABD ಯ ಎತ್ತರ = ABC ಯ ಎತ್ತರ ABD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2(AB*h) ABC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ABD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

6.8.7 ಉಪಪ್ರಮೇಯ 4: ಒಂದೇ ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಸಮವಾದ ಪಾದಗಳನ್ನ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

(ಸೂತ್ರದಂತೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (1/2)* ಪಾದ *ಎತ್ತರ).

6.8.7 ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ DE||BC ಆದರೆ, BODಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= Area of COEಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ದತ್ತ:: DE ||BC

ಸಾಧನೀಯ: BODಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= COEಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	BCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = BCE ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ	ಎರಡೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ BC ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾದ, DE||BC.
2	BCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ - BOC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = BCE ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ - BOC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ	ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಂದ BOC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನ ಕಳೆದಿದೆ.
3	BOD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = COE ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

6.8.7 ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ D ಮತ್ತು E ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು AB ಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು BCE ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = BCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಆದರೆ DE||BC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

(ಇದು ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಲೋಮ)

ದತ್ತ: BCE ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = BCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಸಾಧನೀಯ:: DE || BC

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	BCE ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2 BC*BCE ಯ ಎತ್ತರ	BC ಪಾದ ಹೊಂದಿರುವ ದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ
2	BCD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2  BC*BCD ಯ ಎತ್ತರ	BC ಪಾದ ಹೊಂದಿರುವ ದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ
3	BC*BCE ಯ ಎತ್ತರ = BC* BCD ಯ ಎತ್ತರ	ಎರಡೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಸಮ.
4	BCE ಯ ಎತ್ತರ = BCD ಯ ಎತ್ತರ
5	DE || BC	ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಎತ್ತರ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ.

6.8.7 ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯ: ತ್ರಿಭುಜದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವು ಮೂರನೇ ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುವುದು

ದತ್ತ: ABCಯಲ್ಲಿ Dಯು AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಮತ್ತು Eಯು AC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಸಾಧನೀಯ:DE||BC, DE=1/2BC.

ರಚನೆ:Cಯಿಂದ AB ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದಿದೆ.. DE ಯನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯನ್ನ ಈನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಿದೆ.

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
	ADE ಮತ್ತು ECFಗಳಲ್ಲಿ
1	AE = CE	Eಯು ACಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು
2	BAE = ECF	AB||CF, ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು
3	ADE = CEF	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
4	EDA EFC	ಕೋ.ಬಾ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
5	DE=EF,AD=CF	ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು
6	AD=DB	Dಯು BA ಮಧ್ಯಬಿಂದು
7	DB=CF	5 ಮತ್ತು 6 ರಿಂದ
8	DBCF ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ.	ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳಾದ CF ಮತ್ತು BD ಗಳು ಸಮ ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರ
9	DF||BC,DF=BC	8 ರಿಂದ
10	DE=EF	5 ರಿಂದ
11	BC = 2DE	9 ಮತ್ತು 10 ರಿಂದ

6.8 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ.	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ.
2	ಕರ್ಣವು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
3	ಒಂದೇ ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಸಮನಾದ ಪಾದಗಳಮೇಲೆ ನಿಂತಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಸಮವಾಗಿರುವುವು.
4	ತ್ರಿಭುಜದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವು ಮೂರನೇ ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುವುದು.

ಗಮನಿಸಿ : ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು(ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 169) ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಪಾಠ 6.7 ನೋಡಿ.

2s = a+b+c (ಬಾಹುಗಳ ಮೊತ್ತ) ಆದರೆ, ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ=