6.9 ವೃತ್ತಗಳು - ಭಾಗ 1   (Circles- Part 1)

ಹಿಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆ, ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟ ಆಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣ ಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿತೆವು.  ಇನ್ನೂ ಇತರ ತೆರನಾದ ಆಕೃತಿಗಳು ಇಲ್ಲವೇ?

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನಮ್ಮ ಸೂರ್ಯಮಂಡಲವನ್ನು ತೆಗೆದು ಕೊಳ್ಳೋಣ, ಭೂಮಿಯು ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಅಂಡಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ. ಚಂದ್ರನು ಭೂಮಿಯ ಸುತ್ತ ಸುಮಾರಾಗಿ

ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ. ಭೂಮಿ ಸುಮಾರಿಗೆ ದುಂಡಗಿದ್ದು ತನ್ನ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ. ಬಸ್ ಮತ್ತು ಸೈಕಲ್ ನ ಚಕ್ರಗಳು ಚೌಕ ಅಥವಾ ಆಯತ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಇದ್ದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು

ಸುಲಭವಾಗಿ ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ನಾವು ನಿತ್ಯ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ನಾಣ್ಯಗಳು, ಚಕ್ರಗಳು, ಸೈಕಲ್ ಟಯರು, ಉಂಗುರ,ಬಳೆ, ಬಾವಿ ಇವೆಲ್ಲಾ ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿವೆ. ನಾವೀಗ ವೃತ್ತಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನ ಅಭ್ಯಸಿಸುವಾ

6.9.1 ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು

ಚಿತ್ರ

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

      

 

ವೃತ್ತವು ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಆವೃತ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ ಒಂದು ದತ್ತ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ(Center) (O) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.  ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ P,A,Q,R, Sಬಿಂದುಗಳೆಲ್ಲಾ O  ದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ.

     

ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನ ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನ ತ್ರಿಜ್ಯ(Radius)   ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನ  ‘r’  ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ  OP,OQ  ಮತ್ತು   OA  ಗಳೆಲ್ಲಾ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು. . OP=OA=OQ.

      

ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವೇ ‘ಜ್ಯಾ’(Chord).  ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AQ  ಮತ್ತು   RS  ಗಳು ಎರಡು ಜ್ಯಾಗಳು..

      

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಅಂತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಹೊಂದಿದ್ದು, ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವ ರೇಖಾಖಂಡವೇ ವೃತ್ತದ ‘ವ್ಯಾಸ’ (Diameter). ಇದನ್ನ ‘d’ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸವು ಅತ್ಯಂತ ಉದ್ದದ ಜ್ಯಾ ಆಗಿದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ  PQ ವು ವ್ಯಾಸ. ಇದು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ  ‘O’ ದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವ್ಯಾಸಗಳಿವೆ.

ಗಮನಿಸಿ:d=PQ= PO+OQ =r+r =2r

      

ವೃತ್ತವು ಆವೃತವಾಗಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಧಿ (Circumference)  ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದು ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯೂ ಹೌದು. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದರ ಉದ್ದವನ್ನ  P ಯಿಂದ P ಗೆ A, Q, S,R ಗಳ ಮೂಲಕ ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದೇ ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವನ್ನ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಬೇರೆ ಬೇರೆ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳೆನ್ನವರು (Concentric circles).  C1, C2,  C3  ಗಳು ಮೂರು ವೃತ್ತಗಳು.  O  ಮೂರರ ಕೇಂದ್ರ  OA, OB,  OC  ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು. 

ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಗಳನ್ನ ಸರ್ವಸಮ ವೃತ್ತಗಳೆನ್ನುತ್ತೇವೆ (Congruent circles).  C1 ಮತ್ತು C2 ಗಳು ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯ (OA=OB) ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನ ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಸರ್ವಸಮ ವೃತ್ತಗಳು.

        

ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನ ವೃತ್ತದ ಕಂಸ (Arc) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ  RS ಒಂದು ಕಂಸ.

           

ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ಕಂಸದಿಂದ ಆವೃತ್ತವಾದ ಭಾಗವನ್ನ ವೃತ್ತಖಂಡ (Segment) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ  RXSR ಒಂದು ವೃತ್ತಖಂಡ. ಪ್ರತೀ ಜ್ಯಾವು ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ಎರಡು ವೃತ್ತ ಖಂಡಗಳು ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತವೆ - ಲಘು ವೃತ್ತಖಂಡ ಮತ್ತು ಅಧಿಕ ವೃತ್ತಖಂಡ.

ASBA ಒಂದು ಲಘು (minor)  ‘ವೃತ್ತ’ ಖಂಡ.

(ASB ಕಂಸ ಮತ್ತು AB ಜ್ಯಾದಿಂದ ಆವೃತ್ತವಾದ ಭಾಗ.)

 

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಯು ವ್ಯಾಸ.

ASBOA ಮತ್ತು ACBOA ಗಳು ಎರಡು ಅರ್ಧ ವೃತ್ತ ಖಂಡಗಳು (Semi circles). (ವ್ಯಾಸ AB ಮತ್ತು ಸಮನಾದ ASB ಮತ್ತು ACB ಕಂಸಗಳಿಂದ ಆವೃತ್ತವಾದ ಭಾಗ.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.9.2 ಲಕ್ಷಣಗಳು (ಪ್ರಮೇಯಗಳು) [Properties (Theorems)]:

 

6.9.2.1.  ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಜ್ಯಾಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.

ದತ್ತ:  O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ AQವು ಒಂದು ಜ್ಯಾ OB ಯು AQಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬ.

ಸಾಧನೀಯ: AB=BQ

          ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

OAB ಮತ್ತು OQBಗಳಲ್ಲಿ

1

OA = OQ

ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು

2

OBA =OBQ=900

OB  AQ (ದತ್ತ)

3

OB ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು.

 

4

OAB  OQB

ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ.

5

AB=BQ

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು.    

 

            6.9.2.2 ವಿಲೋಮವಾಗಿ:- ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವನ್ನ ಜ್ಯಾದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ಜೋಡಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಜ್ಯಾಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದು.

ಅಭ್ಯಾಸ: ಇದನ್ನ ಸಾಧಿಸಿ. (ಸಾಧನೆ ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.)

6.9.2.2. ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸಮನಾದ ಜ್ಯಾಗಳು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ದತ್ತ: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ.PQ ಮತ್ತು RS ಗಳು ಎರಡು ಸಮವಾದ ಜ್ಯಾಗಳು. OX ಮತ್ತು OYಗಳುPQ ಮತ್ತು RS ಗಳಿಗೆ O ದಿಂದ ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳು.

ಸಾಧನೀಯ: OX=OY

ರಚನೆ: OP ಮತ್ತು OR ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

OPX ಮತ್ತು ORYಗಳಲ್ಲಿ

1

2PX=PQ

OX ಲಂಬವು PQ ವನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.

2

2RY=RS

OY ಲಂಬವು RS ನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.

3

PQ=RS

ದತ್ತ. ಮೀಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ 

4

2PX=2RY: PX=RY

 

5

OP =OR

ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು

6

PXO =OYR=900

6.9.2.2

4

PXO  RYO

ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

5

OX=OY

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು

 

           6.9.2.3.  ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಜ್ಯಾಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

           ಈ ಲಕ್ಷಣವು 6.9.2.2 ರ ವಿಲೋಮವೇ ಆಗಿದೆ.

ದತ್ತ:    ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ವು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ. PQ ಮತ್ತು RS ಗಳು ಜ್ಯಾಗಳು.

OX ಮತ್ತು OY ಗಳು PQ ಮತ್ತು RS ಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳು ಮತ್ತು OX=OY

 

ಸಾಧನೀಯ: PQ=RS

 

ರಚನೆ:OP ಮತ್ತು OR ಗಳನ್ನ ಎಳೆಯಿರಿ

 

ಅಭ್ಯಾಸ:  ಮೇಲೆ (6.9.2.2)ರಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸಿದ ಹಂತಗಳನ್ನೇ ಅನುಸರಿಸಿ,

PXO  RYO ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. PX=RY: RS=PQ

 

 

6.9.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಮತ್ತು CDಗಳು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸಮನಾದ ಜ್ಯಾಗಳು. ಈ ಜ್ಯಾಗಳನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳು E ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. EB=ED ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ರಚನೆ:O ದಿಂದ AB ಮತ್ತು CD ಗಳಿಗೆ OP ಮತ್ತು OQ ಲಂಬಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

1

AP =1/2AB=PB

ಲಂಬವು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. 

2

CQ= 1/2CD=QD

ಲಂಬವು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. 

3

AP=CQ,PB=QD

AB=CD(ದತ್ತ)

4

OPB =OQD = 900

ರಚನೆ

5

OP =OQ

ಸಮಾನ ಜ್ಯಾಗಳಿಗೆ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳು ಸಮ.

6

OE  ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು

 

7

OPE   OPB

ಲಂ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

8

PE=QE

 

9

PE-PB =QE-QD

EB=ED

ಹಂತ 8,3.

 

           6.9.2 ಪ್ರಮೇಯ (ಅಂತಸ್ಥಕೋನ ಪ್ರಮೇಯ): ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಂಸವು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನವು, ಅದೇ ಕಂಸವು ವೃತ್ತದ ಉಳಿದ ಭಾಗದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನದ ಎರಡರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

 

ದತ್ತ: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ವು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ.  AOBಯು AB ಕಂಸದಿಂದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾದ ಕೋನ.  APB ಯು ಅದೇ ಕಂಸದಿಂದ ಉಳಿದ ಯಾವುದೇ ಭಾಗ ಬಿಂದುವಲ್ಲಿ ಉಂಟಾದ ಕೋನ.

ಸಾಧನೀಯ:  AOB = 2APB

ರಚನೆ: PO ವನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ D ವರೆಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಿದೆ.

ಸಾಧನೆ:                                                                        

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

OA = OP

ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಹಂತ  

2

OPA = OAP

OAP ಯು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ

3

AOD =OAP+OPA

ತ್ರ್ರಿಭುಜದ ಬಹಿರ್‍ಕೋನವು (AOP) ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.

4

= 2OPA

ಹಂತ 2

5

OB = OP

ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು

6

OBP = OPB

OBP ಯು ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ

7

BOD =OBP+OPB

 ತ್ರಿಭುಜ (BOP) ಬಹಿರ್‍ಕೋನವು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.

8

= 2OPB

(OBP = OPB)

9

AOD+BOD=2OPA+2OPB

                    =2(OPA+OPB)

                     = 2APB

ಹಂತ 3,4,7, 8 ರಿಂದ

10

AOB =2APB

AOB=AOD+ BOD

 

 

ಉಪಪ್ರಮೇಯ: ಅರ್ಧವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಕೋನವು ಲಂಬಕೋನವಾಗಿರುವುದು

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಯು ವ್ಯಾಸ. ACB ಯು ಅರ್ಧವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಕೋನ

ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದುದು:    ACB = 900

 

ಸೂಚನೆ:

ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, 2 ACB = AOB

AOB ಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಾದುದರಿಂದ  AOB = 1800  ACB = 900

 

          ಪ್ರಮೇಯ: ಒಂದೇ ವೃತ್ತ ಖಂಡದಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳು ಸಮವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ದತ್ತ: A ಮತ್ತು B ಗಳು ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು. ACB ಮತ್ತು ADB ಗಳು ಅಂತಸ್ಥ ಕೋನಗಳು AOB ಯು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಕೋನ.

ಸಾಧನೀಯ:ACB= ADB

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AOB= 2ADB

ಒಂದೇ ಕಂಸ AB ಯಿಂದಾದ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಕೋನವು ಅಂತಸ್ಥಕೋನದ 2ರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

2

AOB= 2ACB

ಒಂದೇ ಕಂಸ AB ಯಿಂದಾದ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಕೋನವು ಅಂತಸ್ಥಕೋನದ 2ರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

3

 2ACB= 2ADB

1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ

4

ACB= ADB

 

 

           6.9.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ APC ಮತ್ತು DPB ಗಳು ಸಮಕೋನೀಯವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಅಲ್ಲದೆ,

PC*PD =PA*PB ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ದತ್ತ: AC ಮತ್ತು BD ಗಳು ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾಗಳು.                                             

ಸಾಧನೀಯ:APC ಮತ್ತು DPB ಗಳು ಸಮ ಕೋನೀಯಗಳು PC*PD =BP*PA

 

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

ACD = ABD

 (AD)  ಕೋನಗಳು

2

CAB = CDB

ಒಂದೇ ವೃತ್ತಖಂಡದ (BC)  ಕೋನಗಳು

3

CPA = BPD

ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು

4

APC |||DPB

ಸಮಕೋನೀಯ ತ್ರಿಭುಜಗಳು

5

AC/BD = PD/PA =PB/PC

 

6

PC*PD =PA*PB

 


           ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಮೇಲಿನ ಸಾಧನೆಯು ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ:-

ಪ್ರಮೇಯ: ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಜ್ಯಾಗಳು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಭಾಗಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

 

6.9.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಮತ್ತು BC ಗಳು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ವ್ಯಾಸಗಳು. ವೃತ್ತಗಳು ಪರಸ್ಪರ B ಮತ್ತು D ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. A, D ಮತ್ತು C ಗಳು ಏಕರೇಖಾಗತ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಸಾಧನೀಯ:ADC = 1800

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AB ಯು ವ್ಯಾಸ

 

2

ADB = 900

ಅರ್ಧವೃತ್ತ ಖಂಡದಲ್ಲಿನ (AB) ಕೋನ

3

BCಯು ವ್ಯಾಸ

 

4

BDC = 900

ಅರ್ಧವೃತ್ತ ಖಂಡದಲ್ಲಿನ (BC) ಕೋನ

5

ADB+BDC = 1800

 

 

6.9.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು B ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. B ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ABD ಮತ್ತು PBQ ರೇಖಾಖಂಡಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ. ಅವು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳನ್ನ ಕ್ರಮವಾಗಿ A,D ಮತ್ತು P,Q ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಿವೆ.  ACP = QCD ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

ACP  = ABP

ಒಂದೇ ವೃತ್ತಖಂಡದ (AP)  ಕೋನಗಳು

2

ABP = DBQ

ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು

3

DBQ = DCQ

ಒಂದೇ ವೃತ್ತಖಂಡದ (DQ)  ಕೋನಗಳು

4

ACP = QCD

1,2,3  ರಿಂದ,


6.9.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ABC ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ (AB= AC)B ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಯು  ABC ಯ ಪರಿವೃತ್ತವನ್ನ P ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. AP ಮತ್ತು BC ಯನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ ಅವು Q ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಿವೆ. CQ=CA ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

          ರಚನೆ: CP ಯನ್ನ ಜೋಡಿಸಿದೆ.

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

 

1

ABC = 2CBP

BPಯುABCಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ

2

CBP=CAQ

ಒಂದೇ ವೃತ್ತಖಂಡದ (CP) ಕೋನಗಳು

3

ABC = 2CAQ

1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ

4

BCA = CAQ+CQA

ತ್ರಿಕೋನದ ಬಹಿರ್‍ಕೋನವು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.

5

CQA = BCA-CAQ

4 ರಿಂದ

6

= ABC-CAQ

BCA =ABC as AB=AC (ದತ್ತ)

7

=2CAP-CAQ =CAQ

3  ರಿಂದ

8

CQ=CA

5 ಮತ್ತು 6 ರಿಂದ

 

        ವೃತ್ತಗಳ ರಚನೆ:

1) ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನ ಮಾತ್ರ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಒಂದೇ ವೃತ್ತ ರಚಿಸಬಹುದೆ? ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಲವಾರು ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

2) ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ  ಒಂದೇ ವೃತ್ತ ರಚಿಸಬಹುದೆ? ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವಂತೆ ಬಹಳ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

 

       3. ಮೂರು ಸರಳ ರೇಖಾಗತವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ, ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವಂತೆ ಒಂದೇ ವೃತ್ತ ರಚಿಸಬಹುದೆ?

ಹೌದು. ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನ ಅನುಸರಿಸಿರಿ:-

ಹಂತ

ರಚನೆ                             

1

A, B, C ಎಂಬ 3 ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ       

2

AB, BC ಗಳನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ

3

AB ಮತ್ತು BC ಗಳ ಲಂಬಭಾಜಕಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. (6.4.3 ನೋಡಿ)

4

ಈ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು  ‘S’ ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.       

5

‘SA’ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ S ನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ವೃತ್ತ ಎಳೆಯಿರಿ.

 

ಈ ವೃತ್ತವು B, C ಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತವು   ABC ಯ ಪರಿವೃತ್ತ. S ಎಂಬುದು ಪರಿಕೇಂದ್ರ( ಪಾಠ 6.5 ನೋಡಿರಿ)

            ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಳ ರೇಖಸ್ಥವಲ್ಲದ 3 ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವಂತೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ಎಳೆಯಬಹುದು.

 

6.9.3 ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜ (cyclic Quadrilateral)

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:  ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜ (cyclic quadrilateral) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

 

6.9. ಪ್ರಮೇಯ: ಒಂದು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸರಳಕೋನ ಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. (ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 1800).

 

ದತ್ತ: O ಕೇಂದ್ರೀಯವಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ABCD ಯು ಒಂದು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜ

ಸಾಧನೀಯ:  BAD + BCD = 1800

                 ABC +ADC = 1800.

ರಚನೆ:OB ಮತ್ತು OD ಗಳನ್ನ ಜೋಡಿಸಿದೆ. ಆಗ BOD ಯು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಕೋನ. BAD ಯು ಅಂತಸ್ಥ ಕೋನ.

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

1

BAD = 1/2  BOD

ಅಂತಸ್ಥ ಕೋನವು ಕೇಂದ್ರ ಕೋನದ ಅರ್ಧ

2

BCD = 1/2  ಅಧಿಕ BOD

ಅಂತಸ್ಥ ಕೋನವು ಕೇಂದ್ರ ಕೋನದ ಅರ್ಧ

3

BAD +BCD = 1/2 BOD +  1/2  ಅಧಿಕ BOD

= 1/2(BOD+  ಅಧಿಕ BOD)

= 1/2(3600) = 1800

 

4

ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ  ABC +ADC = 1800

 


ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸರಳಕೋನ ಪೂರಕಗಳಾಗಿವೆ. (ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 1800).

 

ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ:ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮಪೂರಕಗಳಾದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜ.

(ಸಾಧನೆ ಕೊಟ್ಟಿಲ್ಲ. ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಕಾರಣಕೊಟ್ಟು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.)

 

6.9.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1:  ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಬಾಹುವನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಹೊರ ಕೋನವು ಅಂತಸ್ಥಾಭಿಮುಖ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುವುದು ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

           ದತ್ತ: ABCD ಯು ಒಂದು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜ.  DCE ಯು ಒಂದು ಹೊರ ಕೋನ.

ಸಾಧನೀಯ:BAD =DCE

 

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

BAD+ BCD = 1800

ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಂಪೂರಕಗಳು.

2

BCD + DCE = 1800

¸ ಸರಳ ಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು       

3

 BAD+ BCD = + DCE

BAD =DCE

ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ  BCD ಯನ್ನ ಕಳೆದಾಗ,

                  

             6.9.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2:  ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಅಂತಸ್ಥವಾಗಿ ರಚಿಸಿದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಆಯತ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

            ದತ್ತ: ABCD ಯು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜ.

ಸಾಧನೀಯ:  ABC = BCD = ADC = DAB = 900(ABCD ಯು ಒಂದು ಆಯತ)

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

BAD+ BCD = 1800

ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಂಪೂರಕಗಳು

2

BAD = BCD

ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ.

3

BAD =BCD =900

 


             ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಅಂತಸ್ಥವಾಗಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಆಯತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

6.9.4 ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆ (Construction of a cyclic Quadrilateral)

 

            ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ಹಂತಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯ)

 

ಗಮನಿಸಿ: ನಾವೀಗ ಚತುರ್ಭುಜದ ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವಂತೆ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ

ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಪರಿವೃತ್ತವು ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಶೃಂಗ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತದೆಂಬುದನ್ನ ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ (ಪಾಠ 6.5).

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವೀಗ ಒಂದು ಪರಿವೃತ್ತವನ್ನ ರಚಿಸಿ, ನಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ನಾಲ್ಕನೇ ಶೃಂಗ ಬಿಂದುವನ್ನ ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿದರೆ ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಂತ1: ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

ಹಂತ2: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳ ಲಂಬದ್ವಿಬಾಜಕಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

ಹಂತ3: ಈ ಲಂಬದ್ವಿಬಾಜಕಗಳು ‘ಔ’ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.

ಹಂತ4: ‘O’ ವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವಂತೆ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

ಹಂತ5: ದತ್ತ ಅಳತೆಗನುಸಾರವಾಗಿ  4ನೇ ಶೃಂಗ ಬಿಂದುವನ್ನ ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

 

            ಗಮನಿಸಿ:ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದಾದರೂ 3 ಅಂಶಗಳು ಬೇಕು

1.      ಮೂರು ಬಾಹುಗಳ ಅಳತೆ. ಅಥವಾ

2.      ಒಂದು ಬಾಹು ಮತ್ತು ಆ ಬಾಹುವಿನ ಮೇಲಿನ 2 ಕೋನಗಳು ಅಥವಾ

3.      2 ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದೊಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಕೋನ.

 

6.9.4 ಸಮಸ್ಯೆ 1: KL = 4 ಸೆಂ.ಮಿ., LM = 4.8 ಸೆಂ.ಮಿ., KM = 6.8 ಸೆಂ.ಮಿ., ಮತ್ತು KN = 4.3 ಸೆಂ.ಮಿ., ಇರುವಂತೆ KLMN ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

 

         ಹಂತಗಳು:

1) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ  KLM ರಚಿಸಿ:

  (i)  4ಸೆಂ.ಮಿ.ಉದ್ದದ KLM ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ

  (ii)  Kಯಿಂದ6.8 ಸೆಂ.ಮಿ. ಒಂದು ಕಂಸ ಎಳೆಯಿರಿ.

       Lನಿಂದ4.8 ಸೆಂ.ಮಿ. ಒಂದು ಕಂಸ ಎಳೆಯಿರಿ. ಈ ಎರಡು ಕಂಸಗಳು M ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.            

 (iii) KM ಮತ್ತು LM ಜೋಡಿಸಿ.  KLM ದೊರೆತಿದೆ.

2) KL ಮತ್ತು LM ಬಾಹುಗಳ ಲಂಬದ್ವಿಬಾಜಕಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಇವು ‘O’ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.

3) O ವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, OK ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ವೃತ್ತವು  K, L, M ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತದೆ.

4) K ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟು 4.3ಸೆ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯನ್ನ N ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

5) KLMN ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಚತುರ್ಭುಜ .

 

6.9.4 ಸಮಸ್ಯೆ 2: XY= 2.5 ಸೆಂ.ಮಿ., YZ=5.5 ಸೆಂ.ಮಿ., ZT=3 ಸೆಂ.ಮಿ., XTZ = 600 ಇರುವಂತೆ XYZT ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ.

 

ಗಮನಿಸಿ:XYZT ಒಂದು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜವಾದ್ದರಿಂದ, ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು  XTZ ಮತ್ತು XYZ ಗಳು ಸಂಪೂರಕಗಳು. ಆದುದರಿಂದ XYZ= 1200 .

 

ಹಂತಗಳು:

1) XYZ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನ ರಚಿಸಿ:

   (i)  2.5 ಸೆಂ.ಮಿ., ಉದ್ದದ XY ಸರಳರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

   (ii)  Yಯಲ್ಲಿ XY ಯೊಂದಿಗೆ 1200 ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

     Yಯಿಂದ5.5 ಸೆಂ.ಮಿ., ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಈ ರೇಖೆಯನ್ನ Z ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

  (iii) XZ ಸೇರಿಸಿ XYZ ತ್ರಿಭುಜ ನಮಗೆ ದೊರೆಯಿತು.

 

2) XY ಮತ್ತು YZ ಬಾಹುಗಳ ಲಂಬಾರ್ಧಕಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಛೇದನ ಬಿಂದು ‘O’.

 

3) ‘O’  ವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟು, X, Y ಮತ್ತು Z ಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವಂತೆ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

4) Zನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟು 3 ಸೆಂ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ವೃತ್ತವನ್ನ T ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

5) XYZT ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಚತುರ್ಭುಜ.

 

6.9.5 ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (Circumference and area of a circle)  

ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ  r ಆದರೆ

 

ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆ(ಪರಿಧಿ)  = 2 r

 

 

ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =   r2

 

            ಗಮನಿಸಿ:

         ಎಂದಾಗ ನೆನಪಾಗುವುದು ಆರ್ಯಭಟನದು ಮತ್ತು ಭಾಸ್ಕರನದು

1)    ಆರ್ಯಭಟನ ಸೂತ್ರ:   

          4 ನ್ನು 100 ಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ, 8 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 62,000 ಸೇರಿಸಿದರೆ ಅದು 20000 ಮಾನದ ವ್ಯಾಸವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಅಂದಾಜು ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸುತ್ತಳತೆ =  {(4+100)*8+62000} = 62832. ವ್ಯಾಸ: 20000

 ಸುತ್ತಳತೆ/ ವ್ಯಾಸ = 62832/20000 = 3.1416(=)

2)     ಭಾಸ್ಕರನ ಸೂತ್ರ(ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 202) :

ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು 3927 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 1250 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಧಿಯೂ, 22 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ವ್ಯವಹಾರ ಯೋಗ್ಯವಾದ ಸ್ಥೂಲ ಪರಿಧಿಯೂ ಬರುತ್ತದೆ

ಸುತ್ತಳತೆ = (ವ್ಯಾಸ *3927)/1250

 ಸುತ್ತಳತೆ/ ವ್ಯಾಸ = 3927/1250 = 3.1416(=)

(ಅಂದಾಜು) = 22/7

 

6.9.2.4. ಸಮನಾದ ಜ್ಯಾಗಳು(ಕಂಸಗಳು) ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮನಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ.

 

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 AOB ಮತ್ತು COD ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ

1

OA = OD

ತ್ರಿಜ್ಯ

2

OB = OC

ತ್ರಿಜ್ಯ ದತ್ತ

3

AB = CD

ದತ್ತ    

 

4

AOB COD

ಬಾ.ಬಾ.ಬಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

5

AOB =COD

ಅನುರೂಪ  ಕೋನಗಳು

 

6.9.2.5. ಜ್ಯಾಗಳು(ಕಂಸಗಳು) ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮನಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಿದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳು ಸಮನಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಇದು  6.9.2.4 ರ ವಿಲೋಮ

ಸಾಧನೆ:

ಸಾಧನೆ ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ. ಹಂತ  3 ರಲ್ಲಿ  AOB =COD ಎಂದು ನಮೂದಿಸಿ.  ನಂತರ  ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಂತೆ AB=CD.

 

ಗಮನಿಸಿ:  3 ಸರಳರೇಖಾಗತವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ಒಂದು ವೃತ್ತವು ಹಾದುಹೋಗಲು ಸಾಧ್ಯ.

 

 

6.9 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

 

ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಜ್ಯಾಕ್ಕೆಳೆದ ಲಂಬವು ಜ್ಯಾವನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.

2

ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸಮವಾಗಿ ಜ್ಯಾಗಳು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

3

ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸಮ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಜ್ಯಾಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.

4

ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಂಸವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನವು, ಅದೇ ಕಂಸವು. ವೃತ್ತದ ಉಳಿದ ಭಾಗದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಕೋನದ ಎರಡರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

5

ಒಂದು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸರಳಕೋನ ಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. (ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ  1800ಆಗಿರುತ್ತದೆ.).