2.14  ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು (Solving of Simultaneous Linear Equations):

 

ಬೀಜಗಣಿತದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ  ನೀಡಿದ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಲಿದ್ದೇವೆ.

“ನನ್ನ ಮತ್ತು ನನ್ನ ತಂದೆಯ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಯ 55 ವರ್ಷಗಳು. 16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ನನ್ನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು ನನ್ನ ವಯಸ್ಸಿನ ಎರಡರಷ್ಟಾಗುವುದಾದರೆ, ಈಗ ನನ್ನ ವಯಸ್ಸೆಷ್ಟು”?

ನಾವೀಗಾಗಲೇ x+1 = 5, 2a+6 =10, ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲಾ ಒಂದೇ ಚರಾಕ್ಷರವಿದೆ. ಇಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳೆನ್ನುತ್ತೇವೆ..

 

ಈಗ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣ x+y = 5 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.ಇದರಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿವೆ. ಈಗ ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗಳಿಗೆ ಬೇರೆಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಡುವಾ. ಆಗ (x=1,y=4), (x=2,y=3), (x=3,y=2), (x=0,y=5), (x= -2, y=7) ಈ ರೀತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೆಲೆ ಇರದ ಹಲವು ಬೆಲೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. x ಮತ್ತು y ಗಳಿಗೆ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಬೆಲೆಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ. ಹಾಗಾದರೆ, ಇದು ಏಕೆ? ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ನ್ನ ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ, y = 5-x ಆಗುತ್ತದೆ. x  ನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೆ y ಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬೆಲೆಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ನಮಗೆ x ಮತ್ತು y ಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣ ಬೇಕು.

 

ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನಂತ ಬೆಲೆಗಳು ಸಿಗುವುದರಿಂದ,ಇಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಅದೇ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣ ಬೇಕು.

 

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನು ನಿಮಗೊಂದು ಆಟದ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತಾನೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನೀವು ಸರಿಯುತ್ತರ ಹೇಳಿದರೆ, ಅವನ ವಯಸ್ಸಿನಷ್ಟೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿ.ಡಿ.ಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ಕೊಡುತ್ತಾನೆ. ಈ ಪಂದ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಾ?

 

2.14 ಸಮಸ್ಯೆ 1 (ಪಂದ್ಯದ ಲೆಕ್ಕ): “ನನ್ನ ಮತ್ತು ನನ್ನ ತಂದೆಯ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಯ 55 ವರ್ಷಗಳು. 16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ನನ್ನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು ನನ್ನ ವಯಸ್ಸಿನ ಎರಡರಷ್ಟಾಗುವುದಾದರೆ, ಈಗ ನನ್ನ ವಯಸ್ಸೆಷ್ಟು”?

 

ಅಂದಾಜಿನಿಂದಲೇ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು. ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನು ಚಿಕ್ಕ ಮಗುವು ಆಗದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಅತನ ವಯಸ್ಸು 9 ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಾ.

 

ಈಗ(ಒಟ್ಟು =55)		16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ
ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು	ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು	ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು	ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು
9	46	25	62
10	45	26	61
11	44	27	60
12	43	28	59
13	42	29	58
14	41	30	57
15	40	31	56

 

ಮೇಲಿನ ತ:ಖ್ತೆಯಿಂದ ತಿಳಿದು ಬರುವುದೇನಂದರೆ,ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು ಈಗ 13 ವರ್ಷಗಳಾದರೆ 15 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು(58) ಆತನ ವಯಸ್ಸಿನ(29) ಎರಡರಷ್ಟಾಗಲಿದೆ.ಈಗ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನಿಂದ 13 ಸಿ.ಡಿ.ಗಳನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.

ಆದರೆ ಜಟಿಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹಾಗಾದರೆ ಇದಕ್ಕೊಂದು ನಿಯಮಬದ್ಧವಾದ ಕ್ರಮವಿದೆಯೆ?

 

ಪರಿಹಾರ:

ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ಈಗಿನ ವಯಸ್ಸು = y ವರ್ಷಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು = x ವರ್ಷಗಳಾಗಿರಲಿ.

ಅವರಿಬ್ಬರ ವಯಸ್ಸಿನ ಮೊತ್ತ 55 ವರ್ಷಗಳಾದ್ದರಿಂದ,

                     x+y =55

16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು = y+16

         ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು = x+16.

ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಂತೆ, x+16 =2*(y+16)

 x+16 = 2y+ 32    (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದೆ.)

 x-2y = 32-16 =16 (ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದೆ.)

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಮಗೀಗ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರೆತವು:

 (1) x+y =55

(2) x-2y = 16

 

ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಚರಾಕ್ಷರ ಬೇಕು.ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹೋಗಲಾಡಿಸಬೇಕು. ಹೇಗೆ?

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

 

                                       x+y =55   ==è (1)

                                       x-2y=16   ==è (2)

                                       ----------

 (2) ನ್ನು (1)   ರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ     0+3y =39   ==è (3)

                                      -----------

3y = 39

   y=13

x+y =55    ==è (1)

x = 55-y ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದೆ.)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ y=13 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

x=55-13

 =42

ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು = 13 ವರ್ಷ

ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು = 42 ವರ್ಷ

 

ತಾಳೆ:

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು = 13 ವರ್ಷ, ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು = 42 ವರ್ಷ ಆದಾಗ ಅವರ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಯ 55 ವರ್ಷಗಳು.

16 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ,ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನ ವಯಸ್ಸು = 29 ವರ್ಷ, ಅವನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು =58( ಆಗ ಅವನ ವಯಸ್ಸು ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಎರಡರಷ್ಟಾಗುವುದು)

2. x ಮತ್ತು y ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ x+y = 42+13 = 55 , (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ: x-2y = 42-26 = 16

 

2.14 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ಕಂಪಾಸು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಬೆಲೆಯು ಒಂದು ಪೆನ್ನಿನ ಬೆಲೆಗಿಂತ ರೂ.18 ಜಾಸ್ತಿ. ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಾಪಕರು ನಿಮಗೆ 240 ರೂ ಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟು 5 ಕಂಪಾಸು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಮತ್ತು 10 ಪೆನ್ನುಗಳನ್ನು ತರಲು ಹೇಳಿದರೆ, ಒಂದು ಕಂಪಾಸು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪೆನ್ನಿನ ಕ್ರಯ ಕಂಡುಹಿಡಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಕಂಪಾಸು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಕ್ರಯ = y ಆಗಿರಲಿ

        ಒಂದು ಪೆನ್ನಿನ ಕ್ರಯ = x ಆಗಿರಲಿ

(1) y = x+18       ===(1)

(2) 5y+10x = 240 ===(2)

 

(1)   ನ್ನ  ಸರಿಯಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ, y-x =18     ====(3)

(2)   ನ್ನ 5  ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ,          y+2x= 48   ====(4)  

(3)   ರಲ್ಲಿ (4) ನ್ನ ಕಳೆದಾಗ                  -----------

                                           -3x =-30 -------(2)

                                              x = -30/-3  =10 -------(3)

                                                                    

ಒಂದು ಪೆನ್ನಿನ ಕ್ರಯ = 10 ರೂ.

ಒಂದು ಕಂಪಾಸು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಕ್ರಯ = 28 ರೂ.

ಅಭ್ಯಾಸ: x ಮತ್ತು y ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ಮತ್ತು (2)ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ, ತಾಳೆನೋಡಿ.

 

2.14 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಬಿಡಿಸಿ: 2x+2y =4   ಮತ್ತು   x+y =2

ಪರಿಹಾರ:

                                                              2x+2y =4   ====(1)

                                                              x+y =    2  ====(2)

 (2) ನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

                                                              2x+2y=4     ====(3)

 

 (1) ರಿಂದ(3) ನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ 0 =0 ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸತ್ಯ.

x ಮತ್ತು y ಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಡಬಹುದು. ಅವುಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಬೆಲೆಗಳಿಲ್ಲ( ಏಕಂದರೆ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ ಮೊದಲನೆಯದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿದೆ)

2.14 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಬಿಡಿಸಿ: 2x+2y =4 ಮತ್ತು  x+y = 3 

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳು:                                      2x+2y =4   ====è(1)

                                                                 x+y = 3  =====è(2)

 

 (2) ನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,

                                                                2x+2y=6  =====è(3)

 

(3) ರಿಂದ (1) ನ್ನ ಕಳೆದಾಗ, 0 =2 ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ x ಮತ್ತು y ಗಳ ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳೂ ಕೊಟ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳುಳ್ಳ ಎರಡು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು “ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು” (simultaneous linear equations) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ..

ಅವುಗಳು, a₁ x+ b₁ y = c₁      ಮತ್ತು     a₂ x+b₂ y ₌ c₂

ಇಲ್ಲಿ a₁, b₁, a₂, b₂, c₁ ,c₂ ಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಶಗಳು, x ಮತ್ತು y  ಗಳು ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ( ಇವುಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನೇ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದದ್ದು.)

 

 

ಹೀಗಿರುವ ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಿಡಿಸಿದ್ದೇವೆ?

 

ಸಹ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸಮಗೊಳಿಸಿ, ಹೋಗಲಾಡಿಸುವ ಕ್ರಮ (Method of Elimination by equating co –efficients):

 

ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ಹಂತಗಳು:

 

1.      ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸಮಗೊಳಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ) ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

2.      ಪದಗಳು ಸಮ ಸಂಖ್ಯಾ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ವಿಜಾತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು. ಸಜಾತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಕಳೆಯಬೇಕು.

3.      ಈ ರೀತಿ ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಅದರಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

4.      ಸಿಕ್ಕಿದ ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ, ಇನ್ನೊಂದು ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

 

ಗಮನಿಸಿ:

ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

1. a₁ x+ b₁ y = c₁

2. a₂ x+b₂ y ₌ c₂

 

1.      (a₁ / a₂) = (b₁ / b₂)   (c₁ / c₂) ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶ ಇಲ್ಲ.

2.      (a₁ / a₂) = (b₁ / b₂) = (c₁ / c₂) ಆದರೆ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ

3.      (a₁ / a₂) (b₁ / b₂)  ಆದಾಗ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ.

 

2.14 ಸಮಸ್ಯೆ 5:

ಬಿಡಿಸಿ: x+y =2xy   ------à(1)

          x-y = 6xy  -----à(2)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ 2x = 8xy

ಅಂದರೆ  1 = 4y

           y = 1/4

y ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

x+ 1/4 =  2x/4 = x/2

ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ, x-x/2 = - 1/4

 x = -1/2

 

ತಾಳೆ:

x,y ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ:

x+y =  -1/2+1/4 = -1/4

2xy =  2*(-1/2)*(1/4) = -1/4

x+y =2xy

x-y =  -1/2-1/4 = -3/4

6xy=  6*(-1/2)*(1/4) = -3/4

 x-y = 6xy

 

2.14 ಸಮಸ್ಯೆ 6:  ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣತೆಗೂ ಅನುತ್ತೀರ್ಣತೆಗೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ 4:1( ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದವರು ಅನುತ್ತೀರ್ಣರಾದವರ 4 ಪಟ್ಟು). ಒಂದು ವೇಳೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತವರಲ್ಲಿ 30 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಹಾಜರಾಗದಿದ್ದಲ್ಲಿ, 20 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುತ್ತಿದ್ದರು. ಆಗ ಆ ಅನುಪಾತ 5:1 ಆಗಿರುತ್ತಿತ್ತು. ( ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದವರು ಅನುತ್ತೀರ್ಣರಾದವರ 5 ಪಟ್ಟು) ಹಾಗಾದರೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಹಾಜರಾದ ವಿದ್ಯಾಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದ ವಿದ್ಯಾಥಿಗಳು: x ಆಗಿರಲಿ.

ಅನುತ್ತೀರ್ಣರಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು y ಆಗಿರಲಿ.

 x=4y      ------à(1)

ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತವರು = x+y

           

30 ಮಂದಿ ಕಡಿಮೆ ಹಾಜರಾದಾಗ, 20  ಮಂದಿ (x-20) ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುತ್ತಿದ್ದರು. ಆಗ

1)   ಹಾಜರಾಗಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು = x+y-30

2)   ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು = (x+y-30) –(x-20)

= y-10

 

3)  ಉತ್ತೀರ್ಣತೆಗೂ ಅನುತ್ತೀರ್ಣತೆಗೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ 5:1 ಆಗುತ್ತಿತ್ತು.

 (x-20) = 5(y-10)   -----à(2)

 

ಈಗ ನಮಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಿಕ್ಕಿದವು. : 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣದ  x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 2 ನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

4y-20 = 5(y-10)   ---

 = 5y-50

4y-20 -4y+20 = 5y-50-4y+20 (ಎರಡೂ ಬದಿಯಿಂದ 4y ನ್ನು ಕಳೆದು 20 ನ್ನು  ಕೂಡಿಸಿದಾಗ)

 0= y-30

30=y

x=4*30( y  ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ)

=120

 

ತಾಳೆ:

ಉತ್ತೀರ್ಣರು: ಅನುತ್ತೀರ್ಣರು = 120:30 (ಇದು 4:1 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಇದೆ)

ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತವರು = 120+30=150

30 ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತವರು = 150-30 =120 ಮತ್ತು 20 ಮಂದಿ ಕಡಿಮೆ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುತ್ತಿದ್ದರು. ಆಗ

ಉತ್ತೀರ್ಣರು = 120-20 =100

          ಅನುತ್ತೀರ್ಣರು = 120-100 = 20

ಉತ್ತೀರ್ಣರು: ಅನುತ್ತೀರ್ಣರು = 100:20 (ಇದು 5:1 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಇದೆ)

 

2.14 ಸಮಸ್ಯೆ 7:  ಎರಡು ಅಂಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿ ಆಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ 9.  ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ 9 ರಷ್ಟು, ಬಿಡಿ ಆಂಕಿಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದಾಗ ದೊರೆತ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡರಷ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮ ಇದ್ದರೆ ಅಂಕಿಗಳು ಯಾವುವು?

ಪರಿಹಾರ:

x ಅಂಕಿಯು ಹತ್ತರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ y ಯು ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಇರಲಿ. ಆಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ (xy) ಬೆಲೆ 10x+y. ಇದರ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ (yx) ಬೆಲೆ 10y+x.

ದತ್ತಾಂಶದಂತೆ: 

x+y = 9   (xy)

9(10x+y) =  2(10y+x)

 

ಅಭ್ಯಾಸ: 

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ (x =1 and y=8). ಸಂಖ್ಯೆ 18 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

1+8 = 9

9*18 =2*81

 

2.14 ಸಮಸ್ಯೆ 8:   ನಿಮ್ಮ ತಾಯಿಯ ಜೊತೆಗೆ ನಿಮ್ಮ ಊರಿಗೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿರಿ, ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಿಮಗೆ ಟಿಕೇಟ್ ನ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ 50% ಕಡಿತ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕ ದಲ್ಲಿ ರಿಯಾಯಿತಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.  ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕ ಸೇರಿ ನಿಮ್ಮ ತಾಯಿಯ ಟಿಕೆಟ್ 2125 ರೂ ಇದ್ದು ನಿಮ್ಮಿಬ್ಬರ ಟಿಕೆಟ್ ಗೆ 3200 ರೂ ಆದರೆ, ಒಬ್ಬ ವಯಸ್ಕನ ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕ ಏಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

x ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು y ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕ ಇರಲಿ. ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಆಗಿರುವದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ (1/2)x

x+y = 2125    ----à(1)

ನೀವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಆಗಿರುವದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ (1/2)x . ಕಾದಿರಿಸುವ ಶುಲ್ಕದಲ್ಲಿ ವಿನಾಯಿತಿ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಅದು ಇಬ್ಬರಿಗೂ y ಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಮ್ಮಿಬ್ಬರ ಟಿಕೆಟ್ ನ ಬೆಲೆ = {(1/2)x+y} + (x +y) =3200

 (3/2)x+2y =3200 = 3200

3x+4y =6400   ----à(2) (ಎರಡೂ ಕಡೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು  ಬಿಡಿಸಿದಾಗ x = 2100, y = 25 ಎಂದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ತಾಳೆ:

2125 = 2100+25

3200 = 2100+25+1050+25

 

 

 

 

2.14 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	( a1 x+ b1 y = c1, a2 x+b2 y = c2) ಈ ರೀತಿಯ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ಬಿಡಿಸುವುದು..
2	ಎಲ್ಲಾ ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ

 

ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿ

 

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ (Alternate method): ಆದೇಶದಿಂದ ಹೋಗಲಾಡಿಸುವುದು (Method of elimination by substitution)

 

ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮಿಕರಣಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದಲ್ಲೂ ಬಿಡಿಸಬಹುದು:

 

1.      ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಮಿಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು (y) ಇನ್ನೊಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ (x) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

2.      ಮೇಲಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ  ಪಡೆದ (y) ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಿಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,(x) ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ..

3.      (x) ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಮಿಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,(y) ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಈಗ 2.14.2   ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸುವಾ.

ಬಿಡಿಸಿ:

5y+10x =240     ----(1)

5y -5X =   90     ----(2)

5y= 5x + 90 (ಸಮೀಕರಣ 2 ರಲ್ಲಿ 5xನ್ನ ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದೆ)

5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ y = x+18

y ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ 1 ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,          

5y +10x =240

5(x+18)+10x=240

5x+90+10x=240

 15x= 240-90

=150

ಅಂದರೆ 150 = 15x

x = 10

x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು 1ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,

5y+10*10 = 240

ಅಂದರೆ 5y = 240-100=140

 y = 28

ಈ ಬೆಲೆಗಳು ಉದಾ.2.14.2 ರಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ದೊರೆತಿವೆ.