2.6 ತ್ರಿಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು   (Factorisation of Trinomials):

 

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು ಬಹಳ ಅಗತ್ಯ. 5-(3a²-2a)( 6-3a²+2a) = (3a+1)(a-1) (3a-5)(a+1)  ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತೇ?    a=1, -1 ಎಂಬ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಸರಿಯಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ a ನ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗೆ ಇದು ಸರಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ( ಸಮಸ್ಯೆ 6 ನ್ನು ನೋಡಿ) ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಪದಗಳ (ಅಪವರ್ತನಗಳ)ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯುವ  ಕ್ರಮವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ ಎನ್ನುವರು.ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ.

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ. ಸಾ. ಅ ವನ್ನು ಹೊರಗೆ ತೆಗೆದು ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು. ಉದಾ:

 

4x²y, 8x³ ಮತ್ತು 12xy  ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 4x

 4x²y+8x³+12xy = 4x (xy+2x²+3y)

ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸುಲಭ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತರಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು ಉದಾ:  4x²+5y (ಏಕೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿ)

 

x²+mx +c  ರೂಪದ ತ್ರಿಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? 

ಉದಾ: x²+x(a+b)+ab - ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

x²+x(a+b)+ab

= (x²+xa)+(xb+ab) ( ಪದಗಳ ಪುನರ್ಜೋಡಣೆ)

= x(x+a)+b(x+a) ( x² ಮತ್ತು xa ನ  ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ x, ಮತ್ತು xb ಮತ್ತು ab ನ  ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ b )

= (x+a)(x+b)

ಆದ್ದರಿಂದ  x+a ಮತ್ತು x+b ಗಳು x²+x(a+b)+ab ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

ಅರ್ಥಾತ್ x²+x(a+b)+ab ಯನ್ನು x+a ಮತ್ತು x+b ಎಂಬ ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು

 

ಉದಾ: 

x²+5x+6

=x²+3x+2x+6

=x(x+3)+2(x+3)

=(x+3)*(x+2)

 x+3 ಮತ್ತು x+2 ಇವುಗಳು x²+5x+6 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು.

ಇವು x+a ಮತ್ತು x+b ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.

ಈ x+a ಮತ್ತು x+b ಎಂಬ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಹೇಗಿವೆ?

 a+b= 5 , ab=6 ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.

ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ, a=3 ಮತ್ತು  b=2 ಬೆಲೆಗಳು a+b=5 ಮತ್ತು ab=6 ಎಂಬ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದಲೇ 5x ನ್ನು 3x+2x ಎಂದು ವಿಭಜಿಸಿದ್ದು.

ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ 5x ನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಂಥ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ತಿಳಿಯುವಾ

x²+5x+6 ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು x²+mx +c  ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ m = 5 and c=6.

 

2.6 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಅಪವರ್ತಿಸಿ x²+27x+176

 

ಪರಿಹಾರ: 

ಈಗ ನಾವು a+b=27 ab=176 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

176 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (2, 88), (4, 44), (8, 22), (16, 11).

176 ರ ಋಣ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಧನಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೇಲಿನ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ (16, 11)  ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a= 16 ಮತ್ತು b=11

x²+27x+176 = x²+16x+11x+ 176

=x(x+16) +11(x+16)

=(x+16) (x+11)

 

x²+27x+176 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (x+16) ಮತ್ತು (x+11)

 

ತಾಳೆ:

 

(x+16)(x+11) ಇದು (x+a)*(x+b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ a=16 , b=11

 (x+16)*(x+11) = x²+ x(16+11)+ 16*11

                           = x²+27x+176  ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

 

2.6 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಅಪವರ್ತಿಸಿ  x²-6x-135

 

ಪರಿಹಾರ: 

a+b= -6 , ab= -135  ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

-135 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (3,-45), (-3, +45), (5,-27), (-5, +27), (9,-15), (-9, +15)

ಈ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ, 9-15 = -6 , 9*-15 = -135. ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

 a= 9 , b= -15

x²-15x+9x -135

=x(x-15)+9(x-15)

=(x-15)(x+9)

x²-6x-135 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು:

(x-15) ಮತ್ತು (x+9)

 

ತಾಳೆ:

(x-15)(x+9) ಇದು (x+a)*(x+b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=-15, b=9

 (x-15)*(x+9) = x²+ x(-15+9)+ (-15*9)= x²-6x-135 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

 

2.6 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಅಪವರ್ತಿಸಿ, m²+4m-96

 

ಪರಿಹಾರ: 

ಈಗ a+b= 4 ,ab= -96 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

(-96) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (2,-48), (-2, 48), (3,-32), (-3, +32), (4,-24), (-4, +24), (6,-16), (-6,16), (8,-12), (-8,12)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ - 8+12 = 4 , -8*12 = -96. ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

a= -8 , b=12

m²-8m+12m -96

=m(m-8)+12(m-8)

=(m-8)(m+12)

 m²+4m-96 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (m-8) ಮತ್ತು  (m+12)

 

ತಾಳೆ:

(m-8)(m+12) ಇದು (m+a)*(m+b) ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದು

 a=-8, b=12

 (m-8)*(m+12) = m²+ m(-8+12)+ -8*12

     = m²+4m-96 - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

 

ಈಗ, px²+mx +c ರೂಪದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾ.ಇಲ್ಲಿ x², ದ ಸಹಗುಣಕ 1 ರ ಬದಲಾಗಿ p.

ನಾವಿಲ್ಲಿ a+b=m ಮತ್ತು ab=pc ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. 

2.6 ಸಮಸ್ಯೆ 4 : ಅಪವರ್ತಿಸಿ 24x²-65x+21

 

ಪರಿಹಾರ: 

ಈಗ ನಾವು a+b= -65 ಮತ್ತು ab= 24*21 =504 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

(24*21) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಜೊತೆಗಳು:(2,252), (-2,-252), (3, 138 ), (-3,-138), (4,126), (-4,-126),  (6,83),

(-6,-83), (8,63), (-8,-63), (9,56), (-9,-56), (12,42), (-12,-42)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ, (-9-56) = -65 , -9*(-56)  = 504=24*21 ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

 a= -9 , b= -56

24x²-65x+21

=24x²-9x -56x+21 ( -65x ನ್ನು  -9x-56x ಎಂದು ಬರೆದಿದೆ.)

=3x(8x-3) -7(8x-3) {(24x² ಮತ್ತು , 9x. ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 3x

-56x ಮತ್ತು  21 ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ -7)}

= (8x-3)(3x-7) ( 8x-3 ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ)

24x²-65x+21 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (8x-3) ಮತ್ತು (3x-7 )

 

ತಾಳೆ:

(8x-3)(3x-7)

=8x(3x-7)-3(3x-7) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

=24x²-56x -9x+21 (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)

=24x²-65x+21 – ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

 

 

2.6 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಅಪವರ್ತಿಸಿ 6p²+11pq -10q²

 

ಪರಿಹಾರ: 

ಈಗ, a+b= 11 , ab= 6*(-10) =-60 ಆಗುವಂತೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

  -60 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಜೊತೆಗಳು: (2,-30), (-2,30),(3, -20 ),(-3,20) (4,-15), (-4,15), (5,-12),(-5,12),(6,-10),

(-6,10)

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ,- 4+15 = 11 , -4*15  = -60  a=15, b=-4. ಈ ಜೋಡಿ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ  ಅನುಸಾರವಾಗಿದೆ.

6p²+11pq -10q²

=6p²+15pq -4pq-10q²( 11pq = 15pq-4pq)

=3p(2p+5q) -2q(2p+5q)

=(2p+5q)(3p-2q)

6p²+11pq -10q² ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2p+5q ಮತ್ತು 3p-2q 

 

ತಾಳೆ: 

(2p+5q)(3p-2q)

=2p(3p-2q)+5q(3p-2q) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

=6p²-4pq +15qp-10q² (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)

= 6p²+11pq -10q² - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ.

 

2.6 ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಅಪವರ್ತಿಸಿ,  5-(3a²-2a) (6-3a²+2a)

 

ಪರಿಹಾರ: 

ಇಲ್ಲಿ x =3a²-2a ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

ಆದ್ದರಿಂದ 5-x( 6-x) ವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬೇಕು.

5-x( 6-x)

= 5 -6x + x²

= x² -6x +5 = x² -5x -x+5

= x(x-5)-1(x-5)

= (x-1)(x-5)

 x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, 

5-(3a²-2a)( 6-3a²+2a)

= (3a²-2a -1) (3a²-2a-5)

ಆದರೆ 3a²-2a -1 = 3a²-3a+a -1 = 3a(a-1)+1(a-1) = (3a+1)(a-1)

3a²-2a-5 = 3a²+3a -5a-5 = 3a(a-1)-5(a+1) = (3a-5)(a+1)

 5-(3a²-2a)( 6-3a²+2a) = (3a+1)(a-1) (3a-5)(a+1)

 

ತಾಳೆ: 

1.      ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಪ್ರತೀ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿರಿ.

2.      a=2 ಎಂಬ ಬೆಲೆಗೆ ಸರಿಯಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ,(5 -8*-2) = 21 = (7*1*1*3)

 

 

2.6 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	a+b=m , ab=c ಆದಾಗ,  x+a ಮತ್ತು x+b ಗಳು ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿರುವಂತೆ x2+mx +c  ರೂಪದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು.
2	a+b =m , ab=pc ಆಗುವಂತೆ px2+mx +c ಯನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸುವುದು.