2.8 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಅಪವರ್ತಿಸುವಿಕೆ (Factorisation of algebraic expressions):

 

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾ:

ಸಂ.

ಬೀಜೋಕ್ತಿ

ಅಪವರ್ತನಗಳು

1

(p-q)2- 3(p-q)

(p-q){(p-q)-3}

2

2x(a-4b)+3y(a-4b)

(a-4b)(2x+3y)

3

m2(pq+r)+mn(pq+r)+ n2(pq+r)

(pq+r) (m2+mn+ n2)

 

ಪಾಠ 2.5 ರಲ್ಲಿ  px2+mx +c ರೂಪದ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ.

 

2.8.1 ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣಗಳು / ಸೂತ್ರಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು (Factorisation using identities/formulae):

 

ಪಾಠ 2.3 ರಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಸಮೀಕರಣ

ವಿಸ್ತರಣೆ

ಅಪವರ್ತನಗಳು

1

(a+b)2

a2+b2+2ab

(a+b) ಮತ್ತು (a+b)

2

(a-b)2

a2+b2-2ab

(a-b) ಮತ್ತು (a-b)

3

(a+b)(a-b)

a2-b2

(a+b) ಮತ್ತು (a-b)

4

(x+a)*(x+b)

x2+x(a+b)+ab

(x+a) ಮತ್ತು (x+b)

 

2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ 9p2+12pq +4q2

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು 9p2 +4q2+12pq. ಎಂದು ಬರೆಯುವಾ. ಇದು a2+b2+2ab ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a2= 9p2 , b2=  4q2 , 2ab=12pq

9p2 = 3p*3p =(3p)2

4q2 = 2q*2q= (2q)2

12pq = 2*3p*2q

a=3p and b=2q

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು a2+b2+2ab ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) ಮತ್ತು (a+b)

 ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (3p+2q) ಮತ್ತು (3p+2q)

 

ತಾಳೆ:

(3p+2q)(3p+2q)

=3p(3p+2q)+2q(3p+2q) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)

=9p2+6pq +6qp+4q2 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ.)

= 9p2+12pq +4q2  - ಇದು ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

 

2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ 36x2-60x +25 ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 36x2 +25-60x. E°è a2= 36x2, b2=  25=52 ಮತ್ತು -2ab=-60x

(6x)2 +(5)2 -2*6x*5

 ಇದು a2+b2-2ab ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=6x ,b=5.

 ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a-b) ,(a-b).

= (6x-5) ಮತ್ತು (6x-5).

 

ತಾಳೆ:

 (6x-5) (6x-5)

=6x(6x-5)-5(6x-5) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)

=36x2-30x -30x+25 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)

= 36x2-60x +25  - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

 

2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: (x+2)2+18(x+2) +81.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ ಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯುವಾ: (x+2)2 +81+18(x+2).

ಇದು a2+b2+2ab ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a2= (x+2)2 , b2= 81=92

2ab=18(x+2)

a=(x+2),b=9   2ab = 2(x+2)*9 =18(x+2)

 ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: a2+b2+2ab ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) ಮತ್ತು (a+b)

 ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು:  (x+2+9) (x+2+9)

=(x+11) ಮತ್ತು (x+11)

 

ತಾಳೆ:

 (x+11) ನ್ನ (x+11) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ತಾಳೆನೋಡಿ.

 

2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಸೂಕ್ತ ಸಮೀಕರಣ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: p4/16- q2/64

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a2-b2 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a2= p4/16= (p2/4)2 , b2= q2/64 = (q/8)2

a=p2/4 ,b=q/8.

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a2-b2 ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (a+b) ಮತ್ತು (a-b).

 ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p2/4+q/8) ಮತ್ತು (p2/4-q/8).

 

ತಾಳೆ:

 (p2/4+q/8)(p2/4-q/8)

=p2/4(p2/4-q/8)+q/8(p2/4-q/8) (ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿರಿ.)

=(p2/4)2-p2q/32 +qp2/32 –(q/8)2 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ.)

= p4/16- q2/64  - ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ

 

2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಪವರ್ತಿಸಿ: 8(x+1/x)2-18(x-1/x)2 

 

ಪರಿಹಾರ:

8 ಮತ್ತು 18 ಇವೆರಡೂ ಪೂರ್ಣವರ್ಗಗಳಲ್ಲ                                  

ಆದರೆ 8 =2*4 , 18 =2*9.

4=22      9=33

8(x+1/x)2-18(x-1/x)2 = 2{4(x+1/x)2-9(x-1/x)2}.

ಈಗ 4(x+1/x)2-9(x-1/x)2  ಇದು a2-b2 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

a2= 4(x+1/x)2 =(2(x+1/x))2  

b2=(3(x-1/x))2

ಈಗ a=2(x+1/x) , b=3(x-1/x)

ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು a2-b2 ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಅಪವರ್ತನಗಳು (a+b) , (a-b)

 ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (2(x+1/x) + 3(x-1/x)) ಮತ್ತು (2(x+1/x) - 3(x-1/x))

ಇಲ್ಲಿ 2 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ.

 ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2 , (2(x+1/x) + 3(x-1/x))

(2(x+1/x) - 3(x-1/x))

 

ಅಭ್ಯಾಸ: ತಾಳೆ ನೋಡಿ: 2(2(x+1/x) + 3(x-1/x))(2(x+1/x) - 3(x-1/x))= 8(x+1/x)2-18(x-1/x)2

 

2.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 400. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 8 ಆದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? (ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 59)

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x,y ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ

x2 -y2 =400

x-y= 8  ( x= y+8)   ------(1)

 

x2 -y2  = (x+y)*(x –y)  {a2-b2 =(a+b)*(a-b)}

         = 8(x+y)           (x-y =8)

 400 = 8(x+y)          (x2 -y2 =400)

 (x+y) = 50             ( 8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ)

 

  y+8+y =50            (  (1) ರಂತೆ)

 

  2y = 42                (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ)

  y =21

  x=  29                  (  (1) ರಂತೆ)

 

ಅಭ್ಯಾಸ:

29-21 =8

292-212 = ??

 

2.8.2 ಮೂರು ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ (Product of three binomials)

 

 (x+a)*(x+b) = x2+x(a+b)+ab  - ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಮೂರು ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಗಳು: (x+a)*(x+b)*(x+c) ಯ ಗುಣಲಬ್ಧ ನೋಡುವಾ.

(x+a)*(x+b)*(x+c)

= {(x+a)*(x+b)}*(x+c)

= {x2+x(a+b)+ab}*(x+c)

= x2(x+c)+x(a+b)*(x+c) + ab(x+c)    ({x2+x(a+b)+ab} ರ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (x+c) ಯ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದೆ.)

 = x3+ x2c + x(a+b)*x+x(a+b)*c + abx+abc  ( x(a+b) ರ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (x+c) ಯ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದೆ.))

= x3+ x2c + x2(a+b)+x(a+b)*c + abx+abc ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ.)

= x3+ x2(c+a+b)+xac+xbc + abx+abc ವಿಸ್ತರಿಸಿ,ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ.)

= x3+ x2(a+b+c)+x(ac+bc+ ab)+abc ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ.)

= x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc ಪುನರ್ಜೋಡಣೆ.)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ b=a , c=a ಹಾಕುವಾ.

ಆಗ, (x+a)(x+a)(x+a) = x3+ (a+a+a) x2+(a*a+a*a+a*a)x+a*a*a

= x3+ 3ax2+3a2x+ a3

= x3+ 3ax(x+a)+ a3

ಈಗ x ನ್ನa ಯಿಂದಲೂ, a ಯನ್ನು b ಯಿಂದಲೂ (a+b)3 = a3+ 3ab(a+b)+ b3

‘b’ ಇರುವಲ್ಲಿ (–b) ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ,

(a-b)3 = a3+ 3a*-b(a-b)+ (-b)3

          = a3-3ab(a-b)-b3

 

2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 1.05*0.97*.98 ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

1.05 = 1+.05, 0.97 = 1-0.03 , 0.98 = 1-0.02.

x=1 and a=.05, b=-0.03 ಮತ್ತು c= -0.02

ದತ್ತಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

(x+a)(x+b)(x+c) = x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc

1.05*0.97*.98

= 13+ (0.05-0.03-0.02) 12 +((0.05*-0.03) (–0.03* -0.02)(-0.02*0.05))1+ 0.05*-0.03*-0.02

= 1+ 0 12+(-0.0015+0.0006-0.0010)1+ 0.000030

= 1- 0.0019+0.00003 =0.998130

 

ತಾಳೆ:

ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡಿ: 1.05*0.97*0.98 = 0.998130.

 

2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯ ಉದ್ದ.(5x+2 ಸೆಂ.ಮೀ., ಅಗಲ (5x-1) ಸೆಂ.ಮೀ., ಎತ್ತರ (5x+3) ಸೆಂ.ಮೀ.ಇದ್ದರೆ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಘನಾಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರ = ಉದ್ದ*ಅಗಲ*ಎತ್ತರ.

ದತ್ತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರ =(5x+2)(5x-1)(5x+3) ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.

ಇದು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

x=5x , a=2, b=-1 , c=3

ಸೂತ್ರ:

 (x+a)(x+b)(x+c)= x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc

= (5x)3+ (2-1+3) (5x)2+(-2-3+6)(5x)+ 2*-1*3,  = 125x3+ 100x2+5x-6

 

 

ತಾಳೆ:

xಗೆ ಒಂದು ಬೆಲೆ (=2) ಕೊಡುವಾ

ಆಗ,

1.      5x+2=5*2+2=12

2.      5x-1 =5*2-1=9

3.      5x+3 =5*2+3= 13

 

125x3+ 100x2+5x- 6 = 125*8+100*4+5*2-6

= 1000+400+10-6=1404

 

(5x+2)(5x-1)(5x+3)

=12*9*13 = 1404

ಘನಾಕೃತಿಯ ಘನಫಲ = ಉದ್ದ* ಅಗಲ*ಎತ್ತರ.

=12*9*13

= 1404 ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.

ಇದರಿಂದ (x+a)(x+b)(x+c)= x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು,ಹಾಗೂ

1. (a+b+c) x2 x2 ನ ಸಹಗುಣಕ (a+b+c)

2. (ab+bc+ca)x ರಲ್ಲಿ x ನ ಸಹಗುಣಕ (ab+bc+ca) ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

 

2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: (3x-1)(3x-1)(3x+4) ರಲ್ಲಿ x2 ಮತ್ತು x ನ ಸಹಗುಣಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಗುಣಲಬ್ಧವು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. x=3x , a=-1, b=-1 , c=4

ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು (x+a)(x+b)(x+c) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಸೂತ್ರ:: (x+a)(x+b)(x+c)= x3+ (a+b+c) x2+(ab+bc+ca)x+abc

= (3x)3+(a+b+c)(3x)2 + (ab+bc+ca)(3x)+abc (x=3x ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ)

1.(a+b+c)(3x)2 ನಲ್ಲಿ x2 ನ ಸಹಗುಣಕ: (a+b+c)*9. a,b ,c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

 (a+b+c)*9

= (-1-1+4)*9

= 18

2.  (ab+bc+ca)(3x) ನಲ್ಲಿ x ನ ಸಹಗುಣಕ (ab+bc+ca)*3. a,b ,c ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

 (ab+bc+ca)*3

= (1-4-4)*3

= -21

 

ತಾಳೆ:

 (3x-1)(3x-1)(3x+4) ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ತಾಳೆನೋಡಿ.

 

ನಾವು ಈ ಹಿಂದೆ ಕಲಿತ ಸೂತ್ರ:

(a+b)3 = a3+ 3ab(a+b)+ b3

 (a+b)3 -3ab(a+b) = a3+ b3(ವರ್ಗಾಯಿಸಿದೆ.)

i,e a3+ b3

=(a+b)3 -3ab(a+b)

= (a+b){ (a+b)2 -3ab}

= (a+b) { a2 +b2 +2ab -3ab}((a+b)2 ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ.)

= (a+b) (a2 +b2  -ab)

‘b’ ಗೆ ಬದಲಾಗಿ (–b) ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

a3+ (-b)3 = (a+-b) (a2 +(-b)2  -a*(-b))

   = (a-b) (a2 +b2 +ab)

ಆದರೆ, a3+ (-b)3= a3-b3

 a3-b3= (a-b) (a2 +b2 +ab)

 

2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಅಪವರ್ತಿಸಿ: 0.027 p3+0.008 q3

 

ಪರಿಹಾರ:

0.3*0.3*0.3=0.027 , 0.2*0.2*0.2=0.008

a3+b3=(a+b) (a2+b2-ab)  ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ

a=0.3p , b= 0.2q

0.027 p3+0.008 q3

= (0.3p+0.2q) ((0.3p)2 +(0.2q)2 -0.3p*0.2q)

= (0.3p+0.2q) (0.09p2 +0.04q2 -0.06pq)

 

ತಾಳೆ:

 (p ಮತ್ತು q ಗಳ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ)

p=1 , q=1, ಆಗಿರಲಿ.

ಆಗ, (0.3p+0.2q) (0.09p2 +0.04q2 -0.06pq)

= 0.5*(0.09+0.04-0.06) = 0.5*0.07 = 0.035

 

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 0.027 p3+0.008 q3

=0.027+0.008 =0.035

ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ,ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು

2.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಅಪವರ್ತಿಸಿ 125 -1/ a3b3

 

ಪರಿಹಾರ:

125 = 53 , 1/ a3b3=(1/ ab)3

a3-b3 ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲಿ a=5 , b= 1/ab

 a3-b3=(a-b) (a2 +b2 +ab) ಉಪಯೋಗಿಸಿ,a ಮತ್ತು b ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

125 -1/ a3b3

= (5 -1/ab) (52 +(1/ab)2 +5*1/ab)

= (5 -1/ab) (25 +1/a2 b2 +5/ab)

 

ತಾಳೆ:

 (a ಮತ್ತು bಗಳ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ)

a=1 ,b=2, ಆಗಿರಲಿ.

(5 -1/ab) (25 +1/a2 b2 +5/ab)

=(5-1/2)(25+1/4+5/2) =124.875(ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.)

 

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 125 -1/ a3b3

= 125-1/8= 124.875 (ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಟರನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.)

ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶ ಒಂದೇ ಇರುವುದರಿಂದ,ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

 

 

2.8 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ.

ಸೂತ್ರ

ವಿಸ್ತರಣೆ

ಅಪವರ್ತನಗಳು

1

(a+b)2

a2+b2+2ab

(a+b) ಮತ್ತು (a+b)

2

(a-b)2

a2+b2-2ab

(a-b ಮತ್ತು (a-b)

3

(a+b)(a-b)

a2-b2

(a+b) ಮತ್ತು (a-b)

4

(x+a)*(x+b)

x2+x(a+b)+ab

(x+a) ಮತ್ತು (x+b)

5

(x+a)(x+b)(x+c)

x3+ (a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc

(x+a),(x+b) ಮತ್ತು (x+c)

6

(a+b)3

a3+b3+3ab(a+b)

(a+b),(a+b) ಮತ್ತು (a+b)

7

(a-b)3

a3-b3-3ab(a-b)

(a-b),(a-b) ಮತ್ತು (a-b)

8

a3+b3

(a+b) (a2 +b2 -ab)

(a+b) ಮತ್ತು (a2 +b2 -ab)

9

a3-b3

 (a-b) (a2 +b2 +ab)

(a-b) ಮತ್ತು (a2 +b2 +ab)