ಏಕಕಾಲಿಕ

7.4 ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸುವುದು (Graphical method of solving Simultaneous linear equations):

ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬೇಕು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಇವುಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ(ಪಾಠ 2.14). ಈಗ ನಾವು ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಿಳಿಯುವಾ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಉತ್ತರ ಸಿಗುವುದಾ ನೋಡೋಣ.

“ x ವಸ್ತುಗಳ ತಯಾರಿಕಾ ವೆಚ್ಚ (50+3x) ರೂ. ಗಳು. x ವಸ್ತುಗಳ ಮಾರಾಟದ ಬೆಲೆ 4x ರೂ. ಎಷ್ಟು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದಾಗ ಲಾಭವೂ/ನಷ್ಟವೂ ಎರಡೂ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ?

7.4 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ನಕ್ಷೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಿ:2x-y =3 ಮತ್ತು x+2y =6

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1 : ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಬರೇ ‘y’ ಬರುವಂತೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ.

2x-y =3 -y =3-2x (ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾವಣೆ). ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. y=2x-3

ಹಂತ 2 : x ನ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ(ಕೇವಲ 2 ಬೆಲೆಗಳು ಸಾಕಾದರೂ ಸಹ) y ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಕೆಳಗಿನ ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿ:-

x à	0	1	2	3
y à	-3	-1	1	3
(x, y)	(0,-3)	(1,-1)	(2,1)	(3,3)

ಹಂತ 3 : (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಳ್ಳ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷಾಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

ಹಂತ 4 : ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಿಂದ ಸೇರಿಸಿ.

ಈ ರೇಖೆಯು y=2x-3(ಅಥವಾ 2x-y=3)

ಗಮನಿಸಿ:

1. ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಲು ಕೇವಲ 2 ಬಿಂದುಗಳು ಮಾತ್ರ ಸಾಕಾದರೂ ನಾವು (x, y) ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, 2x-y =3 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸಲು.

2. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕದೇ ಇರುವ ಇನ್ನೂ ಹಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (0.5,-2) 2x-y =3 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ನಮಗೆ ಈಗ ಈ ಮೇಲಿನ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಬೇಕು. ಆ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೇ x ಮತ್ತು y ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೆಲೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಇದಕ್ಕಾಗಿ x+2y = 6 ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆ ಎಳೆಯುವಾ. (ಹಂತ 5 ರಿಂದ 7)

ಹಂತ 5 : ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿರುವ x ನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಕೊಂಡುಹೋಗಿ. (ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಬರೇ ‘y’ ಇರಲಿ) 2y = 6-x : y = (6-x)/2

ಹಂತ 6 : x ನ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ y ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತಃಖ್ತೆಮಾಡಿ.(ಹಂತ 2 ರ ಪುನರಾವರ್ತನೆ):

x à	0	2	3	4
y à	3	2	1.5	1
(x, y)	(0,3)	(2,2)	(3,1.5)	(4,1)

ಹಂತ 7 : (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷಾಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ, ಎಲ್ಲವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಸರಳರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಹಂತ 8 : ಎರಡೂ ಸರಳರೇಖೆಗಳು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.( 2 ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ, ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ.)

ಹಂತ 9 : P ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿ: (2.4,1.8).

ತೀರ್ಮಾನ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ: x =2.4 , y =1.8

ತಾಳೆ:

ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೋಗಲಾಡಿಸುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಿ:

2x-y = 3 ====è(1)

x+2y = 6 ====è(2)

(1) ನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: 4x-2y =6 ====è(3)

---------

(2) ,(3) ನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ 5x+0 = 12

-----------

i.e. x= 2.4

x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ.

2.4+2y=6

2y =3.6(=6-2.4)

i.e. y=1.8

ಈಗ ದೊರೆತ x ,y ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಮೇಲೆ P ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೇ ಆಗಿವೆ.

7.4 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ನಕ್ಷೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ 2x+2y = 4, ಮತ್ತು x+y = 2

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ: 2x+2y =4

ಹಂತ 1: ಸಮೀಕರಣವನ್ನುy ಎಡಕ್ಕೆ ಇರುವಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ: 2y = 4-2x (ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾವಣೆ)

y = 2-x (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)

ಹಂತ 2: x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ y ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ತಃಖ್ತೆಮಾಡಿ.

x à	0	1	2	3
y à	2	1	0	-1
(x, y)	(0,2)	(1,1)	(2,0)	(3,-1)

ಹಂತ 3: (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ 2x+2y=4 ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಿ.

ಹಂತ 4: 2 ನೇ ಸಮೀಕರಣವು x+y = 2 ಪಕ್ಷಾಂತರಿಸಿದಾಗ y =2-x

ಹಂತ 5 : ಈಗ ಈ ಸಮೀಕರಣವು 2x+2y=4 ರಂತೆಯೇ ಇದೆ. (x,y) ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹಂತ 2 ರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.

x à	0	1	2	3
y à	2	1	0	-1
(x, y)	(0,2)	(1,1)	(2,0)	(3,-1)

ಹಂತ 6 : ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಹಂತ 2 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇರುವುದರಿಂದ, ನಕ್ಷಾರೇಖೆಯು ಮೊದಲಿನ ರೇಖೆಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವಂತೆ (x, y) ಗಳ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಬೆಲೆಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.

ತಾಳೆ :ಪಾಠ 2.14 ನಲ್ಲಿ 3 ನೇ ಲೆಕ್ಕ ನೋಡಿ.

7.4 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ನಕ್ಷಾಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಿ: 2x+2y = 4 , x+y = 3 .

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ: 2x+2y =4

ಹಂತ 1: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y ಎಡಕ್ಕೆ ಇರುವಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ

2y =4-2x (ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾವಣೆ):y = 2-x (ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ)

ಹಂತ 2: x ನ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ y ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ತಃಖ್ತೆಮಾಡಿ.

x à	0	1	2	3
y à	2	1	0	-1
(x, y)	(0,2)	(1,1)	(2,0)	(3,-1)

ಹಂತ 3: (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ 2x+2y=4 ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷಾರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ(ಹಿಂದೆ ಎಳೆದಂತೆ)

ಹಂತ 4: ಈಗ 2 ನೇ ಸಮೀಕರಣ: x+y =3:y =3-x (ಸ್ಥಾನ ಬದಲಾವಣೆ)

ಹಂತ 5: x ನ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ y ಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.( ಹಂತ 2 ರ ಪುನರಾವರ್ತನೆ)

x à	0	1	2	3
y à	3	2	1	0
(x, y)	(0,3)	(1,2)	(2,1)	(3,0)

ಹಂತ 6: (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ x+y=3 ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷಾರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಹಂತ 7 : ಈ ಎರಡೂ ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇವು ಎಂದೂ ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನ: 2x+2y = 4 ಮತ್ತು x+y =3 ಈ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ x ಮತ್ತು y ಬೆಲೆಗಳಿಲ್ಲ.

ತಾಳೆ :2.14 ರಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ 4 ನೋಡಿ.

ತೀರ್ಮಾನ:

a₁ x+ b₁y = c₁ಮತ್ತು a₂x+b₂y ₌c₂ ಗಳು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಾದಾಗ(ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ) ಅವುಗಳು

1. ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2. ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಪರಿಹಾರಗಳಿದ್ದರೆ, ಒಂದರಲ್ಲೊಂದು ಐಕ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ.

3. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳಿದ್ದರೆ, ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

7.4 ಸಮಸ್ಯೆ 4 : x ವಸ್ತುಗಳ ತಯಾರಿಕಾ ವೆಚ್ಚ (50+3x) ರೂ. ಗಳು. x ವಸ್ತುಗಳ ಮಾರಾಟದ ಬೆಲೆ 4x ರೂ. ನಕ್ಷಾಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಕಾ ವೆಚ್ಚದ ಮತ್ತು ಮಾರಾಟದ ಬೆಲೆಗಳ ನಕ್ಷೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಲಾಭ ಅಥವಾ ನಷ್ಟ ಆಗದಿರುವಂತೆ ತಯಾರಿಸಬೇಕಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ತಯಾರಿಕಾ ವೆಚ್ಚದ ಸಮೀಕರಣ: (ಅ.ಬೆ.) CP=3x+50.

ಮಾರಾಟದ ಬೆಲೆಯ ಸಮೀಕರಣ:(ಮಾ.ಬೆ.) SP=4x

ಕೆಳಗೆ ಸೂಚಿಸಿದ ಮಾನವನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ, ಮೇಲಿನೆರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಚಿಸುವ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಎಳೆಯಿರಿ.(CP and SP)

x – ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: 1 ಸೆ.ಮೀ..= 10 ವಸ್ತುಗಳು

y – ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ರೂಪಾಯಿ: 1 ಸೆ.ಮೀ. = 10 ರೂ.ಗಳು

ತಯಾರಿಕಾ ವೆಚ್ಚ (CP) ಯ ಪಟ್ಟಿ.

x à	0	10	20
CP à	50	80	110
(x, y)	(0,5)	(1,8)	(2,11)

ಮಾರಾಟದ ಬೆಲೆಯ ಪಟ್ಟಿ (SP)

x à	0	10	20
SP à	0	40	80
(x, y)	(0,0)	(1,4)	(2,18)

ಎರಡೂ ಸರಳರೇಖೆಗಳು (5,20) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಇದರ ಅರ್ಥ:

50 ವಸ್ತುಗಳ ತಯಾರಿಕಾ ವೆಚ್ಚ = 50 ವಸ್ತುಗಳ ಮಾರಾಟದ ಬೆಲೆ.ಆದ್ದರಿಂದಲೇ 50 ವಸ್ತುಗಳ ತಯಾರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆಗಳು ಛೇಧಿಸಿವೆ.

ತಾಳೆ :

x = 50 ಆದಾಗ, ತಯಾರಿಕಾ ವೆಚ್ಚ (CP) = 3x+50

=150+50

=200 ರೂ.

x=50 ಆದಾಗ, ಮಾರಾಟದ ಬೆಲೆ (SP) = 4x

=200 ರೂ.

ತಯಾರಿಕಾ ವೆಚ್ಚ = ಮಾರಾಟದ ಬೆಲೆ.

7.4 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಕ್ರ.ಸಂ.	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಬಿಡಿಸಬಹುದು.
2	ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳ ಛೇದನವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
3	ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.
4	ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಒಂದರಲ್ಲೊಂದು ಐಕ್ಯವಾದರೆ, ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ