7.5 ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸುವುದು (Graphical method of solving Quadratic equations):

 

y=mx+c (m ಮತ್ತು c ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆ ಎಳೆಯುವುದನ್ನು ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದೂ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ನಾವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಿಳಿಯುವಾ.

ಇಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಬಹುದು.

 

ವಿಧಾನ 1:

ax2 +bx+ c = 0 ಎನ್ನುವುದನ್ನು ax2= -bx-c ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅವು ಎರಡೂ y ಗೆ ಸಮವಿರಲಿ. ಆಗ ನಮಗೆ y = ax2 ಮತ್ತು y =-bx-c ಎಂದು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ. ಎರಡಕ್ಕೂ ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಿ. ಅವುಗಳು ಒಂದೊನ್ನೊಂದು ಕಡಿಯುವ ಬಿಂದುಗಳೇ ax2 +bx+ c = 0 ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು. 7.5 ಸಮಸ್ಯೆ 1 ನ್ನು ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

 

ವಿಧಾನ 2:

ax2 +bx+ ಗೆ ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಿ. ಆದು x ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವುದೋ (y=0) ಅಲ್ಲಿಯ x ನ ಬೆಲೆಯೇ ಮೂಲಗಳು. 7.5 ಸಮಸ್ಯೆ 2 ನ್ನು ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

7.5 ಸಮಸ್ಯೆ 1: y=2x2 ಮತ್ತು y= 3+x ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಕ್ಷೆ ಎಳೆದು 2x2-x-3=0 ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸಿರಿ ಮತ್ತು    ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ: (ವಿಧಾನ 1)

1. 2x2-x-3=0 ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸುವುದು..

ಹಂತ 1: x ನ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ y (=2x2) ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ

x à

0

1

-1

2

-2

y à

0

2

2

8

8

(x, y)

(0,0)

(1,2)

(-1,2)

(2,8)

(-2,8)

ಹಂತ 2: ನಕ್ಷಾ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಯವಾದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಜೋಡಿಸಿ.ಈ ನಯವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ‘ಪರವಲಯ’ (parabola) ಎನ್ನುವರು.

ಹಂತ 3:  x ನ 2 ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ y (=3+x) ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.

x à

-1

1

y à

2

4

(x, y)

(-1,2)

(1,4)

ಇಲ್ಲಿ  x ನ ಕೇವಲ 2 ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೇಳಿದ್ದೇಕೆ? (y=3+x ಎಂಬುದು y=mx+c ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ. ಇದರ ನಕ್ಷೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಎಳೆಯಲು 2 ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಕು!)

ಹಂತ 4: ನಕ್ಷಾ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ (x,y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ (ಬೇಕಾದರೆ ವೃದ್ಧಿಸಬಹುದು) ಈ ಸರಳರೇಖೆ ಮತ್ತು ಪರವಲಯಗಳು 2 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಆ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (-1, 2) ಮತ್ತು (1.5, 4.5). ಇವುಗಳಲ್ಲಿ x ನ ಬೆಲೆಗಳು: -1 ಮತ್ತು 1.5.  -1 ಮತ್ತು 3/2 ಈ ಬೆಲೆಗಳು 2x2-x-3=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ.  ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು:  -1 ಮತ್ತು 1.5.

 

ತಾಳೆ :

2x2-x-3=0 ಸಮೀಕರಣವು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು: x = [-b (b2-4ac)]/2a   

ಇಲ್ಲಿ a=2, b= -1,c= -3

(b2-4ac) = (1+24)= 5

ಮೂಲಗಳು: (15)/4 = -1 ಮತ್ತು 3/2 ನಕ್ಷಾ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೂ ಇವೇ ಬಂದಿವೆ.

 

2.  ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:-

ಈಗ x = ಆದಾಗ y ಯ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

y=2x2. ಪರವಲಯ ನೋಡಿ. x =  ಆದರೆ  y=2x2= 6

ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ y=6 ಆದಾಗ,x ಗೆ ಎರಡು ಬೆಲೆಗಳಿವೆ (ಅವನ್ನು ಪರವಲಯದ ಮೇಲೆ ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿ y ಅಕ್ಷದ ಎರಡೂ ಕಡೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಆ ಬಿಂದುಗಳು ಎಲ್ಲಿ x ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕಡಿಯುವುದೋ(ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಲಂಬ) ಅದು   ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

 

7.5 ಸಮಸ್ಯೆ 2:  2x2+3x-5=0 ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ: (ವಿಧಾನ 2)

ಹಂತ 1: x ನ ಕೆಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ y(=2x2+3x-5) ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ:

x à

0

1

-1

2

-2

-3

y à

-5

0

-6

9

-3

4

(x, y)

(0,-5)

(1,0)

(-1,-6)

(2,9)

(-2,-3)

(-3,4)

 

ಹಂತ 2: ನಕ್ಷಾ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ (x, y) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಯವಾದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಜೋಡಿಸಿ. ಈ ನಯವಾದ ರೇಖೆಯು ಪರವಲಯ.

ನಮಗೀಗ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು 2x2+3x-5=0 ಇರುವ ಬಿಂದು (ಅಂದರೆ y=0 ಆದಾಗ)

ಪರವಲಯವು x ಅಕ್ಷವನ್ನು (x ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y=0) 2 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ

 [x= -2.5(= -5/2) ಮತ್ತು x=1]

(ಅವನ್ನು ಪರವಲಯದ ಮೇಲೆ ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿ y ಅಕ್ಷದ ಎರಡೂ ಕಡೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ)

 1 ಮತ್ತು -5/2 ಇವುಗಳು ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ.

ತಾಳೆ :

ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣ: 2x2+3x-5=0. ಇದು ax2 +bx+ c =0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಮೂಲಗಳು:x = [-b (b2-4ac)]/2a    ಇಲ್ಲಿ a=2, b= 3,c= -5

  b2-4ac = 9+40=49 (b2-4ac) = 7

ಮೂಲಗಳು: (-37)/4 = 1 ಮತ್ತು -5/2 ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಂದಿವೆ.

 

 

 

 

7.5 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ನಕ್ಷೆ ಎಳೆದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು.