ಘನಾಕೃತಿ

6.10 ಘನಾಕೃತಿಗಳು (Geometric Solid Figures):

6.10.1 ಲಕ್ಷಣಗಳು (Properties of solid figures)

ಇಲ್ಲಿಯ ವರೆಗೆ ನಾವು ಬಿಂದು, ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಅಳತೆಯ ಸರಳರೇಖೆ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ(ಆಯತ, ಚೌಕ, ಚತುರ್ಭುಜ,,..), ವೃತ್ತ, ಇವುಗಳ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಗುಣ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಎದುರಾಗುವ ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸಿರುವ ಸವಾಲುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರವಿದೆಯಾ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

1. ಒಂದು ನೀರಿನ ಟ್ಯಾಂಕ್‍ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಲೀಟರ್ ನೀರು ಹಿಡಿದಿಡಬಹುದು?

2. ಮನೆ ಕಟ್ಟಲು ಎಷ್ಟು ಇಟ್ಟಿಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ

ಇವುಗಳಿಗೆಲ್ಲ ಗಾತ್ರ ಎದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಆಯತಘನ, ಘನ, ಸಿಲಿಂಡರ್, ಶಂಕು, ಗೋಲ ಇತ್ಯಾದಿಗಳೆಲ್ಲಾ ಘನಾಕೃತಿಗಳು

ನಂ.	ಸಮತಲಾಕೃತಿ(ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು)	ಘನಾಕೃತಿ(ಮೂರು ಸಮತಲ)
1	ಇವುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮಾತ್ರ ಇದೆ.	ಇವುಗಳು ಸ್ಥಳವನ್ನ ಆಕ್ರಮಿಸುವುದರಿಂದ ಗಾತ್ರವು ಇದೆ.
2	ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಎಂಬ ಎರಡು ಅಳತೆಗಳಿವೆ	ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಇವೆ.
3	ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಸರಳ ರೇಖಸ್ಥವಲ್ಲದ 3 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಇವುಗಳನ್ನ ರಚಿಸಬಹುದು.	ಇವುಗಳನ್ನ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ 4 ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದು

ಆಯತ ಘನಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು:-

1. ಇವುಗಳಿಗೆ 8 ಶೃಂಗಗಳಿವೆ (A,B,C,D,E,F,G,H)

2. ಇವುಗಳಿಗೆ ಆರು ಮುಖಗಳಿವೆ (EFGH), ಮೇಲ್ಭಾಗ (ABCD) ಮತ್ತು 4 ಪಾರ್ಶ್ವ ಮುಖಗಳು (ABFE,BCGF,DCGH,ADHE)

3. ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ಆಯತಾಕಾರದಲ್ಲಿವೆ.

4. 12 ರೇಖಾಖಂಡಗಳಿಂದ ಆವೃತ್ತವಾಗಿದೆ.(ಅಂಚುಗಳು)

ನಾಲ್ಕು ಲಂಬ ಮುಖಗಳನ್ನ ‘ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ’ (lateral surfaces) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. (ABFE,BCGF,DCGH,ADHE)

ಉಳಿದ ಎರಡು ಮುಖಗಳನ್ನು ಪಾದ (EFGH) ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗ (ABCD) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಆಯತ ಘನದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ABFE ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + BCGF ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + DCGH ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ADHE ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

= lh+bh+lh+bh = 2h(l+b)

ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಮನೆಗಳು, ಕಛೇರಿ ಕಟ್ಟಡಗಳು, ಸ್ಮಾರಕಗಳು, ಇನ್ನಿತರ ಕೆಲವು ಕಟ್ಟಡಗಳನ್ನ ಚತುರ್ಭುಜಾಕೃತಿ ಅಲ್ಲದ ಬೇರೆ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟಿರುವುದನ್ನ ನೋಡಿರಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಕಟ್ಟಡ ರಚನೆಗೆ, ಬಣ್ಣ ಹಾಕಲು, ಇನ್ನಿತರ ಸಲಕರಣೆಗಳನ್ನ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಬೇಕು. ಹಾಗಾದರೆ ಮೇಲಿನ ಕಟ್ಟಡಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ? ಅಲ್ಲದೆ ಕೆಲವು ನೀರಿನ ಟ್ಯಾಂಕುಗಳು ಆಯತ ಘನವಲ್ಲದ ಬೇರೆ ಆಕಾರದಲ್ಲಿರುವುದು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಇವುಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ತಿಳಿಯಲು ಇವುಗಳ ಗಾತ್ರ ಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಆಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ತಿಳಿಯುವಾ.

ಒಂದು ಆಯತ ಘನದ ಪಾದ ಆಯತಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ನಾವೀಗ ಇತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ (ತ್ರಿಭುಜ, ಪಂಚಭುಜ, ಷಟ್ಭುಜ) ಪಾದಗಳನ್ನ ಹೊಂದಿರುವ ಘನಾಕೃತಿಗಳನ್ನ ನೋಡುವಾ.ಇಂತಹ ಘನಾಕೃತಿಗಳನ್ನ ಪಟ್ಟಕ (Prisms) ಎನ್ನುವರು.

ಪಟ್ಟಕವು ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಆಯತಾಕಾರದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೈ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಪರಸ್ಪರ ಸರ್ವಸಮ ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರವಾದ ಬಹುಭುಜಗಳನ್ನ ಪಾದ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಪಟ್ಟಕದ ಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಎಲ್ಲಾ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಆಯತಾಕಾರದಲ್ಲಿವೆ.
ಪಾದ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗ ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಆಕಾರ ಮತ್ತುಅಳತೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೈಗಳು ಸಂಧಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನ ಪಾರ್ಶ್ವ ‘ಅಂಚು’ (edge) ಎನ್ನುವರು.

ಪಾದದ ಆಕಾರದ ರೀತ್ಯಾ ತ್ರ್ರಿಭುಜ ಪಟ್ಟಕ, ಆಯತ ಪಟ್ಟಕ, ವರ್ಗಪಾದ ಪಟ್ಟಕ, ಪಂಚಭುಜ ಪಾದ ಪಟ್ಟಕ, ಷಡ್ಭುಜ ಪಾದ ಪಟ್ಟಕ ಇತ್ಯಾದಿ ಇವೆ.

ಪಟ್ಟಕದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಪಾದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ಪಾದದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ಪಟ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ.

ಸಂ.	ನೇರ ಪಟ್ಟಕ	ನೇರ ಪಟ್ಟಕ	ಕೋರೆ ಪಟ್ಟಕ	ಕೋರೆ ಪಟ್ಟಕ
1		ಪಟ್ಟಕದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೈಗಳು ಪಾದದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿವೆ.	ಪಾರ್ಶ್ವ ಅಂಚು ಪಾದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ.
2		ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಆಯತಾಕಾರದಲ್ಲಿವೆ.	ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು
3		ಪಾರ್ಶ್ವ ದ ಅಂಚು ಪಟ್ಟಕದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.	ಪಾರ್ಶ್ವ ದ ಅಂಚು ಪಟ್ಟಕದ ಎತ್ತರವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಪಾದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ.

6.10.2 ಪಟ್ಟಕಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (Surface Area of Prisms)

ABCDEF ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜ ಪಟ್ಟಕವಾಗಿದ್ದು, ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜವನ್ನ ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನ ಗಮನಿಸಿ:-

1. ಪಾದ ABC ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗ DEF ಗಳು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜವಾಗಿದ್ದು ಪ್ರತೀಬಾಹು ‘a’ ಆಗಿದೆ.

2. ABC ಮತ್ತು DEF ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಮತ್ತು ಸರ್ವಸಮ.

3. ಪಾರ್ಶ್ವ ಅಂಚುಗಳು AE, BF ಮತ್ತು CD ಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಸಮವಾದ ಎತ್ತರ ‘h’ ಹೊಂದಿವೆ.

4. ಮೂರು ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ABFE, BCDF ಮತ್ತು ACDE.

ಪ್ರತೀ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = a*h=ah

ಈ ಪಟ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 3ah.

ಪಟ್ಟಕದ ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ಮೇಲ್ಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2*(ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) + 3ah (ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಮೇಲ್ಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ =3a (ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜದ 3 ಬಾಹುಗಳ ಮೊತ್ತ).

ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2* ಪಟ್ಟಕದ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ +(ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ)*ಎತ್ತರ = 2B+Ph

ಇಲ್ಲಿ B = ಪಟ್ಟಕದ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ,P = ಪಟ್ಟಕದ ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ

ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ನೇರ ಪಟ್ಟಕಕ್ಕೂ (ಎಷ್ಟೇ ಆಂಚು/ಭುಜಗಳಿರಲಿ) ಅನ್ವಯವಾಗುತ್ತದೆ.

6.10.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ನೇರ ಪಟ್ಟಕದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 143 ಸೆಂ.ಮಿ. ಇದ್ದು, ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ (P) ಯು 13ಸೆಂ.ಮಿ. ಇದ್ದರೆ, ಪಟ್ಟಕದ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರ = Ph

143 = 13h

ಆದ್ದರಿಂದ h = 11ಸೆಂ.ಮಿ.

6.10.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ವರ್ಗಪಾದ ಪಟ್ಟಕದ ಅಂಚು 2 ಸೆಂ.ಮಿ. ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 12 ಸೆಂ.ಮಿ. ಆಗಿದೆ. ಪಟ್ಟಕದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಗಿನವರೆಗೂ 1 ಸೆಂ.ಮಿ ಬದಿಯುಳ್ಳ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ ಪಾದ ಪಟ್ಟಕದ ಆಕಾರದ ಒಂದು ರಂಧ್ರವಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಘನ ಭಾಗದ ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿ (ಬಣ್ಣಹಚ್ಚುವ ಹೊರಭಾಗ)

ಪರಿಹಾರ:

ವಿಧಾನ:

ಮೊದಲು ನಾವೀಗ ರಂಧ್ರವಿಲ್ಲದಾಗ ಪಟ್ಟಕ ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಿಂದ ರಂಧ್ರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನ ಕಳೆದಾಗ. ಘನಭಾಗದ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಪಟ್ಟಕವು ವರ್ಗಪಾದವನ್ನ ಹೊಂದಿದೆ.

ಬದಿಯ ಉದ್ದ = 2 ಸೆಂ.ಮಿ., ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2*2 =4 ಸೆಂ.ಮಿ., ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ = 2*4 = 8 ಸೆಂ.ಮಿ.

ಪಟ್ಟಕದ ಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ(ರಂಧ್ರವನ್ನ ಗಮನಿಸದೆ) = 2B + Ph =8+96=104 ಚ.ಸೆ.ಮಿ.

ರಂಧ್ರವು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜಾಕಾರದಲ್ಲಿದೆ.

ರಂಧ್ರದ ಪಾದದ/ಮೇಲ್ಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = {1*(1 *)/2}/2 = /4 = /4 ಚ.ಸೆ.ಮಿ.

ರಂಧ್ರವನ್ನ ಬಿಟ್ಟು ಒಟ್ಟು ಘನಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ=ಪಟ್ಟಕದ ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ – ರಂಧ್ರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

= 104 -/4- /4 = (104 -/2) ZÀ.¸É.«Ä.

ಗಮನಿಸಿ:

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿದ್ದೇವೆ:

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = bh/2 (b ತ್ರಿಭುಜದ ಪಾದ, h = ಎತ್ತರ)

={b* b*()/2}/2 (ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ , h = b*()/2)

6.10.3 ಗೋಪುರಗಳು (Pyramids)

ನಾವು, ಸರ್ವಸಮವಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪಾದ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಆಯತಾಕಾರ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೈಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನಾಕೃತಿಗಳನ್ನ ಪಟ್ಟಕ ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದೇವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಮೇಲ್ಭಾಗವಿಲ್ಲದೆ, ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೈಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದುಗೂಡಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯು ಬಹುಭುಜ ಪಾದವನ್ನ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಪಾರ್ಶ್ವ ಮುಖಗಳು ತ್ರಿಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿದ್ದು, ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏಕೀಭವಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಘನಾಕೃತಿಯನ್ನ ‘ಗೋಪುರ’ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನ ‘ಶಿರೋಬಿಂದು’ (Vertex) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಗೋಪುರದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೈಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವುದರಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಇಲ್ಲ.

ಗೋಪುರಗಳ ಪಾದದ ಆಕಾರಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನ ಹೀಗೆ ಹೆಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ತ್ರಿಭುಜ ಗೋಪುರ, ವರ್ಗ ಗೋಪುರ, ಮತ್ತು ಷಡ್ಭುಜ ಗೋಪುರ.

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ P ಯು ಶಿರೋಬಿಂದು ಆಗಿದ್ದು,

ABC, ABCD, ABCDEF ಗಳು ಗೋಪುರಗಳ ಪಾದಗಳಾಗಿವೆ.

ವರ್ಗ ಪಾದ ಗೋಪುರದಲ್ಲಿ ಪಾದ, ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಓರೆ ಎತ್ತರಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧ:

ವರ್ಗ ಪಾದ ಗೋಪುರದ ಪಾದದ ಒಂದು ಬದಿ =b ಆಗಿರಲಿ.

ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ ------------------------ =h ಆಗಿರಲಿ.

ಓರೆ ಎತ್ತರ -------------------------------- =l ಆಗಿರಲಿ.

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ,

l²= (b/2)²+ h²

l = {(b/2)²+ h²}

ಗೋಪುರದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ:

PABCDಯು ಒಂದು ವರ್ಗಪಾದ ಗೋಪುರ.ABCD ಯು ಪಾದ, ಹಾಗೂ ಅದು ವರ್ಗಾಕಾರದಲ್ಲಿದೆ.

ABCD ಯು ಮಧ್ಯಬಿಂದು Q. ಆಗ ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ h = PQ.

BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು N ಆದರೆ, ಗೋಪುರದ ಓರೆ ಎತ್ತರ l = PN ಮತ್ತು AB=BC=CD=DA=a

2 ನೇ ಚಿತ್ರವು 1 ನೇ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿಟ್ಟಾಗ ಉಂಟಾದದ್ದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು.

PAB, PBC, PCD ಮತ್ತು PAD ಗಳು ಗೋಪುರದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದ್ದು. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜಗಳಾಗಿವೆ.

ಗೋಪುರದ ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ: p= 4 *ಪಾದದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ = 4a

1. ವರ್ಗಪಾದ ಗೋಪುರದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: (P) = 4*ಸರ್ವಸಮವಾದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತ (PAB, PBC, PCD, PAD) = 4* * ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

= 4{1/2) ಪಾದ *ಎತ್ತರ}= 4al/2 =(1/2)*4a*l= (1/2) (ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ)*(ಓರೆ ಎತ್ತರ)

2. ಗೋಪುರದ ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = a²+ 1/2 (pl)

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ ಪಾದ ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ:

ABC ಯು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ (AB=BC=CA=a). BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು N. ಗೋಪುರದ ಓರೆ ಎತ್ತರ l = PN.

PAB, PBC ಮತ್ತು PCA ಗಳು ಗೋಪುರದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದ್ದು. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜಗಳಾಗಿವೆ.

ಗೋಪುರದ ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ: p = 3*ತ್ರಿಭುಜದ ಒಂದು ಬದಿ = 3a

ತ್ರಿಭುಜ ಪಾದ ಗೋಪುರದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 3 ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಭುಜ ಗಳ (PAB, PBC,PCA) ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತ

= 3*ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 3(1/2) * ಪಾದ * ಗೋಪುರದ ಓರೆ ಎತ್ತರ

= 1/2 (3al) = (1/2) (ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ)*(ಓರೆ ಎತ್ತರ)= 1/2 (Pl)

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ ಪಾದ ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

= B+ 1/2 (Pl)

ಪಾದವು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜವಾದ್ದರಿಂದ, B = (a²)/4 (ವಿವರಗಳಿಗೆ 6.10.2 ಸಮಸ್ಯೆ ನೋಡಿ)

6.10.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ಗೋಪುರಾಕೃತಿಯ ಡೇರೆಯ ಪಾದ ವರ್ಗಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು 5 ಮಿ. ಅಂಚನ್ನ ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಸಮಾರಂಭಕ್ಕಾಗಿ ಡೇರೆಯ ಕೋರೆ ಎತ್ತರ 4 ಮಿ.ಇರುವಂತೆ ಕ್ಯಾನ್‍ವಾಸ್ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡೇರೆಯ ಬಾಡಿಗೆಯು ಕ್ಯಾನ್‍ವಾಸಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕ್ಯಾನ್ ವಾಸಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಇಲ್ಲಿ P = 4*5 ಮಿ 20 ಮಿ l = 4 ಮಿ

ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ(ಕ್ಯಾನ್‍ವಾಸಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) = ½(Pl) = ½(20*4) = 40 ಚ.ಮಿ.

6.10.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ವರ್ಗಪಾದ ಗೋಪುರದ ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 125 ಚ.ಮಿ. ಆಗಿದ್ದು. ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ 20ಮಿ.ಆಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನ, ಇದರ ಓರೆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ವರ್ಗ ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ = p=4a = 20 ಮಿ.

ಪಾದದ ಒಂದು ಬದಿ = a = 5 ಮಿ.

ಪಾದದ ಒಂದು ಬದಿ = B=a² = 25 ಚ.ಮಿ.

ಈಗ, ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ +1/2 (Pl).

125 = 25+1/2(Pl): 125=25+1/2(20*l): 125 = 25+10*l

10*l = 125-25 =100.

ಓರೆ ಎತ್ತರ (l) = 10 ಮಿ.

6.10.4 ಪಟ್ಟಕ ಮತ್ತು ಗೋಪುರಗಳ ಘನಫಲ (ಗಾತ್ರ)(Volume of Prisms and pyramids)

ಒಂದು ಆಯತ ಘನದ ಘನಘಲ = ಉದ್ದ*ಅಗಲ*ಎತ್ತರ.

ಆದರೆ (ಉದ್ದ*ಅಗಲ) ಇದು ಆಯತ ಘನದ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯತ ಘನದ ಘನಫಲ = (ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) * ಎತ್ತರ

ನೇರ ತ್ರಿಭುಜ ಪಾದ ಪಟ್ಟಕದ ಘನಫಲ (Volume of a ‘triangular right prism’):

ಒಂದು ವರ್ಗ ಪಾದ ಪಟ್ಟಕವನ್ನ ಗಮನಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಪಾದ ಪಟ್ಟಕಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ವರ್ಗ ಪಾದ ಪಟ್ಟಕದ ಗಾತ್ರ ತಿಭುಜಪಾದಪಟ್ಟಕದ ಎರಡರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ವರ್ಗಪಾದವು ಎರಡು ಸರ್ವಸಮವಾದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿದೆ.

ನೇರ ತ್ರಿಭುಜಪಾದ ಪಟ್ಟಕದ ಘನಫಲ= 1/2 (ವರ್ಗಪಾದ ಪಟ್ಟಕದ ಘನಫಲ)

= 1/2 (ವರ್ಗಪಾದ ಪಟ್ಟಕದ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ *ಎತ್ತರ) = 1/2 (2* ತ್ರಿಭುಜಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ*ಎತ್ತರ)

= ತ್ರಿಭುಜಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ *ಎತ್ತರ

2 ನೇ ಚಿತ್ರವು, 1 ನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪಟ್ಟಕವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೀಳಿದಾಗಿ ಸಿಗುವ 2 ಸರ್ವ ಸಮನಾದ ಪಟ್ಟಕಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಪಟ್ಟಕದ ಘನಫಲವು ಅದರ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದಾಗಿದೆ.

6.10.4 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜಪಾದ ಪಟ್ಟಕದ ಘನಫಲ 27 ಘ.ಸೆ.ಮಿ. ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಎತ್ತರ 12ಸೆ.ಮಿ. ಆದರೆ ಪಟ್ಟಕದ ಪಾದದ ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿ. PÀAqÀÄ»r.

ಪರಿಹಾರ:

ಪಾದದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ = ‘b’ ಆಗಿರಲಿ.

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವ ಸೂತ್ರದಂತೆ, ಪಟ್ಟಕದ ಘನಫಲ = ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ*ಎತ್ತರ = (b²)/4* ಎತ್ತರ

ಬೆಲೆಗಳನ್ನ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

27= (b²)*12/4. ನ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ತೆಗೆದಾಗ,27 = 12 *b²/4

3 b²=27 b²=9 b=3 ಸೆ.ಮಿ.

ಗೋಪುರದ ಘನಫಲ:

‘a’ ಮಾನ ಅಂಚುಳ್ಳ ಒಂದು ವರ್ಗ ಪಾದ ಗೋಪುರ PABCDP ಯ ಪಾದ ABCD, P ಯು ಸಮತಲದಿಂದ a/2 ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗ ಬಿಂದು.

P ಯಿಂದ ಪಾದಕ್ಕೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ PM ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.PM = h = a/2.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ಘನದಲ್ಲಿ 6 ಸರ್ವಸಮವಾದಗೋಪುರಗಳನ್ನ ಮಾಡಬಹುದು.

(PABCD, PBCC¹B¹, PCC¹D¹D, PC¹D¹A¹B¹, PD¹A¹AD ಮತ್ತು PABB¹A¹)

ಪ್ರತೀ ಗೋಪುರದ ಪಾದವೂ ಘನದ ಒಂದೊಂದು ಮುಖವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಆರು ಗೋಪುರಗಳನ್ನಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ ಒಂದು ವರ್ಗಪಾದ ಪಟ್ಟಕ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಬಲಬದಿಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ವರ್ಗ ಪಾದ ಗೋಪುರದ ಘನಫಲ = 1/6(ಘನದ ಘನಫಲ)

= 1/6 ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) * a} = 1/6 ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) * 2h} (h=a/2)

= 1/3 ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) * h}= 1/3 (Bh); ಇಲ್ಲಿ B ಯು ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.= 1/3* ಅದೇ ಪಾದ ಮತ್ತು ಅದೇ ಎತ್ತರದ ವರ್ಗ ಪಾದ ಪಟ್ಟಕದ ಘನಫಲ.

ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜಪಾದ ಗೋಪುರದ ಘನಫಲವು ಕೂಡಾ ಅದೇ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವಿರುವ ಪಟ್ಟಕದ ಘನಫಲ 1/3ರಷ್ಟು ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಗೋಪುರದ ಘನಫಲವು ಅದರ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ 1/3ರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

6.10.4 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ವರ್ಗ ಪಾದ ಗೋಪುರಾಕೃತಿಯ ಡೇರೆಯೊಂದನ್ನ ಕ್ಯಾನ್‍ವಾಸ್ ಬಳಸಿ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ನೆಲದ ಮೇಲೆ 100 ಚ.ಮಿ. ವಿಸ್ತಾರದಲ್ಲಿ ಹರಡಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಓರೆ ಎತ್ತರ 13 ಮಿ. ಆದರೆ, ಡೇರೆಯ ಒಳಗೆ ಲಭ್ಯ ಇರುವ ವಾತಾವಕಾಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ.

(ಡೇರೆಯ ನೇರ ಎತ್ತರವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ h²= l²-(a/2)² ಬಳಸಿ.l ಓರೆ ಎತ್ತರ, a ಒಂದು ಬದಿ)

ಪರಿಹಾರ:

ಡೇರೆಯ ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 100 ಚ.ಮಿ. ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ a=10 ಮಿ.

ಓರೆ ಎತ್ತರ l = 13 ಮಿ. ನಮಗೀಗ ಗೋಪುರದ ನೇರ ಎತ್ತರ ಬೇಕು. h²= l²-(a/2)² :h²= 169-25 = 144

h=12 ಮಿ.

ಡೇರೆಯಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯ ವಾತಾವಾಕಾಶ = ಗೋಪುರದ ಘನಫಲ = 1/3Bh = 1/3(100*12)

= 400 ಘನ.ಮಿ.

6.10.4 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಒಂದು ತೋಟದಲ್ಲಿ ಹಸುಗಳು ನೀರು ಕುಡಿಯಲಿಕ್ಕಾಗಿ ಕಟ್ಟಿದ ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿ ಇದೆ. (ಅದರ ಉದ್ದ =4 ಮಿ.b=1.2 ಮಿ.ಮತ್ತು ಎತ್ತರ h=1 ಮಿ..) ಅದನ್ನ ದಿನಕ್ಕೊಂದು ಸಾರಿ ಬೆಳಿಗ್ಗೆ ತುಂಬಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರತಿ ಹಸುವೂ ದಿನಕ್ಕೆ 40ಲೀಟರ್ ನೀರನ್ನ ಬಳಸಿದರೆ ತೊಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬಿರುವ ನೀರು ಎಷ್ಟು ಹಸುಗಳಿಗೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ? (1ಘ.ಮಿ. = 1000 ಲೀಟರ್)

ಪರಿಹಾರ:

ತೊಟ್ಟಿಯ ಘನಫಲ = 4*1.2*1 ಘ.ಮಿ.

= 4.8 ಘ.ಮಿ.

= 4800 ಲೀಟರ್ (1 ಘ.ಮಿ.. = 1000 ಲೀಟರ್)

ನೀರನ್ನ ಕುಡಿಯುವ ಹಸುಗಳು = 4800/40 = 120 ಹಸುಗಳು

6.10.4 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಪಾದವುಳ್ಳ ಗೋಪುರದ 900 ಘನಫಲ ಘನಮಿಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಆಯತಪಾದದ ಬದಿಗಳು 20ಮಿ. ಮತ್ತು 15ಮಿ. ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಗೋಪುರದ ಘನಫಲ = 1/3 (Bh) (ಇಲ್ಲಿ B = ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಮತ್ತು h = ಎತ್ತರ)

ಘನಫಲ ಮತ್ತು B ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, 900 = 1/3(20*15)h

900 = 100h

h =9 ಮಿ.

ದತ್ತ ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ 9ಮೀಟರ್.

6.10.4 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಉದ್ದ ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಕ್ರಮವಾಗಿ 18,12,3 ಅಂಗುಲಗಳು. ಒಂದು ಗೋಡೆಯ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 8,5,3 ಹಸ್ತಗಳು. ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಗೋಡೆಯ ಗಾತ್ರ , ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳು ಎಷ್ಟು? (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 227 )

ಗೋಡೆಯ ಗಾತ್ರ = 8*5*3 = 120 ಘನ ಹಸ್ತಗಳು
ಇಟ್ಟಿಗೆಯ ಗಾತ್ರ = (18*12*3)/(24*24*24) = (3/64) ಘನ ಹಸ್ತ (1 ಹಸ್ತ = 24 ಅಂಗುಲಗಳು)
ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 120*(64/3) = 1260
ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 3*24/3 = 24

6.10 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ.	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಒಂದು ಆಯತ ಘನದ ಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2(lb+bh+lh) ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2(bh+lh)
2	ಪಟ್ಟಕವು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಘನಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಆಯತಾಕಾರದ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮ ಮತ್ತು ಸಮಾಂತರವಾದ ಬಹುಭುಜಗಳನ್ನ ಪಾದ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
3	ಒಂದು ಆಯತ ಘನದ ಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 2ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + (ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ) ಎತ್ತರ
4	ಗೋಪುರವು ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಪಾದವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದ, ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ತ್ರಿಭುಜಾಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡುತ್ತವೆ. ಈ ಬಿಂದುವನ್ನ ಗೋಪುರದ ಶೃಂಗ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
5	ವರ್ಗಪಾದ ಗೋಪುರದ ಪೂರ್ಣಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈವಿಸ್ತೀರ್ಣ = a²+ 1/2(pl) ಇಲ್ಲಿ p = ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ, l = ಓರೆ ಎತ್ತರ
6	ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜಪಾದ ಗೋಪುರದ ಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈವಿಸ್ತೀರ್ಣ = B+ 1/2(Pl) ಇಲ್ಲಿ P = ಪಾದದ ಸುತ್ತಳತೆ, , l = ಓರೆ ಎತ್ತರ
7	ಆಯತ ಘನಫಲ = ಉದ್ದ * ಅಗಲ * ಎತ್ತರ
8	ಪಟ್ಟಕದ ಘನಫಲ = ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ*ಎತ್ತರ
9	ಗೋಪುರದ ಘನಫಲ = 1/3 ಪಾದದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ*ಎತ್ತರ