6.13 ತ್ರಿಭುಜ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು (Theorems on Triangles and circles):

 

6.13.1 ಮೂಲ ಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ (Basic proportionality theorem):

 

 

     

 

 

ನೀವು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಮಿಡ್ಡುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿರಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನ ಹತ್ತದೆಯೇ, ಪ್ರಾಚೀನಕಾಲದಲ್ಲಿಯೇ ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನ ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿರಬಹುದು? ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿಯೇ ಅಂತಹ ಆಕೃತಿಗಳ ಎತ್ತರಗಳನ್ನ ಮತ್ತು ದೂರಗಳನ್ನ  ಬಹುಭುಜಗಳ ಸಮರೂಪ ಗುಣಗಳನ್ನ ಆಧರಿಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತಿದ್ದರು. ಇದೇ ರೀತಿ ಇಂದಿಗೂ ವಾಹನಗಳ ತಯಾರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮರೂಪ ತತ್ವವನ್ನ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.

      

ಪಕ್ಕದ ಎರಡು ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿನೀವೇನನ್ನ ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?ಈ ಎರಡೂ ಆಕೃತಿಗಳು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊರತು ಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧದಲ್ಲಿಯೂ ಸಮರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದನ್ನ ನೋಡುವಿರಿ.

ನಿಜವಾಗಿ ಚಿತ್ರ 2 ರ ಗಾತ್ರ ಚಿತ್ರ ಚಿತ್ರ 1 ರ ಎರಡರಷ್ಟಿದೆ.ಎರಡೂ ಆಕೃತಿಗಳ ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಅಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನ ಗಮನಿಸಿ.

 

AB/ PQ = BC/ QR = CD/ RS = ……= 1/ 2

 

ಎರಡೂ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಶೃಂಗ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮ ಕೋನಗಳು ಸಮ.

 

EAB =  TPQ, ABC =  PQR, BCD =  QRS  , . . .

 

                                                                                                                                                                                                           

ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಗಳ

1. ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ,

ಮತ್ತು

2. ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ,

ಆಗ ಅವು ಸಮರೂಪ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನ ‘|||’ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮವಾದ ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಸಮರೂಪಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

 

ಎರಡು ಆಯತಗಳು ಸಮರೂಪಿಗಳಾಗಲು, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ್ರದಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತ = ಅಗಲಗಳ ಅನುಪಾತ ಆಗಿರಬೇಕು.

 

 

 

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನ ಗಮನಿಸಿ, ಅವು ಒಂದೇ ಆಕಾರದವುಗಳಾಗಿವೆ.

ABC = DEF, BAC =EDF, ACB = DFE

 

ಆಗ ABC ಮತ್ತು

 DEF ಗಳು ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳು.

ಇದನ್ನ ABC ||| DEF ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

 

 

 

 

ಸರ್ವಸಮ  ಆಕೃತಿ

ಸಮರೂಪಿ ಆಕೃತಿ

1

ಒಂದೇ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದು, ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದವುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದೇ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಗಾತ್ರ ಒಂದೇ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

2

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ

3

ಅವು ಸಮರೂಪಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅವು ಸರ್ವಸಮ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದೇನೂ ಇಲ್ಲ.

 

 

6.3.3 ರಲ್ಲಿ ನಾವೇನನ್ನ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ? 3 ಕೋನಗಳನ್ನ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನ ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೆಂದು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

 

“ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಜೊತೆ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ. ಆ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮರೂಪಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ”. ಇದನ್ನ ಸಮರೂಪತೆಯ ಕೋ.ಕೋ.ಕೋ.

(ಕೋನ, ಕೋನ, ಕೋನ) ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಎನ್ನುವರು.

ಗಮನಿಸಿ:

ಈ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವನ್ನ ‘ಸಮರೂಪತೆಯ ಕೋನ ಕೋನ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ’ಎಂತಲೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಎರಡು ಜೊತೆ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾದರೆ ಮೂರನೇ ಜೊತೆ ಕೋನ ಕೂಡಾ ಸಮವಾಗಿರಲೇಬೇಕು. (ತ್ರಿಕೋನದ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 1800)

 

6.13.1. ಮೂಲ ಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ (ಥೇಲ್ಸ್‍ನ ಪ್ರಮೇಯ)(Basic Proportionality Theorem (Thale’s theorem) -- (BPT)

ತ್ರಿಭುಜದ ಒಂದು ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಎಳೆದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಸಮಾನ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

 

ದತ್ತ:  ABCಯಲ್ಲಿ X ಎಂಬುದು AB ಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು  XY ||BC.

ಸಾಧನೀಯ:: AX/BX = AY/CY.

ಸಾಧನೆ:  ABC  ಮತ್ತು AXY ಯಲ್ಲಿ.

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AXY = ABC

(XY||BC) ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು.

2

AYX = ACB

ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು. (XY||BC)

3

XAY = BAC

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನ

4

ABC ||| AXY

ಕೋ.ಕೋ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ.       .

5

AB/AX = AC/AY

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ.

6

(AX+BX)/AX = (YC+AY)/YC

 

7

1+BX/AX =  1+AY/YC

 

8

BX/AX = AY/YC

 

9

AX/BX =AY/CY

 

 

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ XY || BC ಆದರೆ, AB/BX=AC/YC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

                                                                                                                                

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AX/XB=AY/YC

ಥೇಲ್ಸ್‍ನ ಪ್ರಮೇಯ

2

1+(AX/XB)=1+(AY/YC)

1 ನ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿದೆ.        

3

(XB+AX)/XB=(YC+AY)/YC

X  ಮತ್ತುY ಗಳು AB  ಮತ್ತು   AC ಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು.

4

AB/XB= AC/YC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯ: ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯು ಎರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಆ ಸರಳರೇಖೆಯು ಮೂರನೇ ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

6.13.1. ಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಉಪ ಪ್ರಮೇಯ:

ತ್ರಿಭುಜದ ಒಂದು ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದಾಗ, ಉಂಟಾಗುವ ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳು ದತ್ತ ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

(ಹೊಸ ತ್ರಿಭುಜವು ದತ್ತ ತ್ರಿಭುಜಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ)

ದತ್ತ: XY ಯು BC ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿದೆ.

ಸಾಧನೀಯ: AX/AB=AY/AC=XY/BC

ರಚನೆ:  X ಬಿಂದುವಿನಿಂದ AC ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ XZ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

BZ/BC=BX/BA

XZ || AC , ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮ.           

2

XY=ZC, YC =XZ

ರಚನೆಯಿಂದ,XZCY ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸರ್ವಸಮ

3

AX/AB = AY/AC

XY || BC, ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮ.           

4

ಎಡಭಾಗ =AX/AB = (AB-BX)/AB

 

5

= 1-(BX/AB)

 

6

= 1-(BZ/BC)

(1)

7

= (BC-BZ)/BC

BC ಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು Z

8

=ZC/BC

 

9

XY/BC= AY/AC

 (2) ರಿಂದ

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾಂತರವಲ್ಲದ ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಸಮಾಂತರ ಬಾಹುಗಳಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವುದು ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

 

ದತ್ತ:  BCED ಒಂದು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ. X ಮತ್ತು Yಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ. DB ಮತ್ತು CEಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು

ಸಾಧನೀಯ:XY || DE

ರಚನೆ:DB ಮತ್ತು EC ಗಳನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿ. ಅವುಗಳು ಸೇರುವ ಬಿಂದು A (DB ಮತ್ತು EC ಗಳು ಸಮಾಂತರವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲೇಬೇಕು)

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AB/BD = AC/CE

ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮ. (DE || BC)

2

(AX-BX)/BD = (AY-CY)/CE

X ಮತ್ತು YಗಳುDA ಮತ್ತು EA ಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು

3

AX/BD – BX/BD = AY/CE –CY/CE

X ಮತ್ತು Y ಗಳು ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು BD=2BX=2DX,CE=2YE=2CY

4

AX/2DX -1/2 =AY/2YE -1/2

3 ರಿಂದ 

5

AX/DX =AY/YE

4 ರಲ್ಲಿ 1/2 ವನ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿ, ನಂತರ 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

6

XY || DE

ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮದ ವಿಲೋಮ.

 

 

6.13.1. ಪ್ರಮೇಯ:1: ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಸಮಕೋನೀಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

 

ದತ್ತ:  ABC ಮತ್ತು DEFಗಳಲ್ಲಿ

BAC = EDF

ABC =DEF

ACB =DFE

ಸಾಧನೀಯ: AB/DE = BC/EF= AC/DF

ರಚನೆ: AX=DE ಮತ್ತು AY=DF ಆಗುವಂತೆ AB ಮತ್ತು AC ಗಳ ಮೇಲೆ X ಮತ್ತು Y ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ.. XY ಸೇರಿಸಿ.

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

BAC = EDF

ದತ್ತ      

2

AX=DE,AY=DF

ರಚನೆ   

3

AXY  DEF

ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ.ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 

4

AXY=DEF

ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು    

5

= ABC

ದತ್ತ

6

XY||BC

ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು  AXY ಮತ್ತು ABC ಗಳು ಸಮ.

7

AB/AX=AC/AY=BC/XY

ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮದ ವಿಲೋಮ

8

AB/DE=AC/DF=BC/EF

 (2) ರಿಂದ

 

6.13.1. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ವಿಲೋಮ: ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಆ ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಸಮಕೋನೀಯಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ದತ್ತ:   ABC ಮತ್ತು DEF ಗಳಲ್ಲಿ

AB/DE=AC/DF=BC/EF

ಸಾಧನೀಯ:

BAC = EDF

ABC =DEF

ACB =DFE

ರಚನೆ: AX=DE ಮತ್ತು AY=DF ಆಗುವಂತೆ AB ಮತ್ತು AC ಗಳ ಮೇಲೆ. X ಮತ್ತು Y ಬಿಂದುಗಳನ್ನ ಗುರುತಿಸಿ. XY ಸೇರಿಸಿ

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

1

AB/DE=AC/DF=BC/EF

ದತ್ತ      

2

AX =DE,AY=DF

ರಚನೆ   

3

AB/AX=AC/AY

1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ

4

XY||BC

ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮದ ವಿಲೋಮ.

5

AXY=ABC,AYX=BCA

ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮ.

6

AXY=DEF,AYX=DFE

ರಚನೆಯಿಂದ,AXY ಮತ್ತು DEF ಗಳು ಸರ್ವಸಮ.

7

ABC=DEF,BCA=DFE

5 ಮತ್ತು  6 ರಿಂದ, ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

8

BAC =EDF

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎರಡು ಜೊತೆ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾದಾಗ, ಮೂರನೆ ಜೊತೆಯೂ ಸಮವಾಗುತ್ತದೆ.

 

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ನೀವು ಕುತುಬ್‍ಮಿನಾರ್ ಬಳಿಯ(ಮೆಹ್ರೂಲಿ)  ಒಂದು ಸ್ಥಂಭದ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿರಬಹುದು. ಅದು ಚಂದ್ರಗುಪ್ತನು ಕಟ್ಟಿದ ಕಬ್ಬಿಣದ ಸ್ಥಂಭ. ಆ ಸ್ತಂಭ ಕ್ರಿ.ಪೂ. 400 ರಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟಿದ್ದರೂ ಕೂಡಾ ಈವರೆಗೂ ತುಕ್ಕು ಹಿಡಿದಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ. ಇದರ ಎತ್ತರವನ್ನ ಹತ್ತದೆಯೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ನೀವೇ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಪ್ರವಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗಿದ್ದೀರೆಂದು ಊಹಿಸಿ. ಆ ಸ್ತಂಭದಿಂದ ನೀವು 9 ಅಡಿ 2 ಅಂಗುಲ ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದೀರೆಂದು ಊಹಿಸಿ. ಆಗ ಕಂಬದಿಂದ ನಿಮ್ಮ ನೆರಳು 2ಅಡಿ 8 ಇಂಚು ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಬಿದ್ದರೆ, ನಿಮ್ಮ ಎತ್ತರ 5 ಅಡಿ 4 ಇಂಚು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಂಬದ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸುಲಭವಾಗಲು ಎಲ್ಲಾ ಅಳತೆಗಳನ್ನ ಇಂಚುಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

ಸ್ಥಂಭವನ್ನ AB ಯು ಸೂಚಿಸಲಿ. ನೀವು D ಯಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದೀರಿ. Aಯಿಂದ D ಗೆ ಇರುವ ದೂರ 110 ಇಂಚುಗಳು

(9 ಅಡಿ 2 ಇಂಚು) ನಿಮ್ಮ ಎತ್ತರವನ್ನ DP = 64” (5’4”) ಸೂಚಿಸಲಿ. ಕಂಬದಿಂದ ಉಂಟಾದ ನೆರಳು DC ಯು 32 ಇಂಚು.

BAC =PDC = 900 AB || DP. ಆದ್ದರಿಂದ ABP = DPC

*ACBಯು BAC ಮತ್ತು PDC ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನ. ಆದ್ದರಿಂದ  BAC ಮತ್ತು PDCಗಳು ಸಮಕೋನೀಯಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. (ಕೋ.ಕೋ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ)

ಆದ್ದರಿಂದ AB/PD = AC/DC. AC =AD+DC = 110+32= 142 ಇಂಚು

AB = AC*PD/DC = 142*64/32=284’’

ಕಬ್ಬಿಣದ ಸ್ಥಂಭದ ಎತ್ತರ = 284 ಇಂಚುಗಳು = 23 ಅಡಿ 8 ಇಂಚು

ನೀವು ಚರಿತ್ರೆಯ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಈ ಉತ್ತರ ಸರಿಯಾಗಿರುವುದನ್ನ ಗಮನಿಸಬಹುದು.

 

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ABCಯು B ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಭುಜ. Dಯು AB ಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು. DE  AC. AD=4 ಮಿ., AB=16 ಮಿ., AC=24 ಮಿ., AE ಯನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

 

ABC =DEA = 900. Aಯು ABC ಮತ್ತು DAE ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ.BAC = DAE.

ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ, 3 ನೇ ಕೋನವೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮ. (BCA=ADE).

*ABC ಮತ್ತು DEA ಗಳು ಸಮಕೋನೀಯ (ಸಮರೂಪ) ತ್ರಿಕೋನಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ. ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು: AC, AD (ವಿಕರ್ಣ)

BC, DE (A ಯ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು)

AB, AE

 AE/AB = DE/BC=AD/AC

AE = AB*AD/AC = 16*4/24 = 16/6 =2.67 ಮಿ.

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 5:  ABCD ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ,  AD||BC ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. OB/OC = OD/OA ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

 

AD||BC ಆದ್ದರಿಂದ,  BCO = OAD, CBO=ODA (ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು)

AC ಮತ್ತು BD ಗಳು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. COB =AOD (ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖಿ ಕೋನಗಳು)

 BCO ಮತ್ತು DOA ಗಳು ಸಮಕೋನೀಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು.

ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ, ಇವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ.

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು: OB, OD (BCO ಮತ್ತು OAD ಗಳ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು)

OC, OA (CBO ಮತ್ತು ODA ಗಳ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು)

 ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ, OB/OD = OC/OAಅಥವಾ OB*OA=OD*OC

OB/OC = OD/OA

 

 

6.13.1 ಪ್ರಮೇಯ 2: ಸಮರೂಪ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ದತ್ತ: ABC ಮತ್ತು DEF ಗಳು ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಭುಜಗಳು. BC ಮತ್ತು EF ಗಳು ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು.

ಸಾಧನೀಯ:: ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/DEFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= BC2/EF2= AB2/DE2 =AC2/DF2

ರಚನೆ:  ALBC ಮತ್ತು DMEF ಲಂಬ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

1

ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = BC*AL/2

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ  ಪಾದ *ಎತ್ತರ /2

2

DEFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= EF*DM/2

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ  ಪಾದ *ಎತ್ತರ /2

3

ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/DEFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ =(BC/EF)*(AL/DM)

 

4

ABL =DEM

*ABC  ಮತ್ತು  DEF ಗಳು ಸಮರೂಪಿಗಳು

5

ALB =DME= 900

ರಚನೆ

6

BAL =EDM

ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಜೊತೆ ಕೋನಗಳು

ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಜೊತೆಯೂ ಸಮ.

7

AL/DM = AB/DE =BL/EM

ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.           

8

ಆದರೆ,    AB/DE =BC/EF

*ABC  ಮತ್ತು  *DEF  ಗಳು ಸಮರೂಪಿಗಳು (ದತ್ತ)

9

AL/DM=BC/EF

 (7)  ಮತ್ತು  (8) ರಿಂದ

10

ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/DEFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ=(BC/EF)*(BC/EF)= BC2/EF2

(9) ನ್ನ (3) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದೆ.

11

ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ ಇನ್ನೆರಡು ಸಮತೆಗಳನ್ನ ಸಾಧಿಸಬಹುದು


6.13.1 ಉಪಪ್ರಮೇಯ :ಎರಡು ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಸರ್ವಸಮ..

 

ಸಾಧನೆ:

ABC ಮತ್ತು DEF ಗಳು ಎರಡು ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಭುಜಗಳಾಗಿರಲಿ. ಅವುಗಳ ಪಾದ  BC ಮತ್ತು EF

 ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ,

*ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/DEFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= BC2/EF2

ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ,  BC=EF

ಇದೇ ರೀತಿ ಇನ್ನೆರಡು ಜೊತೆ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮವೆಂದರೆ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಾ.ಬಾ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ, ಆ ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಸರ್ವಸಮ   

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಎರಡು ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಜೋಡಿ ಎತ್ತರಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಅನುಪಾತವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

 

ಪರಿಹಾರ:

ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ 7 ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ  ALB ಮತ್ತು  DMEಗಳು

ಸಮಕೋನೀಯವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. (ಪ್ರಮೇಯ 1)

 AB/DE = AL/DM

(AB/DE)2 = (AL/DM)2

*ABC ಮತ್ತು DEF ಗಳು ಸಮರೂಪಿಗಳಾದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ,

*ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/DEFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= BC2/EF2= AB2/DE2 = AL2/DM2

= ಎತ್ತರಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಅನುಪಾತ.

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 7:  ABCಯಲ್ಲಿBEAC , CFAB. BE ಮತ್ತು CF ಗಳು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.  BOFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/COEಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= BF2/CE2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

BFO =CEO = 900

ದತ್ತ

2

BOF =COE

ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು

3

FBO =OCE

2 ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ 2 ಜೊತೆ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ 3ನೇ ಜೊತೆಯೂ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು.

4

BFO ||| CEO

ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಕೋನೀಯಗಳು

5

BOFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/COEಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= BF2/CE2

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 8:  ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABC ಮತ್ತು DBC ಗಳು ಒಂದೇ ಪಾದ BC ಯನ್ನ ಹೊಂದಿವೆ.   *ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/DEFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= = AO/DO ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 ರಚನೆ:AE  BC ಮತ್ತು DF BC ಎಳೆಯಿರಿ.

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AOB =DOF

ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು

2

AEO =DFO= 900

ರಚನೆ

3

AEO |||DFO

ಕೋ.ಕೋ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

4

AE/DF = AO/DO

ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ.

5

*ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/DEFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= {(1/2)BC*AE}/{(1/2)BC*DF}=AE/DF

ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರದಿಂದ

6

*ABCಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ/DEFಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= =AO/DO

4 ರಿಂದ

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 9:  ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಕೋನದ ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಯು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವನ್ನ, ಆ ಕೋನವನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿಯೇ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ರಚನೆ:C ಯಿಂದ AD ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅದು BA ಯ ವೃದ್ಧಿಸಿದ ಭಾಗವನ್ನ E ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. DA||CE

ಸಾಧನೀಯ:AB/AC = BD/DC

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

DA||CE

ರಚನೆ

2

BD/DC = BA/AE

BCE ಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮ.

3

BAD =AEC

DA||CE ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು

4

DAC =ACE

DA||CE ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು  

5

BAD =DAC

AD, BAC ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ   

6

AEC =ACE

4 ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ

7

AE=AC

6 ರಿಂದ (CAE ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ)

8

BD/DC = BA/AC

2 ರಿಂದ

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 10:  ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABCD ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ BD ಕರ್ಣವು B  ಮತ್ತು Dಯನ್ನ ಅರ್ಧಿಸಿದರೆ AB*CD =AD*BC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಸೂಚನೆ:

 

1. ADB = CDB, ABD = CBD(BD ಯು B ಮತ್ತು D ಗಳನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.)

2. ಕೋ.ಕೋ.ಕೋ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ,  ADB |||CDB

3. ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

AB/BC =AD/CD

 AB*CD =AD*BC

 

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 11:  15, 10 ಮೊಳ ಎತ್ತರವಿರುವ ಕೋಲುಗಳ ಮೂಲಕ್ಕೂ ತುದಿಗೂ ಎಳೆದ ದಾರಗಳ ಛೇಧನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಲಂಬ ಪ್ರಮಾಣ ಎಷ್ಟು? (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 162)

       

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

OP/CD = BP/BD

OP || AB , ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮ..

2

OP/AB=PD/BD

OP || CD , ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮ.

3

OP/CD +OP/AB  = (BP/BD)+ (PD/BD)

(1),(2) ನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ

4

OP(AB+CD)/(AB*CD) = (PD+BP)/BD =1

(PD+BP) =BD

5

OP = (AB*CD)/ (AB+CD) = 15*10/25 = 6

 

ಗಮನಿಸಿ:  BP ಅಥವಾ PD ನೀಡಿದರೆ, ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು.

 

6.13.1 ಸಮಸ್ಯೆ 12:  12 ಅಂಗುಲ ಎತ್ತರವುಳ್ಳ ಬೊಂಬೆಯ ನೆರಳು 8 ಅಂಗುಲವಿದ್ದು, 2 ಹಸ್ತ ದೂರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋದ ಮೇಲೆ ಅದರ ನೆರಳು 12 ಅಂಗುಲ ಆದರೆ ಲೀಲಾವತಿಯೇ, ದೀಪದಿಂದ ಬೊಂಬೆಯ ದೂರವನ್ನೂ, ದೀಪದ ಎತ್ತರವನ್ನೂ ಬೇಗ ಹೇಳು. (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 244)  ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಿಡಿಸಲು ಸೂತ್ರ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ.

AB ದೀಪ.. CL ಮತ್ತು EM ಬೊಂಬೆ (=12 ಅಂಗುಲ ಎತ್ತರ).

C ನಲ್ಲಿ ಬೊಂಬೆಯ ನೆರಳು CD(= 8 ಅಂಗುಲ).

C ಯಿಂದ 2 ಹಸ್ತ (CE= 48 ಅಂಗುಲ , 1 ºÀ¸ÀÛ=24 ಅಂಗುಲ) ದೂರ ಹೋದಾಗ ಬೊಂಬೆಯ ನೆರಳು (EF =12 ಅಂಗುಲ).

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AB/LC = BD/CD

LC || AB , ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮ.

2

AB/ME =BF/EF 

ME || AB , ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ನಿಯಮ.

3

BD/CD = BF/EF

LC=ME=12, (1),(2) ರಿಂದ         

4

(BC+CD)/CD = (BC+CD+DE+EF)/12

BD = (BC+CD), BF =(BC+CD+DE+EF) , EF=12

5

(BC/8)+1 = (BC/12)+5

CD=8,  (CD+DE+EF) = 8+40+12 =60 BD

6

BC(1/8-1/12) = 4

 

7

BC{(6-4)/48} =4   BC =96   BD = 104

BD = BC+CD = 96+8

8

AB = (BD*LC)/CD= (104*12)/8 = 156

(1) ರಿಂದ       

 

6.13.2 ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ:

 

ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನ ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

B ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾದಾಗ AC2 = AB2+BC2

ದತ್ತ:  ABC ಯಲ್ಲಿ  ABC = 900

ಸಾಧನೀಯ: AC2 = AB2+BC2

ರಚನೆ: ವಿಕರ್ಣ AC ಗೆ BD  ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.

 

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

 

 

 

1

ABC= 900

ದತ್ತ    

2

BDA= 900

ರಚನೆ

3

BAC =BAD

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನ

4

ABD =BCD

2 ಕೋನಗಳು ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ ಮೂರನೇ ಕೋನವೂ ಸಮ.

5

ABC ||| ADB

ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸ.ಕೋನೀಯಗಳಾಗಿವೆ.

6

AB/AD = AC/AB

ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ.

7

 AB2 = AC*AD

 

8

ABC ||| CDB

ABC  ಮತ್ತು  CDBಗಳಿಗೆ 1  ರಿಂದ  5 ರ ವರೆಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದೆ

9

BC/CD=AC/BC

 

10

 BC2 = AC*CD

 

11

 AB2 + BC2

=AC*AD+AC*CD

=AC(AD+CD)=AC*AC

AC2 =  AB2 + BC2

 (7)  ಮತ್ತು  (10) ನ್ನ ಕೂಡಿಸಿದಾಗ,         


 

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನ ಗಮನಿಸಿ:-

1.  25 =52 = 32+42 = 9+16

2.  100 = 102 = 82+62  =64+36

ಈರೀತಿ, (3,4,5), (6,8,10), (8,15,17), ಇವುಗಳನ್ನ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ತ್ರಿವಳಿಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

 

ಗಮನಿಸಿ:- ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನ ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದವರು ಕ್ರಿ.ಪೂ.600 ರಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯರಾದ ಬೋಧಾಯನರು.

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ: ಯಾವುದೇ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಾಹುವಿನ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮವಾದರೆ, ಆ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು ಲಂಬಕೋನದಿಂದ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

 (AC2 = AB2+BC2 ಆದರೆ B= 900)

ಸಾಧನೆ: ದತ್ತ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನ ರಚಿಸಿ, ಅವುಗಳು ಸರ್ವಸಮವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿ (ಬಾ.ಬಾ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ).

 

6.13.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಂದು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ 400 ಅಡಿ ಉದ್ದದ ಆವರಣ ಗೋಡೆಯಿದೆ. ಒಬ್ಬ ಪೈಂಟರ್ ಆ ಗೋಡೆಗೆ ಬಣ್ಣ ಬಳಿಯಲು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಬಣ್ಣ ಬಳಿಯಲು ದರ ಚದರ ಅಡಿಗೆ ರೂ. 80ಗಳು. ಅವನ ಹತ್ತಿರ ಒಂದು 10  ಅಡಿ ಉದ್ದದ ಏಣಿಯಿದೆ. ಆ ಏಣಿಯನ್ನ ಗೋಡೆಗೆ ಒರಗಿಸಿ ಇಟ್ಟಾಗ ತುದಿ, ಗೋಡೆಯ ತುದಿಗೆ ತಾಗಿದಾಗ, ಬುಡವು ಗೋಡೆಯಿಂದ 6 ಅಡಿ ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಪೈಂಟರನಿಗೆ ಶಾಲೆಯವರು ಕೊಡಬೇಕಾದ ಹಣವನ್ನ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ನಾವೀಗ ಪೈಂಟರನಿಗೆ ಕೊಡಬೇಕಾದ ಹಣವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೊದಲಿಗೆ ಗೋಡೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಗೋಡೆಯ ಉದ್ದ ಗೊತ್ತಿದೆ.( 400 ಅಡಿ). ಹಾಗಾದರೆ ಎತ್ತರವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

AB ಯು ಗೋಡೆಯ ಎತ್ತರ, AC ಯು ಏಣಿ, BC ಯು ಗೋಡೆಯಿಂದ ಏಣಿಗಿರುವ ದೂರವಾದರೆ,

AC2 = AB2+BC2 ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದಬೆಲೆಗಳನ್ನ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, AC=10, BC=6

102 = 62+AB2  AB2=100-36 =64  ಗೋಡೆಯ ಎತ್ತರ AB =SQRT(64) = 8 ಅಡಿ

ಆವರಣದ ಗೋಡೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 400*8 = 3200 ಚದರ ಅಡಿಗಳು

ಪೈಂಟರನ ದರ = ಚದರ ಅಡಿಗೆ 80 ರೂ. ಅವನಿಗೆ ಕೊಡಬೇಕಾದ ಒಟ್ಟು ಹಣ = 3200*80= ರೂ.2,56,000

 

6.13.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಇನ್ನೊಂದು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುವ ಚೆಸ್ ಪಂದ್ಯವನ್ನಾಡಲು ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯಿಂದ ನೀವು ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದ್ದೀರೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನೀವು ಆ ಶಾಲೆಗೆ ಸೈಕಲಿನಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಹೋಗುತ್ತೀರಿ:

ನಿಮ್ಮ ಮನೆಯಿಂದ ಸೈಕಲಿನಲ್ಲಿ 8ಕಿ.ಮಿ. ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ, 5ಕಿ.ಮಿ. ಪೂರ್ವಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ, ಪುನಃ 4ಕಿ.ಮಿ. ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ ಆ ಶಾಲೆಯನ್ನ ತಲಪುತ್ತೀರಿ. ಹಾಗಾದರೆ ನಿಮ್ಮ ಮನೆಯಿಂದ ಆ ಶಾಲೆಗಿರುವ ನೇರ ದೂರವನ್ನ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 

ನೀವು ಚಲಿಸಿದ ಮಾರ್ಗ ABCD.

AB= 8 ಕಿ.ಮಿ. BC=5 ಕಿ.ಮಿ. CD=4 ಕಿ.ಮಿ.. ನಾವೀಗ DA ಯ ನೇರ ದೂರವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಈಗ CB ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ DE ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅದು ABಯನ್ನ E ಯಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ.

DE||BC, BE||CD. ಆದ್ದರಿಂದ, BCDE ಯು ಒಂದು ಆಯತ

DE= 5, AE = AB+BE = 8+4 =12

ಈಗ ಗಮನಿಸಿ DEA ಯು ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ

 AD2 = ED2+EA2 = 52+122  = 25+144 = 169 = 132

 AD= 13 ಕಿ.ಮಿ.

 

 

6.13.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ABCಯಲ್ಲಿ AD BC, DB:CD = 3:1. ಆದರೆ, BC2 = 2(AB2-AC2) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

BD2 = AB2-AD2

ABD ಯಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ

2

AC2 = AD2+CD2

ADC ಯಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ         

3

 AD2 = AC2-CD2

ಹಂತ 2 ರಿಂದ 

4

 BD2 = AB2-(AC2 -CD2) = AB2-AC2 +CD2

(1)  ಮತ್ತು  (3) ರಿಂದ  

5

DB/CD = 3   BC = BD+CD =4CD

ದತ್ತ

6

 DB=3CD  BD2=9CD2

 

7

 9CD2 = AB2-AC2 +CD2

(6) ಮತ್ತು (4) ರಿಂದ    

8

 8CD2 = AB2-AC2

 

9

 16CD2 = 2(AB2-AC2)

 

11

BC2=  2(AB2-AC2)

5ರಲ್ಲಿ [BC=4CD :BC2 = 16CD2]

 

6.13.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: 32  ಮೊಳ ಉದ್ದವುಳ್ಳ ಒಂದು ಬಿದಿರು ಕಂಭ ವಾಯು ವೇಗದಿಂದ ಮುರಿದು, ಅದರ ತುದಿಯು ಅದರ ಬುಡಕ್ಕೆ 16 ಮೊಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಬಿತ್ತು. ಹಾಗಾದರೆ ಬುಡದಿಂದ ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಅದು ಮುರಿಯಿತು?(ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 150)

 

ಪರಿಹಾರ:

AB ಮತ್ತು 32 ಅಡಿ ಉದ್ದದ ಕಂಬ ಕಂಬವು ಆಯಲ್ಲಿ ಮುರಿದು C ಯಲ್ಲಿ ನೆಲಕ್ಕೆ ತಾಗಿತು.

BC = 16 ಅಡಿ,AB= BD+DC = 32 ಅಡಿ

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ,

DC2 = DB2+BC2 = DB2+162  = DB2+256

BD = x, DC = y ಆಗಿರಲಿ

x+y =32     -----à(1)

y2 = x2+256  -----à(2)

(1) ರಿಂದ        , x+y =32  y = 32-x

yಯ ಈ ಬೆಲೆಯನ್ನ (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ,

(32 - x)2 =  x2+256 : 322+ x2 - 64x = 1024 + x2 - 64x=1024 + x2 - 64x = x2+256 

(ಎಡಭಾಗ: (a-b)2= a2+ b2-2ab)

 768 = 64x  x = 12

  ಕಂಬವು ನೆಲದಿಂದ 12 ಅಡಿ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಮುರಿದಿದೆ.

ತಾಳೆ:  x=12, y = 32-12 = 20: 400 = 202 = 144+256 = 122+162

 

6.13.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5:100 ಮೊಳ ಎತ್ತರವಿರುವ ಒಂದು ಮರದ ತುದಿಯಿಂದ ಒಂದು ಕಪಿಯು ಕೆಳಗೆ ಇಳಿದು 200 ಮೊಳ ದೂರವಿರುವ ಸರೋವರಕ್ಕೆ ಹೋಯಿತು. ಇನ್ನೊಂದು ಕಪಿಯು ಮರದ ತುದಿಯಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಮೇಲೆ ಜಿಗಿದು ಕರ್ಣದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಅದೇ ಸರೋವರನ್ನು ಮುಟ್ಟಿತು. ಆ ಎರಡೂ ಕಪಿಗಳು ಒಂದೇ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಿದ್ದರೆ ಎರಡನೇ ಕಪಿಯು ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರ ಹಾರಿತು ಎಂದು ತಿಳಿಸಿ.(ಲೀಲಾವತಿ: ಶ್ಲೋಕ 157)

BD ಯು 100 ಅಡಿ ಎತ್ತರವಿರುವ ಮರ. C ಮತ್ತು  B ಯಿಂದ 200 ಅಡಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸರೋವರ.

ಕಪಿಯು ಜಿಗಿದ ಎತ್ತರ x ಇರಲಿ.

ಒಂದು ಕಪಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ = DB+BC= 100+200=300. ಇನ್ನೊಂದು  ಕಪಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ = DA+AC = x+AC

ಇವೆರಡೂ ಒಂದೇ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಿದೆ ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ

 x+AC=300  AC= 300-x   AC2  = (300-x)2   =90000-600x+ x2  ------- (1)

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ,

AC2 = BA2+BC2 = (100+x)2+2002  = 10000+200x+x2+40000          ---------(2)

ಸಮೀಕರಣ 1,2 ರಿಂದ,

10000+200x+x2+40000 =90000-600x+ x2

 800x = 40000  x=50

 

ತಾಳೆ:  AC2 = (100+50)2+ 2002 = 22500+40000 = 625000 = 2502

 100+200 = 50+ 250

 

6.13.2 ಸಮಸ್ಯೆ 6:  9 9 ಮೊಳ ಎತ್ತರವಿರುವ ಕಂಭದ ಬುಡದಲ್ಲಿ ಹುತ್ತವಿದೆ. ಕಂಭದ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನವಿಲು ಕುಳಿತಿದೆ. ಕಂಭದಿಂದ, ಕಂಭದ ಎತ್ತರದ ಮೂರರಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಹುತ್ತಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತಿರುವ ಹಾವನ್ನು ನೋಡಿ ಅದನ್ನು ತಿನ್ನಲು ನವಿಲು ಕಂಭದ ತುದಿಯಿಂದ ಹಾರುತ್ತದೆ. ಅವೆರಡೂ ಒಂದೇ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹೊರಟರೆ ಹುತ್ತದಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಅವೆರಡರ ಸಮಾಗಮವಾಗುವುದು(ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 152)

AB ಯು 9 ಮೊಳ ಎತ್ತರದ ಕಂಭ. A ನಲ್ಲಿ ನವಿಲು ಕುಳಿತಿದೆ. D ಯು ಕಂಭದಿಂದ 27 ಮೊಳ ದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಹಾವು.

ನವಿಲು ಹಾವನ್ನು ಹಿಡಿಯಲು ತ್ರಿಕೋನದ ಕರ್ಣ ಮಾರ್ಗವನ್ನು (AC) ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.  C ಯು ನವಿಲು ಹಾವಿನ ಮೇಲೆ ಎರಗುವ ಸ್ಥಳ. BC x ಇರಲಿ  CD=27-x  ನವಿಲೂ, ಹಾವೂ ಒಂದೇ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ AC=CD.

 AC=27-x  AC2  = (27-x)2   =729-54x+ x2 ------- (1)

 

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ,

AC2 = BA2+BC2 = (9)2+x2  = 81+x2         ---------(2)

ಸಮೀಕರಣ 1,2 ರಿಂದ,

729-54x+ x2 =81+x2

 729-81 = 54x   x= 648/54=12

 

ತಾಳೆ:  AC2 = (27-12)2 =  92 +  122 (  225 = 81+144)

 

 

6.13.2 ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಒಂದು ಸರ್ಕಸ್ ಕಂಪೆನಿಯ ಡೇರೆ ಕಟ್ಟಲು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ 11 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರದ ಕಂಬವನ್ನ ನೆಟ್ಟಿತು. ಈ ಕಂಬದ ಬುಡದಿಂದ 12ಮಿ. ದೂರದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿ 6 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರದ ಕೆಲವು ಕಂಬಗಳನ್ನ ನೆಟ್ಟರು. ಈ ಕಂಬಗಳನ್ನ ತುದಿಗಳನ್ನ ಮಧ್ಯ ಕಂಬದ ತುದಿಗೆ ಕಟ್ಟಿದರೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾಗುವ ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

ಕಂಬಗಳನ್ನ ನೆಟ್ಟ ಕ್ರಮವನ್ನ ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ.

BD ಯು ಮಧ್ಯದ ಕಂಬ = 11 ಮೀಟರ್, AC ಯು ಆಧಾರದ ಕಂಬ = 6 ಮೀಟರ್

BD ಕಂಬದಿಂದ AC ಕಂಬಕ್ಕಿರುವ ದೂರ: AB = 12 ಮೀಟರ್

ನಾವೀಗ ಆಅಯ ಉದ್ದವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

Cಯಿಂದ AB ಗೆ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ ಅದು BDಯನ್ನ E ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.

ABEC ಯು ಒಂದು ಆಯತ. CE=12  BE=AC=6 ED=5

CED ಯು ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ. ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ,

DC2 = CE2+ED2= 122+52=144+25 =169 = 132 CD = 13 ಮಿ.

ಮಧ್ಯದ ಕಂಬಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಕಂಬಗಳನ್ನ ಕಟ್ಟಲು ಬೇಕಾದ ಹಗ್ಗದ ಉದ್ದ = 13 ಮಿ.

 

6.13.2 ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ACB = 900 AB=c, BC=a, CDB = 900, CD =p ಆದರೆ 1/p2 = 1/a2 + 1/b2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಹಂತ

ನಿರೂಪಣೆ

ಕಾರಣಗಳು

1

AB2 = AC2+BC2

ACBಯಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ

2

c2 = b2+a2

 

3

(1/2)AB*CD = (1/2)cp

ACB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (BC ಪಾದ)

4

(1/2)AC*BC = (1/2)ba

ACB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (AC ಪಾದ)

5

ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಒಂದೇ

ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಒಂದೇ

6

c = ab/p

 

7

a2b2/ p2 = b2+a2

c ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನ 2 ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದೆ.         

8

1/ p2= (b2+a2)/ a2b2

 

9

1/ p2= 1/a2+1/b2

 

 

 

 

6.13 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಪ್ರತಿ ಭುಜದ ಒಂದು ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಎಳೆದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ- ಮೂಲಸಮಾನುಪಾತತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ

2

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಕೋನೀಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

3

ಸಮರೂಪ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

4

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.