ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳು

6.14 ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳು (Touching Circles):

ಪ್ರಮೇಯ: ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗ, ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರಗಳು ಸರಳ ರೇಖಾಗತವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ದತ್ತ: A ಮತ್ತು B ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ (ಚಿತ್ರ 1 ರಂತೆ) ಅಥವಾ ಅಂತಸ್ಥವಾಗಿ (ಚಿತ್ರ 2 ರಂತೆ) ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಹುದು.

ಸಾಧನೀಯ: A, B ಮತ್ತು Pಗಳು ಸರಳ ರೇಖಸ್ಥ ಬಿಂದುಗಳು

ರಚನೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ RPQ ವನ್ನೆಳೆದಿದೆ. AP ಮತ್ತು BPಗಳನ್ನ ಸೇರಿದೆ

ಸಾಧನೆ: (ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶವಾದಾಗ)

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	APQ = 90⁰=BPQ	RQ ವು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ P ಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ, AP ಮತ್ತು BP ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು
2	APQ+BPQ = 180⁰	1 ರಿಂದ
3	APBಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ	2 ರಿಂದ A ಮತ್ತು B ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರಗಳು.
A, B ಮತ್ತು Pಗಳು ಸರಳ ರೇಖಸ್ಥ ಬಿಂದುಗಳು

ಸಾಧನೆ: ಅಂತಸ್ಥ ಸ್ಪರ್ಶವಾದಾಗ)

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AP ಮತ್ತು BP ಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೆ RQಗೆ ಲಂಬಗಳು	RQ ವು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ P ಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ, AP ಮತ್ತು BPಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು
2	Bಯು AP ಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು
3	ABPಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ
A, B ಮತ್ತು P ಗಳು ಸರಳ ರೇಖಸ್ಥ ಬಿಂದುಗಳು

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 1: A ಮತ್ತು B ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆಯು ಆ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳನ್ನ P ಮತ್ತು Q ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. AP ಮತ್ತು BQ ಸಮಾಂತರ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಕೇಂದ್ರಗಳುಳ್ಳ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ನಾವು AP || BQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AM=AP	ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು
2	APM = AMP	ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ 2 ಕೋನಗಳು ಸಮ.
3	AMP= QMB	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
4	BM=BQ	ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು
5	QMB = BQM	ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ 2 ಕೋನಗಳು ಸಮ
6	APM = BQM	2, 3, 5 ರಿಂದ,

ಆದರೆ ಈ ಕೋನಗಳು AP ಮತ್ತು BQ ಗಳನ್ನ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು. ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ, AP || BQ

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಯು ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡ. M ಎಂಬುದು AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು.. AB ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ AM ಮತ್ತು MB ಗಳು ವ್ಯಾಸಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ. ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ಒಂದು ವೃತ್ತವು ಈ ಮೂರೂ ವೃತ್ತಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು (1/6)AB ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ x ಆಗಿರಲಿ.

OR=OP =x

AB=a ಆಗಿರಲಿ

CP = CM= a/4, MR=a/2

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	OMCಯು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ	OM ಎಂಬುದು C₁ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ M ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ
2	OC² = MC²+OM²	OMCಗೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ
3	ಎಡಭಾಗ = (x+(a/4))² = x²+ax/2+ (a²/16)	OC = OP+PC = x+(a/4)
4	ಬಲಭಾಗ = (a²/16)+ (a²/4)-ax+ x²	MC=a/4,OM = MR-OR=a/2-x
5	x²+ax/2+ (a²/16) =(a²/16)+ (a²/4)-ax+ x²	ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ
6	3ax/2=(a²/4)
7	x = a/6 i.e. OP =(1/6)AB

6.14 ಪ್ರಮೇಯ: ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

(i) ಸಮವಾಗಿಯೂ

(ii) ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮನಾದ ಕೋನವನ್ನ ಮತ್ತು

(iii) ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ

ದತ್ತ: ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ PA ಮತ್ತು PBಗಳು P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

ಸಾಧನೀಯ:

(i) PA=PB

(ii) APO= BPO

(iii) AOP= BOP

ಸಾಧನೆ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	OA = OB	ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು
2	OAP= OBP= 90⁰	PA ಮತ್ತು PBಗಳುA ಮತ್ತು Bಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಗಳು AO ಮತ್ತು BO ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು.
3	OPಯುAOP ಮತ್ತು BOP ಗಳಿಗೆ ಉಭಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು..
4	AOP BOP	ಲಂ.ಕ.ಬಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
5	PA=PB	ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು
6	APO= BPO	ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು
7	AOP= BOP	ಸರ್ವಸಮ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ XY ಮತ್ತು PCಗಳು 2 ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

XPY = 90ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	CX= CP	CX ಮತ್ತು CPಗಳು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದ C₁ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.
2	CXP =CPX =x⁰	CXP ಯಲ್ಲಿ 2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.
3	CY =CP	CY ಮತ್ತು CPಗಳು C ಬಿಂದುವಿನಿಂದೆಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು
4	PYC =CPY =y⁰	2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.
5	CXP + XPC + CPY +PYC = 180⁰	PXY ಯ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು
6	i.e. x⁰+x⁰+y⁰+y⁰= 180⁰
7	2(x⁰+y⁰)= 180⁰
8	i.e. (x⁰+y⁰) =XPY = 90⁰

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು Pಯಿಂದ PQ ಮತ್ತು PR ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನೆಳೆದಿದೆ. PQR = 60⁰ ಆದರೆ, ಜ್ಯಾ QR ನ ಉದ್ದವು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	PQ=PR	ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.
2	PQR =PRQ	PQ ಮತ್ತು PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.
3	PQR =60⁰	2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.
4	PQR =PRQ = 60⁰	ದತ್ತ
5	PQR ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ	2 ರಿಂದ
6	PQ=PR=QR

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ ಮತ್ತು PRಗಳು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು QPR= 90⁰ಆದರೆ PQOR ಒಂದು ವರ್ಗ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	OQP= 90⁰ =ORP	PQ ಮತ್ತು PRಗಳುP ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.
2	QPR=90⁰	ದತ್ತ
3	OQ \|\| PR
4	QOR =360⁰-OQP-QPR -ORP = 360⁰-90⁰-90⁰-90⁰= 90⁰
5	OR \|\| QP
6	PQOR ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ	OQ=OR (ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು)
7	PQOR ಒಂದು ವರ್ಗ

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 6: O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ AT ಮತ್ತು BTಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು TP=TQ ಆಗುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ PQ ವನ್ನ ಎಳೆದಿದೆ.TAB ||| TPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AT=BT	TA, TBಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು
2	TAB=TBA	2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.
3	PT=QT	TP ಮತ್ತು TQ T ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು
4	TPQ=TQP	2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ.
5	ATB= 180⁰- (TAB+TBA) = 180⁰- 2TAB	TAB ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ = 180⁰
6	ATB= 180⁰- (TPQ+TQP) = 180⁰- 2TPQ	TPQ ಯಲ್ಲಿ 3 ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ= 180⁰
7	TAB =TPQ	5 ಮತ್ತು 6 ರ ಬಲಭಾಗ ಹೋಲಿಸಿ.
8	TAB =TPQ=TQP =TBA	7, 4, 2 ರಿಂದ
9	TAB \|\|\| TPQ	ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿವೆ.

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಕೊಟ್ಟ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A,B,C ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆದಿದೆ.

AP+BQ+CR =BP+CQ+AR ಅಲ್ಲದೆ AP+BQ+CR = 1/2 *ABC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಮತ್ತು AB=AC ಆದರೆ,BQ=QC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	PA=AR	A ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು
2	BQ=BP	B ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು
3	CR=CQ	C ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು
4	PA+BQ+CR =AR+BP+CQ	1+2+ 3 ರಿಂದ
5	AB=AP+PB, BC=BQ+QC,AC=AR+RC
6	AB+BC+AC = PA+BQ+CR +AR+BP+CQ
7	= 2 (AP+BQ+CR) = ABC ಯ ಸುತ್ತಳತೆ
8	AB=AC	ದತ್ತ
9	AP+PB=AR+RC
10	PB=RC	1 ಮತ್ತು 9 ರಿಂದ
11	BQ=CQ	2,10 ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ

6.14 ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ TP ಮತ್ತು TQಗಳು ‘O’ ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಆದರೆ

1. OTಯು PQ ದ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

2. PTQ =2OPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
TPR ಮತ್ತು TQR ಗಳಲ್ಲಿ
1	TP=TQ, PTR=QTR	6.14 ಪ್ರಮೇಯ (TP, TQ ಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು)
2	TR ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು
3	TPR TQR	ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ
4	PR=RQ and PRT =QRT
5	PRT = 90⁰	4 ರಿಂದ
6	PTR +RPT = 90⁰	ಲಂಬಕೋನ PRT ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನ ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದೆರಡು ಕೋನಗಳು
7	OPT = 90⁰=OPR+RPT	PT ¸ ಸ್ಪರ್ಶಕ OP ತ್ರಿಜ್ಯ P = 90⁰
8	PTR =OPR	6 ಮತ್ತು 7
9	PTQ = 2 PTR	1 ರಿಂದ
10	= 2 OPR	8 ರಿಂದ

6.14 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು

-ಸಮವಾಗಿಯೂ

-ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯೊಡನೆ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಮತ್ತು

-ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮವಾದ ಕೋನವನ್ನ ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ.