ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ

6.2 ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು, ಸ್ವೀಕೃತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಗಳು (Axioms, Postulates and Enunciations on lines):

6.2.1 ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು (Axioms):

ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಚರ್ಚೆ ಮತ್ತು ಸಾಧನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ‘ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು’ ಮತ್ತು ‘ಸ್ವೀಕೃತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು’ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಎಂದರೆ ಹೇಳಿಕೆ. ಈ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳಿಗಿಂತ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲೇ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇವೆಲ್ಲಾ ಸ್ವಯಂನಿರ್ಧರಿತ ಸತ್ಯಸಂಗತಿಗಳಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ:

1. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳಾಗಬಾರದು.

2. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು.(ಒಂದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದ ಆಧಾರದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಉದ್ಭವಿಸಿರಬಾರದು)

3. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರಬೇಕು.

1. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ a = b ಮತ್ತು b = c ಆದರೆ a = c ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ AB ಯ ಉದ್ದ: 3 ಸೆಂ.ಮಿ

ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ CD ಯ ಉದ್ದ: 3 ಸೆಂ.ಮಿ

ಆಗ ನಾವು AB=CD ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ABC = 50⁰

ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿ PQR = 50⁰.

ಆಗ ABC = PQR.

ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು:

6.2.1 ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 1: ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ a = b ಆದರೆ a+c = b+c ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 5 ರಲ್ಲಿ AB=3 ಸೆಂ.ಮಿ BE=2 ಸೆಂ.ಮಿ

ಚಿತ್ರ 6 ರಲ್ಲಿ CD=3 ಸೆಂ.ಮಿ DF =2 ಸೆಂ.ಮಿ

BE ಮತ್ತು DF ಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ AB ಮತ್ತು CD ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದಾಗ, AE=AB+BE = 5 ಸೆಂ.ಮಿ CF=CD+DF = 5 ಸೆಂ.ಮಿ

ಆಗ, AE=CF.

ಚಿತ್ರ 7 ರಲ್ಲಿ ABC = 20⁰, CBD = 40⁰.

ಚಿತ್ರ 8 ರಲ್ಲಿ PQR = 20⁰, RQS = 40⁰.

ಈಗ CBD ಮತ್ತು RQS ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ

ABC ಮತ್ತು PQR ಗಳಿಗೆ ಕೂಡಿದಾಗ,

ABD= 60⁰ , PQS = 60⁰ ಆಗ, ABD =PQS.

ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ:

6.2.1 ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 2: ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ, ಸಮವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ, ಮೊತ್ತಗಳು ಸಮವಾಗುತ್ತವೆ.

3. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ a = b ಆದರೆ a-c = b-c ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 9 ರಲ್ಲಿ AE=5 ಸೆಂ.ಮಿ BE=2 ಸೆಂ.ಮಿ

ಚಿತ್ರ 10 ರಲ್ಲಿ CF=5 ಸೆಂ.ಮಿ DF =2 ಸೆಂ.ಮಿ

ಈಗ BE ಮತ್ತು DF ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ AE ಮತ್ತು CF ಗಳಿಂದ ಕಳೆದಾಗ, AB=AE-BE=3 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು CD=CF-DF=3 ಸೆಂ.ಮಿ

ಆಗ AB=CD ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು

ಚಿತ್ರ 11 ರಲ್ಲಿ ABD = 60⁰, CBD = 40⁰.

ಚಿತ್ರ 12 ರಲ್ಲಿ PQS = 60⁰, RQS = 40⁰.

ಈಗ CBD ಮತ್ತು RQS ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ

ABD ಮತ್ತು PQS ಗಳಿಂದ ಕಳೆದಾಗ,

ABC = 20⁰ , PQR = 20⁰ DUÀ ABC =PQR.

ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

6.2.1 ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 3: ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಂದ ಸಮವಾದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಳೆದಾಗ, ಉಳಿಯುವ ಅಂಶಗಳು ಸಮ.

4. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ n > 1 ಆದಾಗ a > (a/n) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 13 ರಲ್ಲಿ AB ಯನ್ನು AE ಮತ್ತು EB ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ AB>AE , AB>BE.

ಚಿತ್ರ 14 ರಲ್ಲಿ ABC ಯನ್ನು

ABD ಮತ್ತು DBC ಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ.

ABC >ABD , ABC >DBC.

ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಂದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ

6.2.1 ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 4: ಪೂರ್ಣವು ಅದರ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತಲೂ ದೊಡ್ಡದು.

ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲೂ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

6.2.2 ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆಗಳು (ಸ್ವೀಕೃತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು)(Postulates):

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಪ್ಪಂದದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ‘ರೇಖಾಗಣಿತದ’ ಊಹಾ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ‘ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ’ ಎನ್ನುವರು. ಇವುಗಳು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಂತೆಯೇ ಆಗಿವೆ. ಆದರೆ ಇವುಗಳ ಸತ್ಯಾಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅಳತೆಗಳಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

100 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ಓಟದ ಹಾದಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೀರೆಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ?

ಕೆಲಸಗಾರರು 100 ಮೀಟರ್ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸುಣ್ಣದ ಪುಡಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನೆಳೆದು ಜೋಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇಲ್ಲಿ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಯಾವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ?

ಪಕ್ಕದ ಸರಳ ರೇಖಾ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A, B ಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದು.

AB ಯು ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವ ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಂದು ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆಯಿಂದ ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು.

6.2.2 ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ 1: ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಬಹುದು.

ಈ ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದೆಯೂ ಕೆಲಸಗಾರರು ಹೇಗೆ ಗೆರೆ ಎಳೆಯುತ್ತಾರೆ ನೋಡಿ!

ನೀವು ಸೈಕಲಿನ ಚಕ್ರದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡ್ಡಿಗಳು ಜೋಡಿಸಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ?

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ಚಕ್ರದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು.

ಹಲವು ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಂದು ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆಯಿಂದ ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು

6.2.2 ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ 2: ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಅನೇಕ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಿಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಂದು ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆಯಿಂದ ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು.

6.2.2 ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ 3: ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ದೂರಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದರೂ ವೃದ್ಧಿಸಬಹುದು

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ಬಿಂದುವಿನಿಂದ OA ಮತ್ತು OB ರೇಖಾಕಿರಣಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಆದ ಕೋನವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ AOB = 180⁰

ಮೇಲಿನ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಂದು ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆಯಿಂದ ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು.

6.2.2 ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ 4: ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳ ಆರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡುವ ಕೋನವು 180⁰ ಇರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಕುರ್ಚಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ? ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಹಾಕಿ ಅಥವಾ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ...

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಮತ್ತು CD ರೇಖೆಗಳು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆ.

ಮೇಲಿನ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಂದು ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆಯಿಂದ ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು.

6.2.2 ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ 5: ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಒಂದು ಉಭಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ರೈಲ್ವೇ ಹಳಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿಸಿದರೇನಾಗುತ್ತದೆ?

ರೈಲ್ವೇ ಪ್ರಯಾಣ ಅಸಾಧ್ಯ…

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಮತ್ತು CD ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ದೂರಕ್ಕೆ ವೃದ್ಧಿಸಿದರೂ ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. (ರೈಲ್ವೇ ಹಳಿಯಂತೆ)

ಮೇಲಿನ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಂದು ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆಯಿಂದ ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು.

6.2.2 ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ 6: ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅನಂತ ದೂರದವರೆಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಿದರೂ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ 5 ಮತ್ತು 6ರಿಂದ, ನಾವೇನು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು? ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

6.2.3 ಹೇಳಿಕೆಗಳು (Enunciations):

ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸತ್ಯ ಸಂಗತಿಗಳು ಹೇಳಿಕೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸತ್ಯಾಂಶವನ್ನು ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅಳತೆಗಳಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AOC + COB = 180⁰
ಮೇಲಿನ ಸತ್ಯಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. 6.2.3 ಹೇಳಿಕೆ 1: ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ರೇಖಾಕಿರಣ ನಿಂತಾಗ ಆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 1800 ಇರುತ್ತದೆ. ಆ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಲವು ಬಾರಿ ‘ಸರಳಯುಗ್ಮ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ’ (Linear pair axiom) ಎನ್ನುವರು.
ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಮತ್ತು CD ರೇಖೆಗಳು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಆಗ, AOC = DOB ಮತ್ತು AOD = COB
ಮೇಲಿನ ಸತ್ಯಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. 6.2.3 ಹೇಳಿಕೆ 2: ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ. ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ ಕತ್ತರಿ.

ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾಧಿಸಬಹುದು:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AOC + COB = 180⁰	ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ 1: AB ಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ OC ಯು AB ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ.
2	DOA + AOC = 180⁰	ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ 1: DC ಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ OAಯು DC ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ.
3	AOC + COB =DOA + AOC	ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 1
4	COB = DOA	ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 3(AOC ಯನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ಕಳೆದಿದೆ)

ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ,AOC = DOB ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು:

1.ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಉಭಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು ಒಂದು ಉಭಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಕೋನಗಳನ್ನು ‘ಪಾರ್ಶ್ವ ಕೋನಗಳು’ (adjacent) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ABC ಮತ್ತು CBD ಗಳು ಪಾರ್ಶ್ವ ಕೋನಗಳು ಇಲ್ಲಿ

B ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು. BCಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು.

2. ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 90⁰ಇದ್ದರೆ, ಆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು “ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು”” (complimentary) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ PQS +SQR = PQR ಮತ್ತು PQR=90⁰

ಆದ್ದರಿಂದ PQS ಮತ್ತು SQR ಗಳು ಪೂರಕಕೋನಗಳು.

3. ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180⁰ಇದ್ದರೆ, ಆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು “ಪರಿಪೂರಕ ಕೋನಗಳು” (ಅಥವಾ ಸಂಪೂರಕ ಕೋನಗಳು)(supplementary) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ XOZ ಮತ್ತು ZOY ಗಳು ಪರಿಪೂರಕ ಕೋನಗಳು. ಏಕೆಂದರೆ XOZ+XOY = 180⁰)

ಸಂ	ಕೋನಗಳ ವಿಂಗಡಣೆ	ಉದಾಹರಣೆ
1	ಪಾರ್ಶ್ವ ಕೋನಗಳು	ABC ಮತ್ತು CBD
2	ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು	PQS ಮತ್ತು SQR PQS +SQR=90⁰
3	ಪರಿಪೂರಕ ಕೋನಗಳು	XOZ ಮತ್ತು XOY XOZ +XOY=180⁰

ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ‘ಛೇದಕ ರೇಖೆ’ (transversal) ಎನ್ನುವರು.

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿ AB ಮತ್ತು CD ಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು.

EF ರೇಖೆಯು ABಯನ್ನುGಯಲ್ಲಿಯೂCDಯನ್ನುH ಯಲ್ಲಿಯೂ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಆದ್ದರಿಂದ EF ಒಂದು ಛೇದಕರೇಖೆ.

ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ವಿವಿಧ ಕೋನಗಳು:

ಪಾರ್ಶ್ವ ಕೋನಗಳು	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು (4 ಜೊತೆ)	ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು (2 ಜೊತೆ)	ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು (4 ಜೊತೆ)	ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು (2 ಜೊತೆ)
AGE & EGB	AGE & HGB	AGH & GHD	EGB & GHD	AGH and GHC
CHF &FHD	CHF & GHD	BGH & CHG	AGE & CHG	BGH and GHD
…….	AGH &EGB		AGH & CHF
	CHG &FHD		BGH & DHF

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ಮತ್ತು CD ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳು EF ಛೇದಕ ರೇಖೆ. ಆಗ,

EGB = GHD

AGH = CHF

AGE =CHG ಮತ್ತು

BGH = DHF.

ಮೇಲಿನ ಸತ್ಯಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

6.2.3 ಹೇಳಿಕೆ 3: ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಅನುರೂಪಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ..

6.2.3 ಹೇಳಿಕೆ 4: ಒಂದು ಜೊತೆ ಅನುರೂಪಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಛೇದಕ ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಆ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. (ಇದು ಹೇಳಿಕೆ 6.2.3.3 ರ ವಿಲೋಮ)

6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ಎಂಬುದು AB ಎಂಬುದು OP ರೇಖಾಕಿರಣವು AB ಯ ಮೇಲೆ O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದೆ.

OQ ರೇಖೆಯು POB ಯನ್ನು, OR ರೇಖೆಯು AOP ಯನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ. ಆಗ ROQ = 90⁰ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	POQ = QOB	OQ ವು POBಯ ಕೋನಾರ್ಧ ರೇಖೆ
2	POB = 2* POQ	ಹಂತ 1ರಿಂದ
3	AOP = 2*ROP	OR ವು AOP ಯ ಕೋನಾರ್ಧ ರೇಖೆ.
4	AOP + POB = 180⁰	ಹೇಳಿಕೆ 1: AB ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕಿರಣ OP ನಿಂತಿದೆ.
5	2* ROP +2*POQ =180⁰	ಹಂತ 4,2,3 ರಿಂದ
6	2(ROP +POQ) =180⁰	ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ
7	ROP +POQ =90⁰
8	ROQ=90⁰	ROP +POQ=ROQ

6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2 ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ಎಂಬುದು AB ಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು. OP ಮತ್ತು OQ ಕಿರಣಗಳು AB ಯ ಮೇಲೆ O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿವೆ. ಅಲ್ಲಿ ಉಂಟಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು

ಕಂಡುಹಿಡಿದು QOP ಯು ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AOP+POB=180⁰	ಹೇಳಿಕೆ 1: AB ಯ ಮೇಲೆ OP ನಿಂತಿದೆ.
2	x+2x = 180⁰ i.e.3x =180⁰ i.e. x =60⁰
3	AOQ+QOB=180⁰	ಹೇಳಿಕೆ 1: AB ಯ ಮೇಲೆ OQ ನಿಂತಿದೆ.
4	y+5y = 180⁰ i.e. 6y = 180⁰ i.e. y =30⁰
5	AOP = x = 60⁰POB = 2x = 120⁰
6	AOQ = y = 30⁰,QOB = 5y =150⁰
7	QOP = QOA +AOP= y+x =30⁰+ 60⁰= 90⁰

6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು ‘O’. a-b=80⁰ ಆದರೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AOP+POB=180⁰	ಹೇಳಿಕೆ 1: AB ಯ ಮೇಲೆ OP ನಿಂತಿದೆ.
2	a+b= 180⁰	ಆದೇಶಿಸಿದೆ.
3	b = 180⁰-a
4	a-b = 80⁰
5	a-b= a – (180⁰ -a) = 2a -180⁰
6	2a -180⁰=80⁰	a-b =80 ದತ್ತ
7	2a =80⁰+180⁰= 260⁰: 2a =260⁰
8	a= 130⁰:b =50⁰

6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ OBಯು POQ ವನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. OA ಮತ್ತು OB ಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ಕಿರಣಗಳು

AOP = AOQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	AOP+POB=180⁰	ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು
2	AOP = 180⁰-POB
3	POB = BOQ	OBಯು POQ ವನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.
4	AOP = 180⁰-BOQ	3 ನ್ನ 2 ರಲ್ಲಿ ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದೆ.
5	AOQ+QOB=180⁰	ಹೇಳಿಕೆ 1: ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು
6	AOQ = 180⁰-BOQ
7	AOP = 180⁰-BOQ= AOQ	4 ಮತ್ತು 6 ರಿಂದ

6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ ಮತ್ತು RS ರೇಖೆಗಳು O ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತಿವೆ. OAಯು PORನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.OBಯು SOQ ನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.

AB ಸರಳ ರೇಖೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	POR = 2AOP	OAಯು POR ನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.
2	SOQ = 2BOQ	OBಯುSOQ ನ್ನ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.
3	POR = SOQ	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.
4	2AOP = 2BOQ: AOP =BOQ
5	AOB = AOP+POS+SOB
6	= BOQ+POS+SOB	AOPಗೆBOQ ವನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದೆ.
7	=POS+SOB+BOQ
8	= 180⁰	PQ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ. OS ಎಂಬುದು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಕಿರಣ SOQ =SOB+BOQ. AB ಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ.

6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 6: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABC = ACB ಆದರೆ ACQ =ABP ಮತ್ತು CBR =BCS ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	ACB+ACQ = 180⁰	BC ಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ.
2	ACB = 180⁰ – ACQ
3	PBA+ABC = 180⁰	BC ಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ.
4	PBA = 180⁰ – ABC
5	= 180⁰ – ACB
6	= 180⁰ – (180⁰ –ACQ)	2 ರಲ್ಲಿ ACB =180⁰-ACQ
7	= ACQ
8	PBR=ABC	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
9	QCS=ACB	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
10	PBR = QCS	8,9 ಮತ್ತು ದತ್ತ ABC=ACB
11	CBR = 180⁰ – PBR	CBR +PBR = 180⁰
12	= 180⁰ – QCS	10
13	=180⁰ – (180⁰ – BCS)	QCS+BCS = 180⁰
14	= BCS

6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 7: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AGE=120⁰. CHF = 60⁰. AB ಮತ್ತು CD ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	CHF = GHD = 60⁰	CHF ಮತ್ತು GHD ಗಳು ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು CHF = 60⁰(ದತ್ತ)
2	EGB = 60⁰.	AGE = 120⁰, AGE + EGB =180⁰ ಸರಳಯುಗ್ಮಗಳು.
3	EGB = GHD	1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ.

EGB ಮತ್ತು GHD ಗಳು ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು. ಹೇಳಿಕೆ 4 ರಂತೆ, ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ, AB ಮತ್ತು CD ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ.

6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB||CD, EF ಛೇದಕವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ G ಮತ್ತು H ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ. AGE ಮತ್ತು EGB ಗಳು 3:2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

AB ಯು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ. ಆದ್ದರಿಂದ AGE + EGB =180⁰.

ಈ ಕೋನಗಳ ಅನುಪಾತ 3:2. ಆದ್ದರಿಂದ 180⁰ಯನ್ನ ಈ ಅನುಪಾತಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಬೇಕು.

ಅನುಪಾತದ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತ = 3+2 =5:

5 ಪರಿಮಾಣದ ಬೆಲೆ = 180⁰

1 ಪರಿಮಾಣದ ಬೆಲೆ = 180⁰÷5 = 36⁰

AGE = 3 ಪರಿಮಾಣ = 3*36⁰ = 108⁰

EGB = 2 ಪರಿಮಾಣ = 2*36⁰ = 72⁰

ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
AGE = HGB =108⁰	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
EGB = AGH = 72⁰	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
EGB = GHD = 72⁰	ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು
AGE = CHG =108⁰	ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು
DHF = CHG =108⁰	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
CHF = GHD = 72⁰	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು

6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 9: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ||RS. ಆದರೆ QPO + ORS = POR ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ರಚನೆ: PQ ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ O ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ TU ಸರಳರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

SRನ್ನ Y ವರೆಗೆQPಯನ್ನುX ವರೆಗೆ, ROವನ್ನುV ವರೆಗೆ,OP ವನ್ನುZ ವರೆಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	TOP= XPZ	(XQ\|\|TU) ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು
2	XPZ=QPO	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
3	QPO= TOP	1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ.
4	ROT = VOU	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು
5	VOU = 180⁰-TOV	TOU ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ
6	TOV = YRV	(TU\|\|YS) ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು
7	VOU = 180⁰-YRV	5 ಮತ್ತು 6 ರಿಂದ.
8	180⁰-YRV = ORS	YS ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ
9	VOU =ORS	7 ಮತ್ತು 8 ರಿಂದ.
10	ROT = ORS	4 ಮತ್ತು 9 ರಿಂದ.
11	POR = POT +TOR = QPO+ORS	3 ಮತ್ತು 10 ರಿಂದ.

6.2 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂಖ್ಯೆ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು, ಆಧಾರ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಗಳು.