ಗಣಗಳು

3.3 ಗಣಗಳು - ಭಾಗ:2 (Sets- Part 2):

ಪೀಠಿಕೆ: ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

“ಒಂದು ತರಗತಿಯ 60 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕಬಡ್ಡಿ ಅಥವಾ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಎರಟೂ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳ ಬೇಕು. 45 ಮಂದಿ ಕಬಡ್ಡಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 30 ಮಂದಿ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಎರಡೂ ಟೀಂಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಂಡ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೆಷ್ಟು”

ಗಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಸಹಾಯಕಾರಿ

3.3.1 ಗಣಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು (Properties of sets):

2+3 =3+2 , 2*3 =3*2.

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಪರಿವರ್ತನೀಯ.

(2+3)+4= 2+(3+4) ; (2*3)*4= 2*(3*4).

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಸಹವರ್ತನೀಯವಾಗಿವೆ.

ಈಗ ನಾವು ಗಣಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯುವಾ.

3.3.1 ಉದಾ 1 : ಗಣಗಳು: A = {p,q,r,} ,B = {q,r,s,} ಮತ್ತು C={r,s,t} ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ:

1. BC =CB

2. BC = CB

3. A(BC) = (AB)C

4. A(BC) = (AB) C

5. A (BC) = (AB) (AC)

6. A (BC) = (AB)(AC)

ಪರಿಹಾರ:

BC = {q,r,s}{r,s,t} = {q,r,s,t} ------à(1)

CB = {r,s,t} {q,r,s} ={q,r,s,t} -------à(2)

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, BC =CB

1. ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ.(Union of sets is commutative):

BC = {q,r,s}{r,s,t} = {r,s} -----à(3)

CB = {r,s,t} {q,r,s} = {r,s} -----à(4)

(3) ಮತ್ತು (4 ರಿಂದ, BC = CB

2. ಗಣಗಳ ಛೇದನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ.(Intersection of sets is commutative):

AB = {p,q,r,}{q,r,s} = {p,q,r,s}

A(BC) = {p,q,r} {q,r,s,t} ={p,q,r,s,t,} ---à(5)

(AB)C= {p,q,r.s}{r,s,t} = {p,q,r,s,t} ---------à(6)

(5) ಮತ್ತು (6) ರಿಂದ, A(BC) = (AB)C

3. ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗವು ಸಹವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ. (Union of sets is associative):

AB = {p,q,r}{q,r,s} = {q,r}

A (BC) ={p,q,r}{r,s} ={r} ------à(7)

(AB) C = {q,r}{r,s,t} = {r} ------à(8)

(7) ಮತ್ತು (8) ರಿಂದ, A(BC) = (AB) C

4. ಗಣಗಳ ಛೇದನವು ಸಹವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ. (Intersection of sets is associative):

A (BC) = {p,q,r}{r,s} = {p,q,r,s} -----------------à(9)

AC = {p,q,r}{r,s,t} = {p,q,r,s,t}

(AB) (AC) = {p,q,r,s}{p,q,r,s,t} ={p,q,r,s} ----à(10)

(9) ಮತ್ತು (10) ರಿಂದ, A (BC) = (AB) (AC)

5. ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗವು ಛೇದನದ ಮೇಲೆ ವಿಭಾಜಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (Union of sets is distributive over intersection of sets):

A (BC) = {p,q,r,}{q,r,s,t} ={q,r} ----à(11)

(AB) = {p,q,r}{q,r,s} = {q,r}

(AC) = {p,q,r}{r,s,t} = {r}

(AB)(AC)= {q,r}{r} = {q,r} --------à(12)

(11 ಮತ್ತು (12) ರಿಂದ, A (BC) = (AB)(AC)

6. ಗಣಗಳ ಛೇದನವು ಸಂಯೋಗದ ಮೇಲೆ ವಿಭಾಜಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (Intersection of sets is distributive over union of sets):

'ಡಿ’ ಮಾರ್ಗನ್ನನ ನಿಯಮಗಳು (De Morgan’s laws):-

ಸಾಧಿಸಿ:

1. (AB)¹= A¹B¹ (ಎರಡು ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗ ಗಣದ ಪೂರಕಗಣವು ಆ ಎರಡು ಗಣಗಳ ಪೂರಕ ಗಣಗಳ ಛೇದನಕ್ಕೆ ಸಮ)

(The complement of union of sets is the intersection of their complements)

2. (AB)¹= A¹B¹(ಎರಡು ಗಣಗಳ ಛೇದನ ಗಣದ ಪೂರಕ ಗಣವು ಆ ಎರಡು ಗಣಗಳ ಪೂರಕ ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಮ)

(The complement of the intersection of sets is the union of their complements)

3.3.1 ಉದಾ 2 : U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} -- (10 ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು)A = {x:10 ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ } B = {x:10 ಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿನ 3 ರ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳು }

ಈಗ ನಾವು A ಮತ್ತು B ಗಣದ ಗಣಾಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾ.

A = {1,4,9} (ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳು ಪೂರ್ಣವರ್ಗಗಳಲ್ಲ) B = {3,6,9} (3 = 3*1, 6=3*2,9=3*3)

A¹= U-A (A ಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ U ದಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗಣವೇ A¹)

= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {1,4,9} ={0,2,3,5,6,7,8} =========à(1)

B¹= U-B (B ಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ U ದಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗಣವೇ B¹)

={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {3,6,9} ={0,1,2,4,5,7,8} =========à(2)

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ,

A¹B¹= {0,2,3,5,6.7,8}{0,1,2,4,5,7,8} ={0,2,5,7,8} ==================à(3)

(AB) = {1,4,9}{3,6,9} = {1,3,4,6,9}

(AB)¹= U -(AB) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}- {1,3,4,6,9} = {0,2,5,7,8} ==à(4)

(3) ಮತ್ತು (4) ರಿಂದ,

1. (AB)¹= A¹B¹

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ,

A¹B¹= {0,2,3,5,6,7,8}{0,1,2,4,5,7,8} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}==============à(5)

AB = {1,4,9}{3,6,9}= {9}

(AB)¹= U – (AB) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}- {9} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8} =======à(6)

(5) ಮತ್ತು (6) ರಿಂದ,

2. (AB)¹= A¹B¹

3.3.2 ಎರಡು ಗಣಗಳಲ್ಲಿನ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ(Relationship between numbers of elements of 2 sets)

A ಗಣದಲ್ಲಿನ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n(A) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. (‘cardinal number’)

3.3.2 ಉದಾ 1 : A= {p,q,r,s,t} ಮತ್ತು B= {r,s,u,v,w} ಆಗಿರಲಿ.

n(A) =n(B)=5

AB ={p,q,r,s,t}{r,s,u,v,w}= {p,q,r,s,t,u,v,w}

AB ={p,q,r,s,t}{r,s,u,v,w} =(r,s} n(AB) =8, n(AB) =2

n(A) +n(B) = 5+5 =8+2 = n(AB) +n(AB)

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

1. n(AB)= n(A) +n(B)-n(AB)

2. n(AB)= n(A) +n(B)-n(AB)

3. A ಮತ್ತು B ಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಿಲ್ಲದ ಗಣಗಳಾದರೆ, n(AB)= n(A) +n(B)

( n(AB)=0 ಏಕೆಂದರೆ AB = { }=(A ಮತ್ತು B ಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಿಲ್ಲದ ಗಣಗಳು).

3.3.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಒಬ್ಬ ಹೂಮಾರುವವನ ಬಳಿ ಕೆಲವು ಹಾರಗಳಿವೆ. 110 ಹಾರಗಳು ಸಂಪಿಗೆ ಹೂವುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, 50 ಹಾರಗಳು ಮಲ್ಲಿಗೆ ಹೂವುಗಳಿದ ಕೂಡಿದೆ. ಮತ್ತು 30 ಹಾರಗಳು ಎರಡೂ ಬಗೆಯ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅವನ ಬಳಿ ಇರುವ ಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

A ಯು ಸಂಪಿಗೆ ಹೂಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಹಾರಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. n(A) =110.

B ಯು ಮಲ್ಲಿಗೆ ಹೂಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಹಾರಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ n(B)= 50.

AB ಯು ಎರಡೂ ಬಗೆಯ ಹೂಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಹಾರಗಳ ಗಣ. n(AB)=30.

AB ಯು ಏಲ್ಲಾ ಹಾರಗಳ ಗಣ.

n(AB)= n(A) +n(B)-n(AB) = 110+50-30 =130

ಹೂಮಾರುವವನ ಬಳಿ 130 ಹಾರಗಳಿವೆ.

3.3.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: ಒಂದು ತರಗತಿಯ 60 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕಬಡ್ಡಿ ಅಥವಾ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಎರಟೂ ಟೀಂ ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳ ಬೇಕು. 45 ಮಂದಿ ಕಬಡ್ಡಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 30 ಮಂದಿ ಹಾಕಿ ಟೀಂ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಎರಡೂ ಟೀಂಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಂಡ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೆಷ್ಟು?( 3.1 ಪೀಠಿಕೆ ಯಲ್ಲಿ ನ ಸಮಸ್ಯೆ)

ಪರಿಹಾರ:

A ಯು ಕಬಡ್ಡಿ ಟೀಂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. n(A) =45

B ಯು ಹಾಕಿ ಟೀಂ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. n(B) = 30

AB ಯು ಎರಡೂ ಟೀಂಗಳಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ.

n(AB)- ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದದ್ದು.

AB ಯು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣ

n(AB)=60 - ದತ್ತ

n(AB)= n(A) +n(B)-n(AB) n(AB)= n(A) +n(B)- n(AB) = 45+30-60 =15

15 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎರಡೂ ಟೀಂಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದಾರೆ.

3.3.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಒಂದು ಸಾವಿರ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಸಂದರ್ಶಿಸಲಾಗಿ, 750 ಕುಟುಂಬಗಳು ವಾರ್ತಾಚಾನೆಲ್‍ನ್ನೂ 400 ಕುಟುಂಬಗಳು ಕ್ರೀಡಾ ಚಾನೆಲ್‍ನ್ನೂ ಮತ್ತು 300 ಕುಟುಂಬಗಳು ಎರಡೂ ಚಾನೆಲ್‍ಗಳನ್ನೂ ವೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಕಂಡುಬಂತು.

ಹಾಗಾದರೆ.

1. ಎಷ್ಟು ಕುಟುಂಬಗಳು ವಾರ್ತಾಚಾನೆಲ್ ಮಾತ್ರ ವೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ?

2. ಎಷ್ಟು ಕುಟುಂಬಗಳು ಕ್ರೀಡಾ ಚಾನೆಲ್ ಮಾತ್ರ ವೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ?

3. ಎಷ್ಟು ಕುಟುಂಬಗಳು ಟಿಲಿವಿಷನ್ ವೀಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ?

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂದರ್ಶಿಸಿದ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ: U ಆಗಿರಲಿ. n (U) =1000

ವಾರ್ತಾಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ: A ಆಗಿರಲಿ. n (A) =750

ಕ್ರೀಡಾ ಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ : B ಆಗಿರಲಿ. n(B)=400

ಎರಡೂ ಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ: AB n(AB)=300

ಗಮನಿಸಿ:

1. A-AB ವಾರ್ತಾಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ. ಅಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = n [A-AB].

2. B- AB ಕ್ರೀಡಾ ಚಾನೆಲ್ ನೋಡುವವರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗಣ. ಅಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = n [B-AB].

3. AB ಯು ಟಿಲಿವಿಷನ್ ನೋಡುವವರ ಗಣ..

n(AB) = n(A)+n(B)-n(AB) = 750+400-300 = 850

4. (AB)¹ ಟೆಲಿವಿಷನ್ನನ ನೋಡದೇ ಇರುವವರ ಗಣ. ಅಲ್ಲಿರುವ ಗಣಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = n(AB)¹ ಈಗ,

1. n [A-AB] = n(A) – n(AB) = 750 -300 = 450

2. n [B-AB] = n(B) – n(AB) = 400 -300 = 100

3. n(AB)¹= n[U – (AB)] = n(U) – n((AB)) = 1000-850 = 150

3.3 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಕ್ರ.ಸಂ.	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	(AB)¹= A¹B¹
2	(AB)¹= A¹B¹
3	n(AB)= n(A) +n(B)-n(AB)
4	n(AB)= n(A) +n(B)-n(AB)