1.2. ವರ್ಗಗಳು
ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲಗಳು
(Squares
and square roots):
ಚೌಕ ಎಂದಾಗ
ನೆನಪಾಗುವುದು
ಚೌಕಾಭಾರ ಎನ್ನುವ
ಪಗಡೆಯಾಟವಲ್ಲವೇ? ಇದು ಇಬ್ಬರು/
ನಾಲ್ಕು ಜನರು ಆಡುವ
ಆಟವಾಗಿದ್ದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನ
ಹತ್ತಿರ 4 ಕಾಯಿಗಳುಇರುತ್ತವೆ.
4 ಕವಡೆಗಳನ್ನು
ಚೆಲ್ಲಿ/ಬೀಳಿಸಿ
ಬಿದ್ದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು
ಆಧರಿಸಿ ಅವರವರ
ಕಾಯಿಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾರೆ.
ಇಲ್ಲಿ
25 (5*5) ಮನೆಗಳಿದ್ದು
ಕಾಯಿಗಳು 24 ಮನೆಗಳನ್ನು
ದಾಟಿ ಹಣ್ಣಾಗುತ್ತವೆ. |
|
ಹಾಗೆಯೇ
ಚೌಕ ಎಂದಾಗ ನೆನಪಾಗುವುದು
ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ
ಎನ್ನುವ 2 ಅಳತೆ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ
ಸಮವಾಗಿರುವ ವರ್ಗ
(ಚೌಕ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ
ವಿಶೇಷ ಬಗೆಯ ಆಯತ. ಒಂದು
ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಉದ್ದ *
ಅಗಲ ಎಂದು
ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಪಕ್ಕದ
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ
ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (PQ*QR) = ಉದ್ದ * ಉದ್ದ = (ಉದ್ದ)2 |
|
ಈಗ 1, 4, 9, 16 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ
ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ:1,2,3,4,5…
ಕೆಳಗಿನ
ಗುಣಾಕಾರದ ತಃಖ್ತೆ
ನೋಡಿ:
2 ರ
ಮಗ್ಗಿ |
3 ರ
ಮಗ್ಗಿ |
4 ರ
ಮಗ್ಗಿ |
5 ರ
ಮಗ್ಗಿ |
2*1
= 2 |
3*1
= 3 |
4*1
= 4 |
5*1
= 5 |
2*2 = 4 |
3*2
=6 |
4*2
=8 |
5*2
=10 |
2*3
= 6 |
3*3 = 9
|
4*3
=12 |
5*3
=15 |
|
3*4
= 12 |
4*4 =16 |
5*4
=20 |
|
|
4*5
= 20 |
5*5 =25 |
ಇಲ್ಲಿ
ಏನನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಿರಿ? 4,9,16 ಮತ್ತು 25 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಕ್ರಮವಾಗಿ 2, 3, 4 ಮತ್ತು 5 ರ ವರ್ಗಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯು(perfect
square) ಎರಡು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ
ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.
12 = 1 = (-1)2
22 = 4 = (-2)2
32 = 9 = (-3)2
ವರ್ಗ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ರ ಘಾತಕ್ಕೆ
ಏರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.
ಅವು n2 ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.
ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ
ಲಕ್ಷಣಗಳು:-
1. ಪೂರ್ಣ
ವರ್ಗದ ಬಿಡಿಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ
ಅಂಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ 0,1,4,5,6,9( ಉದಾ: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121…)
2. ಪೂರ್ಣವರ್ಗ
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಲ್ಲದ
ಅಂಕೆಗಳು: (2, 3, 7, ಮತ್ತು 8)
3. ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ
ವರ್ಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ
ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳು (4, 16, 36, 64, 100 …)
4
ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳ
ವರ್ಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ
ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳು (1, 9, 25, 49, 81, 121…)
ದಶಮಾಂಶ
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು
ಕೂಡಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
ಭಿನ್ನರಾಶಿ |
ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆ |
ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ
ವರ್ಗ |
ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ
ವರ್ಗ |
|
|
4/9 |
|
|
|
1/100 |
.01 |
|
|
36/100 |
.36 |
|
|
144/100 |
1.44 |
|
|
4/10000 |
.0004 |
ವರ್ಗಮೂಲಗಳು:
3 ರ ವರ್ಗ 9. ಆದ್ದರಿಂದ 9 ರ ವರ್ಗಮೂಲ 3
n2 ಎಂಬುದು n ನ ವರ್ಗವಾದರೆ
, n ಎಂಬುದು ‘n2 ದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ (square root). ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಅಥವಾ
ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ
ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು ‘ವರ್ಗಮೂಲ’ ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಖ್ಯೆ |
ವರ್ಗಮೂಲ |
|
= |
|
= |
|
= |
|
= |
|
= |
1.2. ಸಮಸ್ಯೆ 1: 147 ರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಯಾವ ಎರಡು
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಧ್ಯೆ
ಇರುತ್ತದೆ?
ಪರಿಹಾರ:
122=144, 132=169
ಅಲ್ಲದೆ 144<147<169
<
<
12 <
< 13
1.2.1 ಅಪವರ್ತನ
ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು
ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು(Finding square root by factorization)
ಈ
ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು
ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ
ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡೆರಡರಂತೆ
ಗುಂಪು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
1.2.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು
ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ನಿರಂತರ
ಭಾಗಾಕಾರದಿಂದ ನಮಗೆ
ಸಿಗುತ್ತದೆ:
38025 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 5, 5,3,3,13,13
38025 =
5*5*3*3*13*13 = 52*32*132 = (5*3*13)2
= 5*3*13=195
ಇದೇ
ರೀತಿ ನಿರಂತರ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ,
10404 = 2, 2,3,3,17,17
10404 =
2*2*3*3*17*17 = 22*32*172 = (2*3*17)2
= 2*3*17=102
=
=
=
1.2.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 2617 ನ್ನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ
ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ
ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ
ಅಥವಾ ಅದನ್ನ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ
ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು
ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ನಿರಂತರ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ,
2617 = 3*3*313.
ಇಲ್ಲಿ
ಅಪವರ್ತನ 313 ಒಂದು
ಮಾತ್ರ ಬಂದಿದೆ.
ಈಗ ನಾವು 2617 ನ್ನು 313 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, (2617*313) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು 3, 3, 313, 313
ಆಗ, 2617*313= =3*3*313*313
= 32*3132 = (3*13)2
ಇದೇ ರೀತಿ 2617 ನ್ನು 313 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ
2617/313 =3*3 = 32
ಆದ್ದರಿಂದ 2617 ನ್ನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ
ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ
ಮಾಡಲು ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ
ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ
ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ:
313
1.2.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3: 3600 ಚ.ಮಿ. ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಳ್ಳ
ಒಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ
ತೋಟದ ಸುತ್ತ ನಾಲ್ಕು ಸುತ್ತು
ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ
ತಂತಿಯ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಬೇಲಿ
ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿಯ
ಉದ್ದ ನೋಡಲು ನಮಗೆ
ತೋಟದ ಸುತ್ತಳತೆ
ಬೇಕು. ಸುತ್ತಳತೆ
ನೋಡಲು ಬದಿಯ ಉದ್ದಬೇಕು. ಚೌಕಾಕಾರದ
ತೋಟದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (ಉದ್ದ)2=3600 ಚ.ಮಿ. 3600
= 2,2,2,2,3,3,5,5 = 2*2*2*2*3*3*5*5 = 22*22*32*52=(2*2*3*5)2
ಚೌಕಾಕಾರದ
ತೋಟದ ಬದಿಯ ಉದ್ದ = 60 ಮಿ. ಚೌಕಾಕಾರದ
ತೋಟದ ಸುತ್ತಳತೆ = ಬದಿ*4 = (60*4) = 240 ಮಿ.
ತೋಟಕ್ಕೆ
ನಾಲ್ಕು ಸುತ್ತು
ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ
ತಂತಿ = 4*240 = 960 ಮಿ. |
|
1.2 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ
ಸಂಖ್ಯೆ |
ಕಲಿತ
ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
1 |
ಪೂರ್ಣವರ್ಗ, ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ
ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. |