1.5 ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (Division method for finding square root):

 

4,16,64,256  ರ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಷ್ಟು? 2,4,8,16  ಅಲ್ಲವೇ?

ಹಾಗಿದ್ದರೆ 657721  ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಹಾಗೆಯೇ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರ ಹೇಳುವಿರಾ?

“ಒಬ್ಬ ತೋಟಗಾರನು ಸಸಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಚೌಕಾಕಾರ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಹೀಗೆ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿದ ಮೇಲೆ ಆತನಿಗೆ 5 ಸಸಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯು 64014  ಆದರೆ,  ಪ್ರತೀ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಸಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?” ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಪಾಠ (1.2) ರಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ,ಆ ಅಪವರ್ತನಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾ: 484 = 2*2*11*11 = 2²*11²

 = 2*11 = 22

 

ಆದರೆ ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತೀರಾ ದೊಡ್ಡದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ವರ್ಗಮೂಲ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಿಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಸಮಯ ಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ರಮವಾದ ‘ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮ’ವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲಿಗೆ ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿಸ್ಥಾನ(ಬಲಬದಿ)ದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ, ಎರಡೆರಡು ಅಂಕೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

 

ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಾನಗಳಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಮಾಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ 2 ಅಂಕೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.

 

ಉದಾ: ಸಂಖ್ಯೆ: 219024 ನ್ನು ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು (21),(90) (24).

ಸಂಖ್ಯೆ 34567890 ನ್ನ ಗುಂಪು ಮಾಡಿದಾಗ: (34,56,78,90).

 

ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಾನಗಳಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಕಿಯಿದ್ದು ಉಳಿದ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಅಂಕಿಗಳಿರುತ್ತವೆ.

 

ಉದಾ:  19024 ನ್ನ ಗುಂಪು ಮಾಡಿದಾಗ: (1),(90) ಮತ್ತು  (24) ಎನ್ನುವ 3 ಗುಂಪುಗಳು

3456789 ರ  ಗುಂಪುಗಳು: (3),(45),(67) (89).

 

1.5.1 ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (Finding square root of whole numbers):-

 

1.5.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : 219024 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1 : ಬಲಗಡೆಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಎರಡೆರಡು ಸ್ಥಾನಗಳ ಗುಂಪು ಮಾಡಿ. 3 ಗುಂಪುಗಳು: 21,90,24. ಹಂತ 2 : ಮೊದಲ ಗುಂಪಿಗೆ (21) ಸಮವಾದ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ. 52>21, 42<21. 16 ಎಂಬುದು ಈ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆ. ಹಂತ 3 : 16 ರ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿ: 4 ಹಂತ 4:  ಈ 4 ನ್ನು ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಾಗಲಬ್ಧ ಬರೆಯುವ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಹಂತ 5 : 4 ನ್ನು ಭಾಜಕವಾಗಿಯೂ ಬರೆಯಿರಿ. ಹಂತ 6 : ಭಾಗಲಬ್ಧ (4) ಮತ್ತು ಭಾಜಕ (4) ನ್ನ ಗುಣಿಸಿ, ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದು, ಕಳೆಯಿರಿ.=4*4 = 16.ಶೇಷ: 21-16 = 5. ಹಂತ 7 :ಈ ಶೇಷ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಗುಂಪು (=590) ಒಟ್ಟಾಗಿ ಹೊಸ ಭಾಜಕವಾಯಿತು. ಹಂತ 8 : ಭಾಜಕ ಮತ್ತು  ಭಾಜಕದ ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಅಂಕೆ ಇವುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ (4+4= 8). ಈಗ ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೊಸ ಅಂಕೆ ಬೇಕು (x) . ಹೇಗೆಂದರೆ 8x ನ್ನು x ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಹೊಸಭಾಜ್ಯ (590ಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ಈಗ, 86*6 = 516 –ಇದು 590 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x=6 . 86 ಎನ್ನುವುದು ಹೊಸ ಭಾಜಕ. 6 ನ ಭಾಗಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಭಾಜ್ಯದ ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಹಂತ 9 : (86) ಮತ್ತು  6 ರ ಗುಣಲಬ್ಧ 516 ನ್ನು ಭಾಜ್ಯ 590 ರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. 590- 516 = 74 ಹಂತ 10: ಈ ಶೇಷ  74 ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಗುಂಪು (24) ಒಟ್ಟಾಗಿ ಹೊಸ ಭಾಜಕವಾಯಿತು. (7424) ಹಂತ 11: ಭಾಜಕ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಬಿಡಿಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆ ಇವುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ. ( 86+ 6= 92). ಈಗ ಪುನಃ ಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೊಸ ಅಂಕೆ x ಬೇಕು ಹೇಗೆಂದರೆ , 92x ನ್ನು x ನಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಭಾಜ್ಯ 7424 ಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರಬೇಕು. 928*8 = 7424 ಇದು ಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ಆದ್ದರಿಂದ x=8. ಈ 8 ನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಭಾಜ್ಯದ ಮೂರನೇ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಹಂತ 12 : ಭಾಜಕ (928) ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಬರೆದ 8 ––ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು 7424 ರಲ್ಲಿ ಕಳೆಯಿರಿ. 7424 -928*8 =0 ಮುಂದಿನ ಹಂತ : ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳು ಮುಗಿಯುವವರೆಗೂ ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ. ಈಗ ಗುಂಪುಗಳು ಮುಗಿದುದರಿಂದ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತೇವೆ

 = 468

 

ತಾಳೆ:

468 = (460+8)        (a+b)²=a²+2ab+b²  ಎನ್ನುವ ಸಮೀಕರಣ ಗೊತ್ತಿದೆ:

468²=460²+2*460*8+8²

= 211600+7360+64

= 219024

 

1.5.1  ಸಮಸ್ಯೆ 2: 657721 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ಭಾಜಕ	8    1    1	ವಿವರಣೆ
2,3,5	8		64<65<81 ,  =8
6	+8	64	64=8*8
7,8	161	1 77	65-64=1 16 =8+8
9	+1	161	161*1 =161
10,11	1621	1621	161+1 =162: 177-161=16
12		1621	1621*1 =1621
		0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳೂ ಮುಗಿದುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ಮುಗಿದಿದೆ.

 = 811

 

ತಾಳೆ:

811 = 800+10+1     ಸೂತ್ರ: (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)

818²= 800²+10²+1²+2(800*10+10*1+800*1)

       = 640000+100+1+2*(8000+10+800)

       = 640000+101+17620

       = 657721

 

1.5.1  ಸಮಸ್ಯೆ 3: 49244 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಸ್ಥಾನಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ (4) ಇರುತ್ತದೆ.

 

ಹಂತ	ಭಾಜಕ	2    2   2	ವಿವರಣೆ
2,3,5	2		4=4<9 ,  =2
6	+2	4	4=2*2
7,8	42	0 92	4-4=0 4 =2+2
9	+2	84	42*2 =84
10,11	442	884	42+2 =44: 92-84 =8
12		884	442*2 =884
		0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳೂ ಮುಗಿದುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ಮುಗಿದಿದೆ.

 = 222

 

ತಾಳೆ:

222 = 200+20+2

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)

222²= 200²+20²+2²+2(200*20+20*2+200*2)

       = 40000+400+4+2*(4000+40+400)

       = 40000+404+8480

       = 49284

 

1.5.1  ಸಮಸ್ಯೆ 4 :  ಒಬ್ಬ ತೋಟಗಾರನು ಸಸಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಚೌಕಾಕಾರ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಹೀಗೆ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿದ ಮೇಲೆ ಆತನಿಗೆ 5 ಸಸಿಗಳು ಉಳಿದಿರುವದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಸಸಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯು 64014 ಆದರೆ, ಪ್ರತೀ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಸಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ತೋಟಗಾರನಲ್ಲಿ 5 ಸಸಿಗಳು ಉಳಿದುದರಿಂದ, ಆತನು ನೆಟ್ಟ ಸಸಿಗಳು:  64014-5 = 64009. ಸಸಿಗಳನ್ನು ಚೌಕಾಕಾರದಲ್ಲಿ ನೆಟ್ಟಿದ್ದರಿಂದ ನಾವೀಗ 64009 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಾಣಬೇಕು. 64009 ರಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಾನಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬರೇ ಒಂದು ಅಂಕೆ (6) ಇರುತ್ತದೆ. 2 ನೇ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (40) ಮೂರನೇ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (09).   ಹಂತ ಭಾಜಕ 2    5   3 ವಿವರಣೆ 2,3,5 2     4=4<6 ,  =2 6 +2 4 4=2*2 7,8 45 2 40 6-4=2 4 =2+2 9 +5  2 25 45*5 =225 10,11 503      15 09  45+5 =50: 240-225 =15 12        884 503*3 =1509     0

 

 = 253

ಪ್ರತೀ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಸಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 253

ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ= 253

 

ತಾಳೆ:

253 ಇದು ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ 250+3 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

(a+b)²=a²+2ab+b²

253²= (250+3)²= (250)²+2*250*3+(3)²

      = 62500+1500+9

      = 64009

ಇದಕ್ಕೆ 5 ಕೂಡಿಸಿದರೆ 64014 ಬರುತ್ತದೆ.

 

1.5.1  ಸಮಸ್ಯೆ 6 : 9215 ನ್ನು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು. ಆ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 

ಹಂತ	ಭಾಜಕ	9    6	ವಿವರಣೆ
2,3,5	9		81<92<100 ,  =9
6	+9	81	81=9*9
7,8	186	11 15	92-81=11 18 =9+9
	+6	11 16	185*5 =925,186*6 =1116
		-1	1115-1116 = -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ಮುಂದೆ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪುಗಳಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಬೇಕು. ಶುದ್ಧವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲ. ಅಂದರೆ 9215 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ 1 ಕಡಿಮೆ ಇದೆ.

9215+1 = 9216 ಒಂದು ಶುದ್ಧ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ.

9215 ನ್ನು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ 1 ನ್ನ ಕೂಡಿಸಬೇಕು.

 

ತಾಳೆ:

 96²= 9216 ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು. ಆ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

1.5.1  ಸಮಸ್ಯೆ 7:  5084  ನ್ನು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದರಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ	ಭಾಜಕ	7    1	ವಿವರಣೆ
2,3,5	7		49<50<64 ,  =7
6	+7	49	81=9*9
7,8	141	1 84	92-81=11 18 =9+9
	+1	1 41	141*1 =141,141*2 =282
		43	184-141=43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ಮುಂದೆ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಬೇಕು. ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಶೇಷ 43 ಉಳಿದಿದೆ. ಅಂದರೆ 5084 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ 43 ಹೆಚ್ಚಿದೆ. 5084 ನ್ನು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದರಿಂದ 43 ನ್ನ ಕಳೆಯಬೇಕು.

 

ತಾಳೆ:

71²= 5041

 

ಗಮನಿಸಿ:

 

ಸಂಖ್ಯೆ	ಅದರ ವರ್ಗ
3(1 ಅಂಕೆ)	9(1 ಅಂಕೆ)
4(1 ಅಂಕೆ)	16(2 ಅಂಕೆಗಳು)
31(2 ಅಂಕೆಗಳು)	961(3 ಅಂಕೆಗಳು)
32(2 ಅಂಕೆಗಳು)	1024(4 ಅಂಕೆಗಳು)
316(3 ಅಂಕೆಗಳು)	99856(5 ಅಂಕೆಗಳು)
317(3 ಅಂಕೆಗಳು)	100489(6 ಅಂಕೆಗಳು)
3162(4 ಅಂಕೆಗಳು)	9998244(7 ಅಂಕೆಗಳು)
3163(4 ಅಂಕೆಗಳು)	10004569(8 ಅಂಕೆಗಳು)
.3(1 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನ)	.09( 2 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳು)
.01(2 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳು)	.0001(4 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳು)
.001(3 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳು)	.000001( 6 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳು)

 

ತೀರ್ಮಾನ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ  n ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಾನಗಳಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗ ಮೂಲದಲ್ಲಿ n/2 ಸ್ಥಾನಗಳಿರುತ್ತವೆ, n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಾನಗಳಿದ್ದರೆ, ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ  (n+1)/2 ಸ್ಥಾನಗಳಿರುತ್ತವೆ. ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿರುತ್ತವೆ.

1.5.2 ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (Finding the square root of decimals):

 

ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಂತೆಯೇ ಇಲ್ಲಿಯೂ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಇರುವುದು ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ.

ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ ಎರಡೂ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಬಲಬದಿಯಿಂದ ಎಡಕ್ಕೂ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೂ ಎರಡೆರಡು ಅಂಕೆಗಳ ಗುಂಪು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾ: 205.9225 ನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ಕ್ರಮ: (2), (05), (92), (25)

ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು. ಭಾಗಾಕಾರ ವಿಧಾನ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸಿದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

 

1.5.2  ಸಮಸ್ಯೆ 1: 235.3156 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

 

ಪರಿಹಾರ:

ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯಾ ಭಾಗದ ಗುಂಪುಗಳು: (2), (35)

ದಶಮಾಂಶಸಂಖ್ಯಾ ಭಾಗದ ಗುಂಪುಗಳು: (31),(56)

ಹಂತ	ಭಾಜಕ	1  5.  3 4	ವಿವರಣೆ
2,3,5	1	.	1<2<9 ,  =2
6	+1	1	1=1*1
7,8	25	1 35	2-1=1 2 =1+1
9	+5	1  25	25*5 =125
10,11	303	1031	255+5 =30: 135-125 =10. ಈಗ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯಾ ಭಾಗದ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ 15  ರ ನಂತರ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು.
12	+3	909	303*3 =909
	3064	122 56	303+3=306
		122  56	3064*4 =12256
		0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 = 15.34

 

ತಾಳೆ:

 (15.34)²= 235.3156

 

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ:

235.3156 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

235.3156 = 2353156/10000

  =

=/

= /100

= 1534/100

= 15.34

 

ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು:

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ: x = x.0000

5 = 5.0000 , 11 = 11.0000

ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೊದಲಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆದು, ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದು ಹಾಕಿ, ನಂತರ ನಾಲ್ಕು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನೂ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

1.5.2  ಸಮಸ್ಯೆ 2: 12.0068 ಚ.ಮೀಟರ್ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಳ್ಳ ಒಂದು ಚೌಕದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿ  (2 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ ನಾವು ಮೂರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅದಕ್ಕಾಗಿ, ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಆರು(ಎಷ್ಟು ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ವರ್ಗ ಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯ ಬೇಕೋ ಅದರ ಎರಡರಷ್ಟು=ಮೂರು*2) ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿರುವಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

12.0068 = 12.006800

ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪು: (12), ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ಗುಂಪು: (00), (68), (00).

 

ಹಂತ	ಭಾಜಕ	3 .  4   6  5	ವಿವರಣೆ
2,3,5	3	.	9<12<16 ,  =3
6	+3	9	3*3=9
7,8	64	3   00	12-9=3 6 =3+3 ಮೇಲ್ಗಡೆಯಲ್ಲಿ 3  ರ ನಂತರ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದು ಹಾಕಿ.
9	+4	2  56	64*4 =256
10,11	686	44 68	64+4 =68:300-256=44,  ಮುಂದಿನ ಗುಂಪು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.
12	+6	41 16	686*6 =4116
	6925	3  52 00	686+6=692
		3  46 25	6925*5 =34625
		5 75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ಬೇಕಾದ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳು ಬರುವವರೆಗೂ ಇದೇ ರೀತಿ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ.

 = 3.465 = 3.47

 

ತಾಳೆ:

 (4.465)²= 12.006225

 

=  3.46410161513775 (14 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನದವರೆಗೆ)

12 ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ  ಒಂದು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶ

 

ಸೂಚನೆ:

ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ನಂತರ ಮೇಲಿನಂತೆ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದ ಮೂಲಕ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾ:11  = 11.6666..

 

 

 

1.5 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂಖ್ಯೆ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1   2	ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.