5.4. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹರವು ಅಥವಾ ವಿಚಲನೆ (Dispersion (Deviation) of data):

 

5.4.1 ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಾಂಕ ಮತ್ತು ಬಹುಲಕ (ರೂಢಿಬೆಲೆ) (Mean, Median, Mode for grouped data)

ದತ್ತಾಂಶಗಳು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಾಂಕ, ಬಹುಲಕ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಮೌಲ್ಯಗಳು ತುಂಬಾ ಇದ್ದಾಗ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. (ವರ್ಗಾಂತರಗಳಂತೆ ಗುಂಪುಮಾಡಿ) (5.1.1. ಉದಾ 2 ರಂತೆ)

ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಮ ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ರೂಢಿಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಬೇರೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಮೂಲಕ ತಿಳಿಯುವಾ.

5.4.1. ಉದಾ1: ಒಂದು ಮದುವೆ ಸಮಾರಂಭಕ್ಕೆ ಬಂದ 110 ಮಂದಿಯ ವಯಸ್ಸುಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಈ ರೀತಿ ಇದೆ.

ರೀತಿ:

ವರ್ಗಾಂತರ(CI)
ವಯಸ್ಸು

ಆವೃತ್ತಿ
(f)

0-10

7

10-20

13

20-30

24

30-40

26

50-60

18

60-70

12

70-79

10

ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಮೇಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲೂ ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ಮೇಲ್ಮಿತಿಯು ಮುಂದಿನ ವರ್ಗಾಂತರದ ಕೆಳಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.(ಉದಾ: 10 ಎರಡು ಸಾರಿ ಬಂದಿದೆ: (0-10) ರಲ್ಲಿ ಒಂದು (10-20)ರಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು).

ಈಗ ಒಂಧು ಪ್ರಶ್ನೆ ಏಳುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮಿತಿ ‘10’ ನ್ನ ಯಾವ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿಡಬೇಕು? ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ಇಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಆ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ.

(ಅಂದರೆ 10 ನ್ನ 10-20 ರಲ್ಲಿ ಇಡದೇ 0-10ರಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ.)

ಈಗ ನಾವು ಈ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಕ ಮತ್ತು ರೂಢಿಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

ವರ್ಗೀಕರಿಸದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ = ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ / ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಅದೇ ರೀತಿ ಮಧ್ಯಾಂಕವು ‘30-40’ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿದೆ (55ನೇ ಮತ್ತು 56ನೇ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ).

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ನಿಖರವಾದ ಮಧ್ಯಾಂಕ ಮತ್ತು ಬಹುಲಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಹೊಸದೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆ ಬಿಡಿಸಲು ಕೆಲವೊಂದು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:-

N = ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 110

ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು(Mid point) (x) =  

f= ಆವೃತ್ತಿ.

f(x) = f*x

ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಯು (Cumulative frequency)ಅಲ್ಲಿಯ ವರೆಗಿನ ವರ್ಗಾಂತರದ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ವರ್ಗಾಂತರ

ಆವೃತ್ತಿ(f)

ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ (cf)

ವರ್ಗಾಂತರದ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು (x)

f(x)=f*x

0-10

7

7

5

35

10-20

13

20=7+13

15

195

20-30

24

44=20+24

25

600

30-40

26

70=44+26

35

910

40-50

18

88=70+18

45

810

50-60

12

100=88+12

55

660

60-70

10

110=100+10

65

650

ಒಟ್ಟು

N=110

 

 

 = 3860

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ, ಸರಾಸರಿ =  =  = 35.09

ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: 110, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಧ್ಯಾಂಕವು 55ನೇ ಮತ್ತು 56ನೇ ಮೌಲ್ಯದ ಮಧ್ಯ ಇದೆ. ಇದು ‘30-40’ ರ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿದೆ..(20-30 ನೇ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗೆ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ 44 , 30-40 ನೇ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗೆ (cf) 70).

i= ವರ್ಗಾಂತದ ಗಾತ್ರ = 11(ಒಂದು ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿ 11 ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ)

L= ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದ ಕೆಳಮಿತಿ (30)

F =ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗಿನ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ

m = ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಗಳು.

ಆಗ,

ಮಧ್ಯಾಂಕ = L+ ( )*i

= 30+ ()*11 = 30+*11 = 30+4.65 = 34.65

ಬಹುಲಕ (ರೂಢಿಬೆಲೆ)      = 3*ಮಧ್ಯಾಂಕ-2ಮಧ್ಯಕ(ಸರಾಸರಿ)

                             = 3*34.65- 2*35.1

                             = 33.75

5.4.2 ಹರವಿನ ಅಳತೆಗಳು: ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ವಿಚಲನೆ (Measures of dispersion: Range, Deviations)

ನಾವೀಗ ಒಂದು ತಿಂಗಳಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ತರಗತಿಯ ಹಾಜರಾತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾ.

ಮೊದಲ ವಾರ: 45, 44, 41, 10, 40, 60 : ಸರಾಸರಿ = 40

ಎರಡನೇ ವಾರ: 35, 45, 40, 45, 40, 35: ಸರಾಸರಿ = 40

ಈ ಎರಡೂ ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಹಾಜರಿ = 40.ಆದರೆ ಗಮನಿಸಿ:-

1. ಮೊದಲನೆ ವಾರದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಟ ಹಾಜರಾತಿ 10 ಗರಿಷ್ಠ ಹಾಜರಾತಿ 60, ಅಂದರೆ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ ತುಂಬಾ ಜಾಸ್ತಿ.

2. ಎರಡನೇ ವಾರದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಷಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಚಿತ್ರಣ ಕೊಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬೇಕಾದರೆ ನಮಗೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಗಳು ಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೊಸ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾ.

ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಎರಡೂ ಕೊನೆಗಳಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಾಪ್ತಿ(Range) ಎನ್ನುವರು.

ವ್ಯಾಪ್ತಿ (Range) = ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ- ಕನಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯ = H-L

ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಗಣಕ (Co-efficient of Range)=  =

ನಮಗೀಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಮಧ್ಯಾಂಶವು ದತ್ತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಮವಾದ ಭಾಗ ಮಾಡುವ ಮೌಲ್ಯ. ಅದೇ ರೀತಿ ದತ್ತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಾಲ್ಕು ಸಮಭಾಗ ಚತುರ್ಥಕ (Quartile). ಇಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಭಾಗ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:-

ಮೊದಲನೇ ಚತುರ್ಥಕ(Q1), ಎರಡನೇ ಚತುರ್ಥಕ (Q2), ಮೂರನೇ ಚತುರ್ಥಕ (Q3). ಇವುಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯ 1/4 ನೇ, 1/2ನೇ ಮತ್ತು 3/4ನೇ ಭಾಗಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಚತುರ್ಥಕವು ಮಧ್ಯಾಂಕವೇ (Median) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ (ಚತುರ್ಥಕದೊಳಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಅರ್ಥ)ಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ(Quartile deviation:QD) = (Q3-Q1)/2

5.4.2 ಉದಾ.1 : ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ವಾಪ್ತಿಗಣಕ, ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಗಣಕ ಕಂಡುಹಿಡಿ:-

16, 40, 23, 25, 29, 24, 20, 30, 32, 34, 43

ರೀತಿ:

ದತ್ತ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳನ್ನು ಏರಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

16, 20, 23, 25, 29, 30, 32, 34, 40, 43.

ಇಲ್ಲಿ L= 16, H =43 and N=11

ವ್ಯಾಪ್ತಿ = H-L = 43-16 = 27

ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಗಣಕ ===0.46

ಇಲ್ಲಿ 11 ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳಿವೆ.

- Q1 3ನೇ (11ರ1/4) ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ= 23.

- Q3 8th (11ರ 3/4) ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ = 34.

ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ = (Q3-Q1)/2 = = 5.5

ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಗಣಕ (Co-efficient of QD) = (Q3-Q1)/ (Q3+Q1) =

==0.1

ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ,

N = ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

i = ವರ್ಗಾಂತರದ ಗಾತ್ರ.

L = ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದ ಕೆಲಮಿತಿ.

F =ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗೆನ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ.

m = ಮಧ್ಯಾಂಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿನ ಆವೃತ್ತಿ.

ಆಗ,

ಮಧ್ಯಾಂಕ = L+ ()*i = Q2

ಇದೇ ರೀತಿ ವರ್ಗೀಕೃತ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ,

Q1 = L+ ()*i

Q3 = L+ ()*i

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ

L = ಅನುಕ್ರಮ ಚತುರ್ಥಕಗಳಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದ ಕೆಳಮಿತಿ.

F = ಆ ಚತುರ್ಥಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದವರೆಗಿನ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ.

m = ಆ ಚತುರ್ಥಕವಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಗಳು.

5.4.2 ಉದಾ. 2: ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ವ್ಯಾಪ್ತಿಗಣಕ, ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಥಕ ವಿಚಲನೆ ಗಣಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ. (100 ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದೆ)

ವರ್ಗಾಂತರ CI

ಆವೃತ್ತಿ f

4-8

6

9-13

10

14-18

18

19-23

20

24-28

15

29-33

15

34-38

9

39-43

7

ರೀತಿ:

ಇಲ್ಲಿ N = 100, i = 5 ಈಗ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ:

ವರ್ಗಾಂತರ CI

ಆವೃತ್ತಿ f

ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ cf

4-8

6

6

9-13

10

16

14-18

18

34

19-23

20

54

24-28

15

69

29-33

15

84

34-38

9

93

39-43

7

100

ಮೊದಲ ಚತುರ್ಥಕ Q1ನೋಡಲು 25ನೇ (100ರ 1/4) ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ ಬೇಕು. ಅದು ’14-18’ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿದೆ.

L= 13.5, F=16, m= 18

Q1 = L+ () * i

= 14 +*5 = 14 + 2.5 = 16.5

ಮೂರನೇ ಚತುರ್ಥಕ Q3 ನೋಡಲು ನಮಗೆ 75ನೇ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ (100ರ 3/4) ಬೇಕು. ಅದು ’29-33’ ವರ್ಗಾಂತರದಲ್ಲಿದೆ.

L = 29, F = 69, m = 15

Q3 = L+ ()*i

=29+*5 = 29+2 =31

ಚತುರ್ಥ ವಿಚಲನೆ QD = (Q3-Q1)/2

= =7.25

ಚತುರ್ಥ ವಿಚಲನೆ ಗಣಕ = (Q3-Q1)/ (Q3+Q1) = == 0.31

5.4.3 ವರ್ಗೀಕರಿಸದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ: (ಮಧ್ಯಕವಿಚಲನೆ) (Mean Deviation for Ungrouped data):

ಇಲ್ಲಿ ಹೆಸರೇ ಹೇಳುವಂತೆ, ನಾವು ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸರಾಸರಿ (ಮಧ್ಯಕ)ಯಿಂದ ಆಗುವ ವಿಚಲನೆಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು 2 ವಿಧಾನಗಳಿವೆ – ಮಧ್ಯಾಂಕವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ, ಮಧ್ಯಕವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ.

5.4.3 ಉದಾ. 1. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿ.

90, 125, 115, 100, 110.

ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ:

ದತ್ತಾಂಕಗಳನ್ನು ಏರಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ,

90, 100, 110, 115, 125

ಇಲ್ಲಿ N= 5, ಮಧ್ಯಾಂಕ(M) = 110 (3ನೇ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕ)

= 90+100+110+115+125=540

ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ () =  = =108

 

ಮೌಲ್ಯಗಳು

I ವಿಧಾನ

ಮಧ್ಯಾಂಕದಿಂದ ವಿಚಲನೆ
D= X-M

II ವಿಧಾನ

ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ
D=-M

90

-20(90-110)

-18(90-108)

100

-10(100-110)

-8(100-108)

110

0(110-110)

2(110-108)

115

5(115-110)

7(115-108)

125

15(125-110)

17(125-108)

= 540

 =20+10+0+5+15= 50

 =18+8+2+7+17= 52

 


ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ |D| ಯು ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡ್D ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.

ಮಧ್ಯಾಂಕದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ವಿಚಲನೆ =  = =10

ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ =  = =10.4

5.4.4 ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ(Mean Deviation for Grouped data):

[ವರ್ಗೀಕರಿಸದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ ಇಲ್ಲಿಯೂ ಕೂಡಾ 2 ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು - ಮಧ್ಯಾಂಕದಿಂದ, ಮಧ್ಯಕದಿಂದ]

5.4.4 ಉದಾ. 1. ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ವರ್ಗಾಂತರ

ಆವೃತ್ತಿ f

0-20

8

20-40

10

40-60

19

60-80

14

80-100

9

ರೀತಿ:

ಇಲ್ಲಿ N = 60, i= 21

ಮಧ್ಯಾಂಕ (M) = L+ ()*i

= 40 +*21 = 40+13.3 = 53.3 (ಇಲ್ಲಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಪಡೆದಿದೆ)

ವರ್ಗಾಂತರ C.I

 

 

 

ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು
(x)

ಆವೃತ್ತಿ f

 

I ವಿಧಾನ
ಮಧ್ಯಾಂಕದಿಂದ ವಿಚಲನೆ

II ವಿಧಾನ
ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆ

cf

D = x-M

f*|D|

fx

D = x-

f*|D|

0-20

10

8

8

-43.3

346.4

80

-42

336

20-40

30

10

18

-23.3

233

300

-22

220

40-60

50

19

37

-3.3

62.7

950

-2

38

60-80

70

14

51

16.7

233.8

980

18

252

80-100

90

9

60

36.7

330.3

810

38

342

 

 

N=60

 

 

=1206.2

=3120

 

 = 1188

ಸರಾಸರಿ () =  = = 52.

ಮಧ್ಯಾಂಕ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ=  == 20.10

ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ =  == 19.8

 

5.4.5. ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು (Graphical representation of frequency distribution)

ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವೆಂದು ನಾವೀಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಆವೃತ್ತಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಲು 2 ವಿಧಾನಗಳಿವೆ: (1) ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಂ (ಆಯತ ಚಿತ್ರ) (Histogram)

(2) ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ(Frequency polygon)

ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಂ(ಆಯತ ಚಿತ್ರ): ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೇರ ಆಯತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಯತಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಯತಗಳ ಎತ್ತರವು ಆವೃತ್ತಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ನಮಗೆ ಒಂದು ನಕ್ಷಾಹಾಳೆ (ಗ್ರಾಫ್)ಬೇಕು. ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು xಅಕ್ಷದಲ್ಲು, ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು y ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬೇಕು.

5.4.5 ಉದಾ. 1. ಈ ಕೆಳಗಿನ ದತ್ತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಆಯತ ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ ರಚಿಸಿ:

ವರ್ಗಾಂತರ

ಆವೃತ್ತಿ

 0-20

8

20-40

10

40-60

19

60-80

14

80-100

9

ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ:

ವರ್ಗಾಂತರ ಮತ್ತು ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ರಮಾಣ (ಸ್ಕೇಲ್) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ
(ಇಲ್ಲಿ 1ವರ್ಗಾಂತರ = 1ಸೆ.ಮಿ. ಮತ್ತು 2ಆವೃತ್ತಿ =1ಸೆ.ಮಿ.)

ಆಯತ ಚಿತ್ರ:

 

ಹಂತ1: ಒಂದು ನಕ್ಷಾಹಾಳೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಲ್ಲಿ 0 ಗುರುತಿಸಿ, x ಮತ್ತು y-ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.

ಹಂತ 2: 0ಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ, x-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಂದರ ನಂತರ
ಒಂದು ಗುರುತಿಸಿ. ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ಅಗಲ 1ಸೆ.ಮಿ. ಇರಲಿ.
(ಆಗ ವರ್ಗಾಂತರದ ಸ್ಕೇಲ್: 1ವರ್ಗಾಂತರ = 1ಸೆ.ಮಿ.)

ಹಂತ 3: ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.
(ಒಂದೇ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಮುಗಿಯುವಂತೆ) ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣ: 1ಸೆ.ಮಿ. = 2f. ಆದ್ದರಿಂದ,
8f =4ಸೆ.ಮಿ., 10f =5ಸೆ.ಮಿ., 19f = 9.5ಸೆ.ಮಿ.,
14f = 7ಸೆ.ಮಿ., 9f =4.5ಸೆ.ಮಿ..(ಆದ್ದರಿಂದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಪ್ರಮಾಣ: 2f = 1ಸೆ.ಮಿ.)

     

 

ವರ್ಗಾಂತರ

ಆವೃತ್ತಿ

X(ಪಾದ)

Y(ಎತ್ತರ)

0-20

8

0 ರಿಂದ 1 ಸೆ.ಮಿ.

4ಸೆ.ಮಿ.

20-40

10

1 ರಿಂದ 2 ಸೆ.ಮಿ.

5ಸೆ.ಮಿ.

40-60

19

2 ರಿಂದ 3 ಸೆ.ಮಿ.

9.5ಸೆ.ಮಿ.

60-80

14

3 ರಿಂದ 4 ಸೆ.ಮಿ.

7ಸೆ.ಮಿ.

80-100

9

4 ರಿಂದ 5 ಸೆ.ಮಿ.

4.5ಸೆ.ಮಿ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ಹಂತ 4: ಮೊದಲ ವರ್ಗಾಂತರ (0-20)ಸೂಚಿಸುವ 4ಸೆ.ಮಿ. ಎತ್ತರದ ಆಯತ ರಚಿಸಿ.

ಹಂತ 5: ಮೇಲಿನ ಆಯತಕ್ಕೆ ತಾಗಿಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ವರ್ಗಾಂತರ ಆವೃತ್ತಗನುಗುಣವಾದ 5ಸೆ.ಮಿ. ಎತ್ತರದ ಆಯತ ರಚಿಸಿ. ಈಗ ಈ ಎರಡೂ ಆಯತಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹು ಇರುವುದು.

 

ಇದೇರೀತಿ ಉಳಿದ ವರ್ಗಾಂತರಗಳಿಗೂ ಆಯತಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ.

 

 

ಗಮನಿಸಿ:-

1. ವರ್ಗಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ x ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೂ, ಆವೃತ್ತಿಗಳು y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೂ ಇವೆ.

2. ಎರಡೂ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ಸ್ಕೇಲ್ (ಪ್ರಮಾಣ) ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

3. ವರ್ಗಾಂತರದ ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಆಯತಗಳ ಅಗಲ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ.

4. ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಮಧ್ಯ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಆಯತಗಳ ಬಾಹುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ.

5. ಆಯತಗಳ ಎತ್ತರವು ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿ ಇವೆ.

6. ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಖಾಲಿ ಇದ್ದರೆ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಓರೆಕೋರೆ ಕಂಸಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.)

 

ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ (1ನೇ ವಿಧಾನ) (Frequency Polygon- Method I):

ಆಯತ ಚಿತ್ರದ ಅನುಕ್ರಮ ಆಯತಗಳ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ರೇಖೆಯೇ ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ(frequency polygon).

 

ಹಂತ 1: ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಆಯತ ಚಿತ್ರ ರಚಿಸಿರಿ.

ಹಂತ 2: x- ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಈಗ ಇರುವ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೊಂದು ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.

(ಇಲ್ಲಿ f = 0 ಆದ್ದರಿಂದ, (-20- 0) ಮತ್ತು (100 -120) ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಎತ್ತರ = 0cm)

ಹಂತ 3: ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.(x-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5 ಮತ್ತು 5.5ಸೆ.ಮಿ. ಮತ್ತು yಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ 0, 4, 5, 9.5, 7, 4.5 ಮತ್ತು 0).

 

ವರ್ಗಾಂತರ

f

X ಪಾದದ ಮಧ್ಯ

y

(x, y)

(-20) -0

0

-0.5

0

(-0.5 , 0)

0-20

8

0.5

4

(0.5, 4)

20-40

10

1.5

5

(1.5, 5)

40-60

19

2 .5

9.5

(2.5, 9.5)

60-80

14

3.5

7

(3.5, 7)

80-100

9

4.5

4.5

(4.5, 4.5)

100-120

0

5.5

0

(5.5, 0)

 

ಹಂತ 4: ಅನುಕ್ರಮ ಆಯತಗಳ ತುದಿಗಳ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯಿಂದ ಜೋಡಿಸಿ. ಈಗ ನಮಗೆ ದೊರೆತದ್ದೇ ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ.

 

 

ಆವರ್ತಾಂಕ ಬಹುಭುಜ (2 ನೇ ವಿಧಾನ) (Frequency Polygon -Method II):

ಹಂತ 1: ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಎರಡೂ ಕಡೆ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವ ಒಂದೊಂದು ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ (-20- 0) ಮತ್ತು(100 – 120).

ಹಂತ 2: x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. (ಸೂಕ್ತ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ)

(1C.I. = 1cm).

ಈ ಬಿಂದುಗಳು -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5 ಮತ್ತು 5.5

ಹಂತ 3: ದತ್ತ ಸ್ಕೇಲ್‌ಗನುಗುಣವಾಗಿ ಪ್ರತೀ ವರ್ಗಾಂತರದ ಆವೃತ್ತಿಗನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.(2f=1cm).

ಈ ಬಿಂದುಗಳು y-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ : 0, 4, 5, 9.5, 7, 4.5 ಮತ್ತು 0 ಆಗಿವೆ.

 

ವರ್ಗಾಂತರ

f

X (ಪಾದದ ಮಧ್ಯ)

y

(x, y)

-20 -0

0

-0.5

0

(0, 0)

0-20

8

0.5

4

(.5, 4)

20-40

10

1.5

5

(1.5, 5)

40-60

19

2 .5

9.5

(2.5, 9.5)

60-80

14

3.5

7

(3.5, 7)

80-100

9

4.5

4.5

(4.5, 4.5)

100-120

0

5.5

0

(5.5, 0)

 

ಹಂತ 4: ಈ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಜೋಡಿಸಿ.

 

 

5.4.5 ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ ವಕ್ರ ರೇಖೆ(ಅಗೀವ್) Cumulative Frequency Curve (Ogive):

 

ಇಂತಹ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳ (ವರ್ಗೀಕೃತ  ಅಥವಾ ಅವರ್ಗೀಕೃತ) ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಗನುಗುಣವಾಗಿ  ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಒಂದು ನಯವಾದ ವಕ್ರ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.ದತ್ತಾಂಶ ಅಥವಾ ವರ್ಗಾಂತರದ ಮೇಲ್ಮಿತಿಯನ್ನು x ಅಕ್ಷದ  ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು y ಅಕ್ಷದ  ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.

 

 ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಲು  5.4.5.1   ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

 

5.4.5 ಉದಾ. 2. ಅಗೀವ್ ನಕ್ಷೆ ರಚಿಸಿರಿ.

 

   C.I

f

  0-20

8

20-40

10

40-60

19

60-80

14

80-100

9

 

ಕ್ರಮ:

1. ಮೊದಲು 0 ಆವೃತ್ತಿ ಇರುವ ಹಾಗೆ ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವರ್ಗಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

( ಇಲ್ಲಿ ಅದು -20 ದಿಂದ  0 ಆಗಿದೆ)

2. ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸಿದಂತೆ  (-20 ದಿಂದ 0) ದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ವರ್ಗಾಂತರದ  ತ:ಖ್ತೆ ಯನ್ನು ರಚಿಸಿ.

  

ವರ್ಗಾಂತರ

f

cf

 (x,y) ಬಿಂದು

 -20-0

0

0

(0,0)

    0-20

8

8

(20,8)

  20-40

10

18

(40,18)

  40-60

19

37

(60,37)

  60-80

14

51

(80,51)

  80-100

9

60

(100,60

 

3. ಸೂಕ್ತ ಸ್ಕೇಲ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ವರ್ಗಾಂತರದ ಮೇಲ್ಮಿತಿಯನ್ನು  x ಅಕ್ಷದ  ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

(ಇಲ್ಲಿ 1 ಸೆ.ಮೀ =10   ವರ್ಗಾಂತರ )

4. ಸೂಕ್ತ ಸ್ಕೇಲ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು y ಅಕ್ಷದ  ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

(ಇಲ್ಲಿ 1 ಸೆ.ಮೀ =10cf)

5. ವರ್ಗಾಂತರದ ಮೇಲ್ಮಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಯವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಜೋಡಿಸಿ. ಈ ರೇಖೆಯೇ ಆಗೀವ್.

ಗಮನಿಸಿ:-ಆಗೀವ್ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು(ಉದಾಹರಣೆಗೆ 30 ರ ವರೆಗಿನ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಸಂಚಿತ ಆವೃತ್ತಿ 13.(ಕೆಂಪು ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದೆ)

 

5.4 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

ಸಂಖ್ಯೆ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

 

1

ಸರಾಸರಿ = (ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ)

 

2

ಸರಾಸರಿ = L+ ()*i(ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ)

 

3

ಬಹುಲಕ = 3*median-2mean(ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ)

 

4

ವಾಪ್ತಿ ಗಣಕ = ( ಅವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ)

 

5

ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ = (ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ)

 

6

ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನೆ = (ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ)