8.3 ಎತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ದೂರಗಳು (Heights and distances)

 

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಉಳಿದ ಬಾಹು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಮ:

1.        ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದ

2.       ಒಂದು ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೋನ

8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ sin x = ?

 

ಪರಿಹಾರ:

tan60=  (= ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು)

DC/AD =

= 30/AD =

 AD = 30/

sin x = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ

= AD/AB = (30/)/10

= 3/ =

 sin x =

 

8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 

ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ P ಯಿಂದ ಒಂದು ರಾಕೆಟ್ ನ್ನು ಹಾರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದು 40km ದೂರ ನೆಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ  ಹಾರಿ, ನಂತರ ಲಂಬಕ್ಕೆ 600 ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತಾ ಮತ್ತೆ  40km ದೂರ ಓರೆಯಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹಾರುತ್ತದೆ.  PA ಯು ಮೊದಲ ಹಂತದ ಚಲನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ  AB ಯು ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.  C ಯು B ಯಿಂದ ನೆಲಕ್ಕೆ P  ಯ ನೆಲಮಟ್ಟಕ್ಕೆ  ಕೆಳಗೆ ಎಳೆದ  ಬಿಂದು. ಹಾಗಾದರೆ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ:

1.        ರಾಕೆಟ್ B ನಲ್ಲಿ ಇದ್ದಾಗ ಅದು ನೆಲಮಟ್ಟದಿಂದ ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ?

2.       C ಯು P ಯಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

PA ಯು CB ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ CD = 40km ಮತ್ತು ABD = 600 (ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು)

 BAD =300

Cos 60 =  ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು /ವಿಕರ್ಣ = BD/AB = BD/40

           1/2 = BD/40   (     cos 60 = 1/2  )

 BD =20

sin 60 = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ = AD/AB

          /2 = AD/40    ( sin 60 = /2  )

AD = 20 = 20*1.732 =  34.64 km =CP. ಇದು C ಯು P ಯಿಂದ ಇರುವ ದೂರ

BC = BD+CD= 20+40 = 60km. ಇದು ರಾಕೆಟ್ B ನಲ್ಲಿ ಇದ್ದಾಗ ಅದು ನೆಲಮಟ್ಟದಿಂದ ಇರುವ ಎತ್ತರ

 

8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 3:  ಒಂದು ಏಣಿಯನ್ನು ನೇರವಾದ ಗೋಡೆಗೆ ತಾಗಿಸಿ ನಿಲ್ಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಣಿಯು ನೆಲಕ್ಕೆ  300  ಕೋನದಲ್ಲಿ ಬಾಗಿದ್ದು  ನೆಲದಿಂದ  15m ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ  ಗೋಡೆಯನ್ನು ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ.  ಏಣಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.  ಈ 300 ಕೋನವನ್ನು ಉನ್ನತ ಕೋನ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಉನ್ನತಕೋನ('Angle of elevation'): ತಲೆಯನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಎತ್ತಿ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ(ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆಯೂ ಆಗಿರಬಹುದು)  ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನ.(ಈ ಕೋನವು ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.)

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತಾಂಶ: BD=15 ಮತ್ತು DAB = 300

 

Sin 30 = sin DAB = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ = BD/AD = 15/AD

 

             1/2 = 15/AD      (sin 30 = 1/2 )

 

AD = 30m. ಇದು ಏಣಿಯ ಉದ್ದ.

 

8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಒಂದು ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು 100m ಉದ್ದದ ದಾರಕ್ಕೆ ಸಿಕ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದು   ನೆಲಕ್ಕೆ  600    ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿ( ಉನ್ನತ ಕೋನ) ಹಾರುತ್ತಿರುವಾಗ ಅದು  ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತಿರುತ್ತದೆ?

 

ಪರಿಹಾರ:

 

Sin 60 = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ = ಹಾರುತ್ತಿರುವ ಎತ್ತರ/100

 

 ಹಾರುತ್ತಿರುವ ಎತ್ತರ/100= /2    (  sin 60 = /2

 

ಹಾರುತ್ತಿರುವ ಎತ್ತರ = 100/2 = 50 = 50*1.732 =  86.6 m

 

8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 5:  tan x = 5/12, tan y = 3/4  ಮತ್ತು AB = 48m ಆದರೆ  CD = ?

 

ಪರಿಹಾರ:

tanx = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು /ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು = DC/AC

tany = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು /ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು = DC/BC

tanx/tan y  =(DC/AC)/ (DC/BC ) = (DC/AC) *(BC/DC)= BC/AC

 

tanx ಮತ್ತು tan y ಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ:

tan x/tan y=(5/12)/(3/4) = (5/12)*(4/3) =  5/9

 

BC/AC = 5/9 I.e. 9BC = 5AC

AC=AB+BC ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  5AC = 5(AB+BC) = 5AB+5BC

9BC = 5AB+5BC I.e.  4BC= 5AB = 5*48 =  240 BC = 60m

tan y = ವಿಕರ್ಣ/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು = DC/BC = DC/60

tan y = 3/4   (ದತ್ತ)

 3/4 = DC/60  DC = (3/4)*60 = 45M

 

8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 6: ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯು 96cm ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಶಾಲ ಕೋನ 1200.  ಅದರ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

PQ = 96/4 = 24cm ( ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಸಮ)

 PQR = 1200  ಇರಲಿ.

ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಶೃಂಗಕೋನವನ್ನೂ ದ್ವಿಭಾಜಿಸುವುದರಿಂದ POR ಯು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು

PQO = 1/2(PQR) = 600

Sin 60 = ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ = PO/PQ = PO/24

/2 = PO/24    (sin 60 =  /2 )

   PO = 12  = 12*1.732 = 20.784

 PR = 2PO = 2*20.784 =  41.568cm

cos 60 = ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ = OQ/24

  1/2=OQ/24  (cos 60 =  1/2)

 QO = 24 /2 =12    QS = 2QO = 2*12 = 24cm

 

8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 7:  150M  ಎತ್ತರದ ದೀಪಸ್ತಂಭದ ಮೇಲಿನಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ  ಇರುವ ಎರಡು  ಹಡಗುಗಳು  300 ಮತ್ತು 450  ಅವನತ ಕೋನಗಳನ್ನು ಉಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಆ ಹಡಗುಗಳು ಒಂದರ ಹಿಂದೆ ಮತ್ತೊಂದು ಇದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಎಷ್ಟು?

ಅವನತ ಕೋನ(Angle of depression) ತಲೆಯನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಬಗ್ಗಿಸಿ  ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ದೃಷ್ಟಿರೇಖೆಯು  ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ(ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆಯೂ ಆಗಿರಬಹುದು)  ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನ. (ಈ ಕೋನವು ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಯ ಕೆಳಗೇ ಇರುತ್ತದೆ.)

 

ಪರಿಹಾರ:

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, CO 150m ಎತ್ತರದ  ದೀಪಸ್ತಂಭ. B ಮತ್ತು A ಹಡಗುಗಳ ಸ್ಥಾನ.

XOA ಯು  A ಹಡಗಿನ ಅವನತ ಕೋನ =300

XOB ಯು  B ಹಡಗಿನ ಅವನತ ಕೋನ =450

 OX ನೆಲಕ್ಕೆ (CA)  ಗೆ  ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ.

OAC = 300 ಮತ್ತು OBC = 450

Cot 45 =BC/150 = 1 (Cot 45 = 1)  BC =150

Cot 30 =AC/150= (Cot 30 = )  AC =150

AB(ಹಡಗುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ) = AC-BC = 150 -150 = 150(-1) = 109.8(ಅಂದಾಜು)

 

8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಒಂದು ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲಿನಿಂದ ಹಾಗೂ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಬೆಟ್ಟದ ತುದಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 450 ಮತ್ತು 600 ಆಗಿದೆ. ಕಟ್ಟಡದ  ಎತ್ತರ 24M ಆದರೆ,  ಬೆಟ್ಟದ ಎತ್ತರ ಏನು?

 

ಪರಿಹಾರ:

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ CD ಯು ಕಟ್ಟಡ. AB ಯು ಬೆಟ್ಟ.

ದತ್ತ:      

          CD=24M, FDA =450 ,ACB= 600

ರಚನೆ:

        DF ಒಂದು  ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎಳೆದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು  CB ಯನ್ನು E ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ.

BF = DF ( BDF ಯು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ)

= DE + EF

= 24/+EF  (DEC = 600 ಮತ್ತು  tan(600)= = DC/DE ಮತ್ತು DC=24)

= 24/+BF/ (BEF = 600 ಮತ್ತು  = tan(600) = BF/EF )

BF = 24+BF (ಯಿಂದ ಎರಡೂ ಕಡೆ ಗುಣಿಸಿ)

 BF = 24/(-1)

 AB= AF+ BF = 24 + 24/(-1) = 24{1+1/(-1)} =24* /(-1)

 

 

8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 9: ದ್ವೀಪಸ್ತಂಭದ ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದರ ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ಹಡಗುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಅವನತ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 600 ಮತ್ತು 450 ಆಗಿದೆ. ದ್ವೀಪಸ್ತಂಭದ ಎತ್ತರ 120M ಇದ್ದು, ಆ ಎರಡು ಹಡಗುಗಳ ನಡುವೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ದ್ವೀಪಸ್ತಂಭದ ಪಾದದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋದರೆ ಹಡಗುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ  DB ದ್ವೀಪಸ್ತಂಭ. A ಮತ್ತು C ಹಡಗುಗಳ ಸ್ಥಾನ.

ದತ್ತ:

       BD=120M, DBA =450 ,DBC= 600

ರಚನೆ:

      AC ಯು, ಹಡಗು A ಮತ್ತು C ಯನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ರೇಖೆ.

AD = DB=120  ( ABD ಯು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ)

AC =AD+DC =120+DC

=120+120/(DBC = 600 ಮತ್ತು   tan(600) = = DB/DC ಮತ್ತು DB=120)

=120+ 120*/3= 120+40. ಇದು ಹಡಗುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ.

 

 

 

 

8.3 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

 ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು