8.4 ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು (Trigonometric Identities)

 

8.4.1 ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು(Fundamental identities):

ಈ ಹಿಂದೆ ಕಲಿತಂತೆ:

 

sin	ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ	PQ/OP; Cosec =1/sin; OP/PQ
cos	ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು/ವಿಕರ್ಣ	OQ/OP; sec = 1/cos; OP/OQ
tan	ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು/ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು =  sin/ cos	PQ/OQ; cot = 1/tan; OQ/PQ
ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ PQ2 + OQ2 = OP2   -----à(1)  PQ2/OP2 + OQ2/OP2 = 1(ಎರಡೂ ಕಡೆ  OP2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದೆ) (PQ/OP)2 + (OQ/OP)2 = 1 (sin)2 + (cos)2 = 1    sin2 + cos2 = 1         ----------(I) ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು  ಎರಡೂ ಕಡೆ  OQ2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ PQ2/OQ2 + 1 = OP2/OQ2 (PQ/OQ)2 + 1 = (OP/OQ)2 1 + (tan)2 = (sec)2                                                 tan2 + 1 = sec2          ----------(II) ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು  ಎರಡೂ ಕಡೆ  PQ2 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 +OQ2/PQ2 = OP2/PQ2  1 + (OQ/PQ)2 = (OP/PQ)2 1 + (cot)2 = (cosec)2                                          1 + cot2 = cosec2    ---------(III) ಸಮೀಕರಣ  (I), (II) ಮತ್ತು  (III) ನ್ನು   ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳು(‘Fundamental identities’ )ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.. ಮೊದಲನೇ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. sin2= 1-cos2  sin = (1-cos2) cos2= 1-sin2  cos = (1- sin2)  ಲಘುಕೋನವಾದಾಗ   sin  ಮತ್ತು   cos ಗಳು ಧನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಗ sin = +(1-cos2)  cos = +(1-sin2) ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ  ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. : tan = +(sec2-1), sec = +(1+tan2), cot = +(cosec2-1), cosec = +(1+cot2) tan = sin/ cos = sin/ +(1-sin2)

 

               

 

 

 

 

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    ವಿವಿಧ  ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕೆಳೆಗೆ ನೀಡಿದಂತೆ ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಬಹುದು:

             ಗಮನಿಸಿ :   sin²+cos²=1 ಎನ್ನುವ ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು  ಪಡೆಯಬಹುದು

 

 

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 1:  (1+x²)*sin = x ಆದರೆ, sin²/ cos² + cos²/ sin² = x² + 1/x² ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 (1+x²)*sin = x (ದತ್ತ)

 sin = x/ (1+x²)

 sin² = x²/(1+x²) (ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದೆ)--------(1)

 cos² = 1 - sin² (sin²+cos²=1, ಪಕ್ಷಾಂತರದಿಂದ)

= 1 - x²/(1+x²)

= (1+x² - x²)/(1+x²)

= 1/(1+x²)                            ----------(2)

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ

sin²/cos² =

{x²/(1+x²)}/{1/(1+x²)} = x²  -----------(3)

  cos²/sin² = 1/x²           -----------(4)

(3) ಮತ್ತು (4) ರಿಂದ

sin²/cos² + cos²/sin² = x² + 1/x²

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 2: sin⁶+cos⁶=1-3*sin².cos² ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

x = sin² ಮತ್ತು y = cos² ಆಗಿರಲಿ.

x+y = 1  (sin²+cos²=1)

 LHS ಭಾಗವು  a³+b³ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ

             x³+y³ = (x+y)³-3xy(x+y) = 1-3xy(x+y =1)

= 1 – 3*sin².cos²

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 3: tanA/(secA-1)+tanA/(secA+1) = 2cosecA ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

LHS = tanA{(secA+1)+(secA-1)}/(sec²A-1) ( ಛೇದ (secA+1)*(secA-1) ಆಗಿರುವಂತೆ)

= 2tanA.secA/tan²A (sec²-1 = tan²)

= 2secA/tanA

= 2secA*cosA/sinA (tanA = sinA/cosA)

= 2/sinA (cosA = 1/secA)

= 2cosecA

 

8.4.2 ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು(Trigonometric ratios of complimentary angles):

 ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ   ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನ 90⁰- ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು( ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180⁰).

 

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, QOP =   QPO = 900- sin = PQ/OP    ----à(1) cos = OQ/OP   ----à(2) tan = PQ/OQ   ----à(3) QPO ನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ cos(900-) = PQ/OP    --à (4) sin(900-) = OQ/OP    ---à(5) cot(900-) = PQ/OQ  ---à(6)  (1), (2) ಮತ್ತು (3) ಗಳನ್ನು   (4), (5) ಮತ್ತು (6)  ರ ಜೊತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ :         1 sin = cos(900-) 2 cos = sin(900-) 3 tan= cot(900-) 4 cosec = sec(900-) 5 sec = cosec(900-) 6 cot= tan(900-)

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 4: 3sin62⁰/cos28⁰ - sec42⁰/cosec48⁰= ?

 

ಪರಿಹಾರ:

28 = 90-62 ಮತ್ತು 48 = 90-42 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

cos(28) = cos(90-62) = sin62

cosec(48) = cosec(90-42) = sec(42)

3sin62⁰/cos28⁰ - sec42⁰/cosec48⁰

= 3sin62⁰/sin62⁰ - sec42⁰/sec42⁰

= 3-1 = 2

 

8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 5: sec4A=Cosec(A-20⁰) ಆಗಿದ್ದು  4A ಲಘುಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ  A ಎಷ್ಟು?

 

ಪರಿಹಾರ:

ನಮಗೆ  sin ಮತ್ತು cos ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ  ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ.

1/ sec4A = 1/ Cosec(A-20⁰)

Ie,  cos4A= sin(A-20⁰)

sin(90-4A)= sin(A-20⁰) (  4A ಲಘುಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ  cos = sin(90⁰-))

90-4A= A-20⁰

90+20= A+4A

110= 5A

A= 22⁰

 

 

8.4. ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಕ್ರ.ಸಂ.	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	sin2+cos2=1, tan2 + 1 = sec2, 1 + cot2 = cosec2
2	ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳು